Principais esquemas de teoremas

6.3 Principais esquemas de teoremas

Encontrar um caminho para demonstrar um teorema a partir da pequena lista de axiomas apresentada na se¸c˜ao anterior n˜ao ´e uma tarefa f´acil. Como poderemos perceber logo no primeiro teorema desta se¸c˜ao, mesmo resultados que temos como triviais s˜ao dif´ıceis de provar. Por´em, cada vez que provamos um teorema, podemos coloc´a-lo diretamente dentro de uma outra demons- tra¸c˜ao, sem precisarmos prov´a-lo novamente. Melhor ainda se provarmos esquemas de teoremas , que, como os esquemas de axiomas, s˜ ao enunciados na metalinguagem em fun¸c˜oes de f´ormulas arbitr´arias (por exemplo, se A e

B s˜ao teoremas, ent˜ao A

_∧∧

B ´e um teorema). Por esse tipo de resultado ser enunciado e demonstrado na metalinguagem, o chamamos de metateoremas . Na pr´atica, eles funcionam como novos axiomas e regras de inferˆencias que deduzimos, e, a partir de ent˜ao, podemos utiliz´a-los nas pr´oximas demons- tra¸c˜oes.

Portanto, encontrar uma demonstra¸c˜ao torna-se paulatinamente mais f´acil `a medida que provamos os “primeiros” teoremas e metateoremas, e as de- monstra¸c˜oes se tornam mais pr´oximas das argumenta¸c˜oes que estamos acos- tumados a fazer na metalinguagem. Isso porque os argumen tos l´ogicos que costumamos usar intuitivamente nas demonstra¸c˜oes feitas na “matem´atica comum”, sem a linguagem l´ogica, come¸cam a incorporar a lista de metateo- remas que podemos usar sem precisar redemonstrar. Dessa forma, tudo que conseguimos provar com rigor na linguagem natural, tamb´em conseguiremos provar na linguagem l´ogica.

O prop´osito desta se¸c˜ao ´e provar axiomaticamente uma quantidade razo´avel de teoremas e metateoremas, de modo que as demonstra¸ c˜oes axiom´aticas se tornem mais fact´ıveis – pelo menos nos n´ıveis mais elementares – , e n˜ao apenas uma possibilidade te´orica.

Vamos come¸car por um teorema bem sim ples: (x = y)

_→→

(y = x). Escreveremos as f´ormulas que comp˜oem a demonstra¸c˜ao explicando, entre colchetes, ap´os cada f´ormula, como a obtivemos.

1. (x = y)

_{→ →}

((x = x)

_{→ →}

(y = x)) [Do esquema A5, tomando x = x no lugar de A e y = x no lugar de B]

2. (x = x)

_→→

(((x = y)

_{→ →}

((x = x)

_{→ →}

(y = x)))

_→→

((x = y)

_→→

(y = x))) [Do esquema A1, tomando a tautologia p

_{→ →}

((q

_{→ →}

( p

_{→ →}

r))

_{→ →}

(q

_{→ →}

r)), substituindo p por x = x, q por x = y e r por y = x]

100CAP ´ ITULO 6. L ´ OGICA DE PRIMEIRA ORDEM – AXIOMATIZAC¸ ˜ AO 3. x = x [Esquema A4]

4. ((x = y)

_{→ →}

((x = x)

_{→ →}

(y = x)))

_{→ →}

((x = y)

_{→ →}

(y = x)) [modus ponens aplicado a 2 e 3, tomando como A a f´ormula x = x e como B

a f´ormula ((x = y)

_→→

((x = x)

_→→

(y = x)))

_→→

((x = y)

_→→

(y = x))] 5. (x = y)

_{→ →}

(y = x) [Modus Ponens aplicado a 1 e 4, tomando ( x =

y)

_→→

((x = x)

_→→

(y = x)) no lugar de A e (x = y)

_→→

(y = x) no lugar de B]

O pr´oximo grupo de metateoremas que mostraremos s˜ao novas regras de inferˆencia obtidas a partir do modus pones e das instˆancias de tautologias. Come¸camos derivando a regra de inferˆencia que ´e a contrapositiva do modus ponens, e corresponde ao silogismo l´ ogico negando o consequente . Como todos metateoremas desse grupo tˆem demonstra¸c˜oes bem parecidas e simples, deixaremos a maioria das demonstra¸c˜oes como exerc´ıcio ao leitor._{Lembramos que estamos seguindo aquelas regras de omiss˜ao de parˆenteses,} quando n˜ao houver comprometimento com o significado. Eliminamos os parˆenteses externos e em sequˆencias de operadores un´arios (

_¬¬

,

_{∀ ∀}

e

_{∃ ∃}

).

