Principais Medidas de Tendência Central: Mediana e Moda

A) Mediana

Esta medida de tendência central, a partir de um conjunto de valores em rol, é o valor que o separa em duas partes iguais em número de elementos.

Para o cálculo da mediana é aconselhável que o rol esteja em ordem crescente.

0% 50% 100%

Por exemplo, se o número de elementos da amostra for ímpar, a mediana é o elemento central do rol.

1, 3, 4, 6, 7, 9, 15, 16, 19 => Md = 7

Caso tenha número de elementos par, a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais do rol.

3, 4, 7, 10, 12, 14, 15, 18 => Md = (10 + 12)/2 = 11

Exemplo: Suponhamos a seguinte distribuição de taxas de glicose de um diabético, mensurados mensalmente durante 5 meses:

180 200 190 210 220

Nesse caso, a taxa de glicose de 200 é a mediana da série, pois o número de elementos que precede é igual ao número de elementos que o segue na série, depois de dispor o rol em ordem crescente.

Vamos agora a um exemplo com uma série de números pares!

N

M

D

Exemplo: Suponhamos a seguinte distribuição de taxas de hemograma de um paciente com infecção intestinal, mensurados diariamente, durante 6 dias, quando ficou internado sob cuidados médicos:

20.000 19.000 18.500 15.000 10.000

Depois de colocarmos o rol em ordem crescente (ou decrescente), identificamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais. Assim focou simples! A mediana é a soma dos valores 19.000 e 18.500 e depois dividido por 2, que será 18.750, o valor mediano da série portanto.

Vamos exercitar? A partir da análise gráfica, calcule a média aritmética e a mediana da quantidade de tratores verificados na produção agrícola da Bahia entre os anos de 1985 e 1999.

B ) Moda

Denominamos Moda o valor mais freqüente de uma distribuição de dados. Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. Assim, para a distribuição:

Xi 243 245 248 251 307

fi 7 17 23 20 8

A moda é: Mo = 248.

De acordo com o comportamento dos valores da série, pode-se ter: Série amodal : não existe moda

Série modal ou unimodal : existe uma única moda Série bimodal : existem duas modas

Série multimodal ou plurimodal : existem mais de duas modas

Por exemplo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.

Vamos a mais dois exemplos para aclarar o conceito?

Biomatemática Temperaturas Freqüência 20º C 3 25º C 9 28º C 12 18º C 6

28º C é a temperatura modal, pois a de maior freqüência.

Exemplo: Vamos calcular a estatura modal observando a tabela abaixo? Classes (em cm) Frequência

54 |—————— 58 9

58 |—————— 62 11

62 |—————— 66 8

66 |—————— 70 5

Claramente podemos notar que a classe modal é 58|———— 62, pois é a de maior freqüência. l*=58 e L*=62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm

Neste exemplo, trabalhamos com intervalos de classe. Neste caso, a classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Mo = ( l* + L* ) / 2

onde l* = limite inferior da classe modal e L*= limite superior da classe modal. Lembre-se:

É o Valor que ocorre com maior freqüência em uma

série de valores.

Medidas de Dispersão: Amplitude Total e Desvio Médio

Amplitude Total

Embora tenha um grau de exatidão menor do que as outras medidas de variabilidade, o cálculo da Amplitude Total (AT) é rápida e muito simples de ser feito. Seu cálculo se dá a paritr da diferença entre o maior e o menor escore (dado) da distribuição. Vamos a uma exemplo ilustrativo.

Exemplo 1: Se a temperatura anual mais alta do Estado da Bahia foi de 35 graus da escala celsius e a mais baixa , 20 graus em dos últimos 10 anos, a amplitude total da temperatura anual na Bahia foi de 15 graus, isto é: 35 - 20 = 15.

Note que, como já mencionado, basta fazer um cálculo rápido e fácil. Contudo, temos que ter cautela, pois a amplitude total é de apenas 2 escores, o maior e o menor em um conjunto de valores. Via de regra, essa medida de dispersão nos fornece, segundo os estudiosos da área, “um mero índice grosseiro da variabilidade de uma

distribuição.”(LEVIN,1987)

Desvio Médio

Podemos conceituar desvio como a distância entre qualquer escore bruto e a média da distribuição. Assim, atenção:

Para calcularmos qualquer

discrepância (desvio), devemos subtrair a média aritimética de qualquer escore bruto.

Vamos agora obter uma medida de variabilidade que considere todos os escores da distribuição (e não apenas 2,como a amplitude total!). Tomaremos o valor absoluto de cada discrepância (distâncias com relação à média aritmética), fazer a soma desse valores e, a partir daí, dividir esta soma pelo número de escores (dados). Sabe qual será o resultado? É isso mesmo que você está deduzindo! O desvio Médio. Representamos simbolicamente assim:

Legenda

DM = desvo médio

/X/ = soma dos valores absolutos das discrepâncias (desconsiderando os sinais + / - ) N = total de dados

Exemplo 2: O laboratório bioquímico da Universidade de Boston, durante um semestre, fez as seguintes quantidades de pesquisas mensalmente: 9 foram feitas em janeiro, 8 em fevereiro, 6 em março, 4 em abril, 2 em maio e apenas 1 pesquisa no mês de junho. Qual o desvio médio verificado nas pesquisas durante este semestre?

Vamos solucionar passo a passo: 1º Passo- Calcule a média artimética: X = (9+8+6+4+2+1) / 6 = 5

Biomatemática

Lembre-se em desconsiderar os sinais da coluna das discrepâncias

2º Passo- Subtraia de cada escore (que neste exemplo refere-se à quantidade de pesquisas mensais) da média aritmética obtida no 1º passo. Em seguida, efetue a soma dos desvios sem levar em conta os sinais, ou seja, “considere” que todas as discrepâncias têm o sinal positivo (+).

3º Passo: Proceder, dividindo å /x/ = 16 por N

Com o objetivo de garantir uma equidistribuição levando em consideração o número de pesquisas do laboratório de bioquímica da Universidade de Boston.

Interpretação: Verificamos que o desvio médio para as pesquisas mensais do laboratório de bioquímica da Unversidade de Boston, durante o 1º semestre de determinado ano, foi de 2,67. Isso significa que, em média, as pesquisas feitas oscilaram , mês a mês, em uma quantidade de 2,67 pesquisas em torno da média mensal, que foi de 5.

Atualmente, o desvio médio é, em grande medida, pouco utilizado pelos pesquisadores e está sendo substituído, mais e mais, a cada dia, pelo seu “parente mais próximo”, que é muito eficiente. Estamos fazendo referência ao desvio-padrão, que será abordado a seguir.

Medidas de Variabilidade: Variância, Desvio Padrão.