Teorema 6.4 (Modus Tollens). Se A

_{→ →}

B e

_{¬ ¬}

B s˜ ao teoremas ent˜ ao

_{¬ ¬}

A ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: Pela tabela-verdade podemos verificar que a seguinte f´ormula ´e uma instˆancia de tautologia, onde A e B s˜ao f´ormulas quaisquer:

(A

_→→

B)

_→→

((

_¬¬

B)

_→→

(

_¬¬

A))

Se A

_{→ →}

B ´e um teorema, da f´ormula acima e de modus ponens conclu´ımos que a seguinte f´ormula ´e um teorema:

(

_¬¬

B)

_→→

(

_¬¬

A)

Aplicando modus ponens novamente – assumindo que

_{¬ ¬}

B ´e um teorema –

conclu´ımos

_{¬ ¬}

A. 

6.3. PRINCIPAIS ESQUEMAS DE TEOREMAS 101

Demonstra¸c˜ao: Como no Teorema 6.4, basta aplicarmo s duas vezes mo- dus ponens `a seguinte instˆancia de tautologia:

A

_→→

(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B))



Os pr´oximos oito teoremas seguem o mesmo m´etodo e deixaremos as provas como exerc´ıcios.

Teorema 6.6. Se A

_→→

B e B

_→→

C s˜ ao teoremas ent˜ ao A

_→→

C ´e um teorema.

Teorema 6.7. Se A

_{→ →}

(B

_{→ →}

C ) e B s˜ ao teoremas, ent˜ ao A

_{→ →}

C ´e um teorema.

Teorema 6.8. Se A

_→→

B e B

_→→

A s˜ ao teoremas ent˜ ao A

_↔↔

B ´e um teorema.

Teorema 6.9. Se A

_{→ →}

(B

_→→

C ) e A

_{→ →}

(C

_→→

D) s˜ ao teoremas ent˜ ao

A

_→→

(B

_{→ →}

D) ´e um teorema.

Teorema 6.10. Se A

_→→

B e A

_→→

C s˜ ao teoremas ent˜ ao A

_→→

(B

_∧∧

C ) ´e um teorema.

Teorema 6.11. Se A

_{→ →}

(B

_{→ →}

C ) ´e um teorema ent˜ ao (A

_∧∧

B)

_{→ →}

C ´e um teorema.

Teorema 6.12. Uma f´ ormula da forma A

_→→

B ´e um teorema se, e somente se, (

_¬¬

B)

_→→

(

_¬¬

A) ´e um teorema.

Teorema 6.13. Se A

_→→

B e (

_¬¬

A)

_→→

B s˜ ao teoremas ent˜ ao B ´e um teorema. Os dois teoremas seguintes generalizam o esquema de axiomas A5, sobre substitui¸c˜ao de termos iguais em uma f´ormula.

Teorema 6.14. Se t e s s˜ ao termos, e B ´e obtido a partir de A atrav´es de uma substitui¸c˜ ao de t por s, em uma ocorrˆencia que n˜ ao est´ a no escopo de nenhuma ocorrˆencia de uma vari´ avel que ocorre em t ou em s, ent˜ ao (t = s)

_→→

(A

_→→

B) ´e um teorema.

102CAP ´ ITULO 6. L ´ OGICA DE PRIMEIRA ORDEM – AXIOMATIZAC¸ ˜ AO

Demonstra¸c˜ao Sejam x e y duas vari´aveis que n˜ao aparecem nas f´ormulas

A e B nem nos termos t e s. Considere C a f´ormula obtida pela substitui¸c˜ao do termo t pela vari´avel x na f´ormula A, na mesma ocorrˆencia em que t ´e substitu´ıdo por s, em B. Da mesma for ma, considere D a f´ormula em que substitu´ımos essa mesma ocorrˆencia de s em B pela vari´avel y.

Como x e y n˜ao ocorrem em A nem em B, reparemos que [C ]t

x ´e a f´ormula

A, e [D]s

y ´e a f´ormula B. Pela hip´otese, temos que x e y n˜ao est˜ao no escopo de nenhuma vari´avel que ocorre em t ou s. Portanto, as substitui¸c˜oes em [C ]t

x e [D]sy s˜ao boas. Como escolhemos x e y que n˜ao aparecem nas f´ormulas

A e B, temos que D ´e obtido a partir de uma substitui¸c˜ao boa de x por y

em C . Portanto, o esquema A5 nos fornece o seguinte axioma: (x = y)

_→→

(C

_{→ →}

D)

Pela regra da generaliza¸c˜ao

∀∀

x((x = y)

_→→

(C

_{→ →}

D))

Usando as observa¸c˜oes acima notamos que a seguinte f´ormula ´e uma instˆancia de A3:

∀∀

x((x = y)

_→→

(C

_{→ →}

D))

_→→

((t = y)

_→→

(A

_→→

D)) Por modus ponens, das duas ´ultimas f´ormulas, obtemos

(t = y)

_→→

(A

_→→

D) Novamente pela generaliza¸c˜ao:

∀∀

y((t = y)

_→→

(A

_→→

D)) Por A3:

∀∀

y((t = y)

_→→

(A

_→→

D))

_→→

((t = s)

_→→

(A

_→→

B))

Usando modus ponens mais uma vez obtemos o teorema que quer´ıamos: (t = s)

_→→

(A

_→→

B)



Na hip´otese do Teorema 6.14 tamb´em dizemos que a substitui¸c˜ao de t

por s ´e boa .

Teorema 6.15. Se t e s s˜ ao termos, e B ´e obtido a partir de A atrav´es de duas ou mais substitui¸c˜ oes boas de t por s, ent˜ ao (t = s)

_{→ →}

(A

_{→ →}

B) ´e um teorema.

6.3. PRINCIPAIS ESQUEMAS DE TEOREMAS 103

Demonstra¸c˜ao Se B ´e obtido a partir de n substitui¸c˜oes de t por s em A, considere uma sequˆencia de f´ormulas A0,...,A n em que A0 ´e a f´ormula A,

An ´e a f´ormula B, e cada f´ormula ´e obtida a partir de uma substitui¸c˜ao de t por s na f´ormula anterior. O metateorema 6.14 nos d´a, para cada i < n, o seguinte teorema:

(1) ( t = s)

_→→

(Ai

→ →

Ai+1)

Mostraremos, por indu¸c˜ao em i, que para todo i < n vale o teorema

(2) ( t = s)

_→→

(A0

→ →

Ai+1)

Para i = 0 a express˜ao (2) ´e um caso particular de (1). Suponha que temos mostrado o seguinte teorema:

(3) ( t = s)

→→

(A0

→

→

Ai)

De (3) e (1) e da nova regra de inferˆencia 6.9 obtemos (2). Tomando i = n

₋₋

1 obtemos

(t = s)

_→→

(A0

→ →

An)



Teorema 6.16. Se A ´e um teorema, t ´e um termo, e x ´e uma vari´ avel livre para t, em A, ent˜ ao [A]t

x ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: Pela regra da generaliza¸c˜ao,

_{∀ ∀}

xA ´e um teorema. De A3 temos que (

∀∀

xA)

→

→

[A]t

x ´e um teorema. De Modus Ponens conclu´ımos que

[A]tx _{´e um teorema.} 

Mostraremos, agora, as propriedades reflexiva, sim´etrica e transitiva da igualdade entre termos.

Teorema 6.17. Se t ´e um termo, ent˜ ao t = t ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: Segue de A4 e 6.16. 

104CAP ´ ITULO 6. L ´ OGICA DE PRIMEIRA ORDEM – AXIOMATIZAC¸ ˜ AO

Demonstra¸c˜ao: Provamos, no exemplo, que (x = y)

_{→ →}

(y = x) ´e um teorema. Aplicando duas vezes 6.16 provamos o que quer´ıamos. 

Teorema 6.19. Se t, s e u s˜ ao termos, ent˜ ao ((t = s)

_∧∧

(s = u))

_→→

(t = u) ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos a sequˆencia de f´ormulas da demonstra¸c˜ao, enumerando as f´ormulas `a esquerda e indicando, `a direita, os axiomas, regras de inferˆencia, metateoremas e f´ormulas anteriores utilizados. Abreviamos as regras de generaliza¸c˜ao e modus ponens como G e MP, respectivamente, e omitimos detalhes nas indica¸c˜oes dos esque mas de axiomas. Cabe ao leitor (nesta e nas pr´oximas demonstra¸c˜oes) completar os detalhes, como verificar as instˆancias de tautologia e se as substitui¸c˜oes s˜ao boas.

1. (x = y)

_→→

(y = x) [6.18] 2. (y = x)

_→→

((y = z )

_→→

(x = z )) [A5] 3. (x = y)

_→→

((y = z )

_→→

(x = z )) [6.6, 1 e 2] 4. ((x = y)

_{→ →}

((y = z )

_{→ →}

(x = z )))

_{→ →}

(((x = y)

_∧∧

(y = z ))

_{→ →}

(x = z )) [A1] 5. ((x = y)

_∧∧

(y = z ))

_→→

(x = z ) [MP, 4 e 3] 6. ((t = y)

_∧∧

(y = z ))

_→→

(t = z ) [6.16, 5] 7. ((t = s)

∧∧

(s = z ))

→→

(t = z ) [6.16, 6] 8. ((t = s)

_∧∧

(s = u))

_→→

(t = u) [6.16, 7] 

Os pr´oximos teoremas nos ajudar˜ao a trabalhar melhor com o quantifi- cador universal.

Teorema 6.20. Se A e B s˜ ao f´ ormulas e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao

_{∀ ∀}

x(A

_{→ →}

B)

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB)) ´e um teorema.

6.3. PRINCIPAIS ESQUEMAS DE TEOREMAS 105 Demonstra¸c˜ao 1. (

_∀∀

xA)

_→→

A [A3] 2. ((

_∀∀

xA)

_→→

A)

_→→

((A

_→→

B)

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

B)) [A1] 3. (A

_→→

B)

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

B) [MP, 1 e 2] 4. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

(A

_→→

B) [A3] 5. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

B) [6.6, 4 e 3] 6.

_∀∀

x((

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

B)) [G e 5] 7. (

_∀∀

x((

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

B)))

_→→

((

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

(

_∀∀

x((

_∀∀

xA)

_→→

B))) [A2] 8. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

(

_∀∀

x((

_∀∀

xA)

_→→

B)) [MP, 6 e 7] 9. (

_∀∀

x((

_∀∀

xA)

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB)) [A2] 10. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB)) [6.6, 8 e 9] 

Teorema 6.21. Se A

_→→

B e

_{∀ ∀}

xA s˜ ao teoremas, ent˜ ao

_{∀ ∀}

xB ´e teorema.

Demonstra¸c˜ao: 1. A

_→→

B [hip´otese] 2.

_∀∀

xA [hip´otese] 3.

_∀∀

x(A

_→→

B) [G e 1] 4. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB)) [6.20] 5. (

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB) [MP, 3 e 4] 6.

_∀∀

xB [MP, 2 e 5] 

Teorema 6.22. Se A e B s˜ ao f´ ormulas e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao

_{∀ ∀}

x(A

_∧∧

B)

_→→

((

_∀∀

xA)

_∧∧

(

_∀∀

xB)) ´e um teorema.

106CAP ´ ITULO 6. L ´ OGICA DE PRIMEIRA ORDEM – AXIOMATIZAC¸ ˜ AO Demonstra¸c˜ao: 1. (A

_∧∧

B)

_→→

A [A1] 2.

_∀∀

x((A

_∧∧

B)

_→→

A) [G e 1] 3. (

_∀∀

x((A

_∧∧

B)

_→→

A))

_→→

((

_∀∀

x(A

_∧∧

B))

_→→

(

_∀∀

xA)) [6.20] 4. (

_∀∀

x(A

_∧∧

B))

_→→

(

_∀∀

xA) [MP, 2 e 3]

5. (

_∀∀

x(A

_∧∧

B))

_→→

(

_∀∀

xB) [Repita os passos anteriores] 6. (

_∀∀

x(A

_∧∧

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_∧∧

(

_∀∀

xB)) [6.10, 4 e 5]



Teorema 6.23. Se A e B s˜ ao f´ ormulas e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao

_{∀ ∀}

x(A

_∧∧

B)

↔↔

((

∀∀

xA)

∧∧

(

∀∀

xB)) ´e um teorema. Demonstra¸c˜ao: 1. A

_→→

(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B)) [A1] 2.

_∀∀

x(A

_→→

(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B))) [G e 1] 3. (

_∀∀

x(A

_→→

(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B))))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

x(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B)))) [6.20] 4. (

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

x(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B))) [MP, 2 e 3] 5. (

_∀∀

x(B

_{→ →}

(A

_∧∧

B)))

_→→

((

_∀∀

xB)

_→→

(

_∀∀

x(A

_∧∧

B))) [6.20] 6. (

∀∀

xA)

→→

((

∀∀

xB)

→→

(

∀∀

x(A

∧∧

B))) [6.6, 4 e 5] 7. ((

_∀∀

xA)

_∧∧

(

_∀∀

xB))

_→→

(

_∀∀

x(A

_∧∧

B)) [6.11 e 6] 8. (

_∀∀

x(A

_∧∧

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_∧∧

(

_∀∀

xB)) [6.22] 9.

_∀∀

x(A

_∧∧

B)

_↔↔

((

_∀∀

xA)

_∧∧

(

_∀∀

xB)) [6.8, 7 e 8] 

Teorema 6.24. Se A

_↔↔

B ´e um teorema e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao (

_∀∀

xA)

_↔↔

(

_∀∀

xB) ´e um teorema.

6.3. PRINCIPAIS ESQUEMAS DE TEOREMAS 107 Demonstra¸c˜ao: 1. A

_↔↔

B [Hip´otese] 2. (A

_↔↔

B)

_→→

(A

_→→

B) [A1] 3. A

_→→

B [MP, 1 e 2] 4.

_∀∀

x(A

_→→

B) [G e 3] 5. (

_∀∀

x(A

_→→

B))

_→→

((

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB)) [6.20] 6. (

_∀∀

xA)

_→→

(

_∀∀

xB) [MP, 4 e 5]

7. (

_∀∀

xB)

_→→

(

_∀∀

xA) [Analogamente aos pass os 1 a 6] 8. (

_∀∀

xA)

_↔↔

(

_∀∀

xB) [6.8, 6 e 7]



Terminamos nossa lista com alguns teoremas sobre o quantificador exis- tencial.

Teorema 6.25. Se A ´e uma f´ ormula e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao A

_→→

(

_∃∃

xA) ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: Lembramos que a f´ormula acima ´e uma abreviatura de

A

_→→

(

_¬∀¬∀

x

_¬¬

A). Fa¸camos a prova: 1. (

_∀∀

x

_¬¬

A)

_→→

(

_¬¬

A) [A3] 2. (

_¬¬¬¬

A)

_→→

(

_¬∀¬∀

x

_¬¬

A) [6.12] 3. A

_→→

(

_¬¬¬¬

A) [A1] 4. A

_→→

(

_¬∀¬∀

x

_¬¬

A) [6.6, 3 e 2] 

Teorema 6.26. Se A ´e uma f´ ormula e x ´e uma vari´ avel, ent˜ ao (

_∀∀

xA)

_{→ →}

(

_∃∃

xA) ´e um teorema.

108CAP ´ ITULO 6. L ´ OGICA DE PRIMEIRA ORDEM – AXIOMATIZAC¸ ˜ AO Demonstra¸c˜ao: 1. (

_∀∀

xA)

_→→

A [A3] 2. A

_→→

(

_∃∃

xA) [6.25] 3. (

_∀∀

xA)

_→→

(

_∃∃

xA) [6.6, 1 e 2] 

Teorema 6.27. Se x e y s˜ ao vari´ aveis,

_{∀ ∀}

x

_∃∃

y(x = y) ´e um teorema.

Demonstra¸c˜ao: 1. (

_∀∀

y(

_¬¬

(x = y)))

_→→

(

_¬¬

(y = y)) [A3] 2. (

¬¬

(

¬¬

(y = y)))

→→

(

¬¬

(

∀∀

y(

¬¬

(x = y)))) [6.12 e 1] 3. (y = y)

_→→

(

_¬¬

(

_¬¬

(y = y))) [A1] 4. (y = y)

_→→

(

_¬¬

(

_∀∀

y(

_¬¬

(x = y)))) [6.6, 3 e 2] 5. (y = y)

_→→

(

_∃∃

y(x = y)) [defini¸c˜ao de

_{∃ ∃}

] 6. y = y [A4] 7.

_∃∃

y(x = y) [MP, 6 e 5] 8.

_∀∀

x

_∃∃

y(x = y) [G e 7] 

6.4 F´ormulas equivalentes

Continuamos a apresentar alguns metateoremas cruciais para as demons- tra¸c˜oes forma is. Desta vez, mostraremos teoremas da forma A

_{↔ ↔}

B, que ser˜ao ´uteis para a pr´oxima se¸c˜ao, sobre forma normal prenexa.

Defini¸c˜ao 6.28. Dizemos uma f´ormula A ´e equivalente a uma f´ormula B

6.4. F ´ ORMULAS EQUIVALENTES 109

No documento Lógica Matemática - Rogério Augusto Dos Santos Fajardo (páginas 76-86)