Problema Ai, tantos testes para corrigir!

O problema cujas resoluções foram analisadas, é o seguinte3:

3Retirado de Viana, J. P. (2005). O problema deste número: Ai, tantos testes para corrigir. Educação e Matemática,

Um professor tinha uma enorme pilha de testes para corrigir. Na 2.ª feira, cheio de energia, despachou metade dos testes. Na 3.ª feira já só viu um terço dos que tinham sobrado. Na 4.ª feira corrigiu apenas um quarto dos que faltavam. Na 5.ª feira, já saturado, viu um quinto dos que tinha para ver. Na 6.ª feira, verificando que lhe faltavam menos de duas dúzias, resolveu acabar com o suplício e corrigiu tudo. Quantos testes tinha o professor?

A turma resolveu este problema em grupos, e todos chegaram à resposta correta. No entanto, o processo de resolução não foi o mesmo em todos os grupos, e foi nesse aspeto que se tornou pertinente a discussão realizada em grupo turma. Pelo mesmo motivo, tornou-se um problema interessante para analisar as resoluções dos alunos.

Estratégias desenvolvidas pelos alunos na resolução do problema

Ao resolverem este problema, todos os grupos o fizeram por partes. Desta forma, conciliaram mais do que uma estratégia, sendo que as mais utilizadas foram a dedução e a tentativa e erro, como podemos ver no quadro 6.

Quadro 6

Estratégias utilizadas nas resoluções do problema Ai, tantos testes para corrigir!

Estratégia utilizadas Frequência Absoluta Frequência Relativa (em %)

Tentativa e erro 5 71%

Resolução por partes 7 100%

Dedução 7 100%

Construção de esquemas/figuras 1 14%

Todos os grupos recorreram a deduções, principalmente relacionadas com os múltiplos de determinados números, tal como aconteceu com o grupo G6. Um extrato da resolução deste grupo onde é possível ver essa dedução, é visível na figura 19.

Após fazerem esta dedução, alguns grupos recorreram à tentativa e erro para perceber qual das hipóteses que tinham em mãos seria a correta.

Quanto à estratégia da construção de esquemas/figuras, o único grupo que o fez foi o G7, e pode ver-se um extrato da parte final da sua resolução na figura 20.

Este grupo recorreu a esquemas ao longo da sua resolução, mais do que uma vez, apresentando esta figura final com toda a informação recolhida ao longo do processo.

Dificuldades dos alunos na resolução do problema

Uma das grandes vantagens de permitir que os alunos trabalhem em grupo, é o facto de se entreajudarem de forma a colmatar dificuldades. Assim, nestes casos, a maior dificuldade que os alunos demonstram está na estruturação da sua resposta e na forma de a apresentarem.

Na resolução deste problema, a única dificuldade detetada era ao nível da recolha de dados, encontrada em dois grupos. Um dos grupos assumiu que faltarem “menos de duas dúzias”, invalidava que o professor, na 6.ª feira, tivesse corrigido apenas dois testes, por exemplo. Podemos ver isto num extrato da resolução do grupo G5, na figura 21.

Esta dificuldade poderia ter impedido este grupo de encontrar a resposta correta. Isto porque, depois de fazerem esta dedução, os elementos deste grupo testaram todos os valores entre 12 e 23, para daí concluir quantos seriam os testes corrigidos na 6.ª feira. Caso a resposta não se encontrasse nesse intervalo, o grupo poderia não ter conseguido concluir a sua resolução, ou então poderia ter-se apercebido

Figura 20. Extrato 1 da resolução do problema Ai, tantos testes para corrigir! pelo grupo G7.

Na figura 22 encontramos a dificuldade na recolha de dados, por parte de outro grupo.

Os elementos do grupo G1 resolveram escrever uma expressão algébrica que lhes permitisse perceber quantos testes faltavam corrigir na 6.ª feira. Apesar de não explicarem o seu procedimento, conseguimos perceber, pelo contexto, que 𝑥 representa a quantidade total de testes. A dificuldade é encontrada na quarta e quinta parcelas, que correspondem à quantidade de testes corrigidos na 4.ª feira e na 5.ª feira, respetivamente. Focando na quarta parcela, o grupo está a assumir que o professor corrigiu um quarto da quantidade corrigida no dia anterior, quando o problema revela que corrigiu um quarto da quantidade que falta corrigir.

Comunicação escrita dos alunos na apresentação da resolução do problema

Todos os grupos mostraram ter compreendido o problema, tendo reescrito a informação dada no enunciado por palavras ou símbolos próprios. Além disso, toda a turma recolheu corretamente os dados do problema, havendo apenas um grupo que fez deduções que o enunciado não permite, tal como já foi referido nas dificuldades.

Já foi supracitado que todos os grupos apresentaram uma resposta correta ao problema. No entanto, nem todos o fizeram de forma completa, já que três, dos sete grupos, não apresentaram uma conclusão ao problema. Limitaram-se a terminar os seus cálculos e o seu raciocínio, sem apresentar uma frase conclusiva de tudo o que foi feito. Ainda dentro do nível de fundamentação da resposta, apenas um dos grupos, G2, não o faz de forma muito clara, como vemos na figura 23.

No extrato representado na figura 23, vê-se que o grupo escreveu a informação do problema em forma de fração, assumindo a incógnita 𝑥 para representar o número de testes. No entanto, não é percetível se as frações obtidas fornecem o número de testes que o professor corrigiu em cada dia, o número de testes que fica a faltar corrigir após cada dia, ou outro tipo de informação. No que diz respeito ao tipo de fundamentação da resposta, apenas dois grupos fundamentaram de forma vaga e pouco informativa, faltando mais indicações sobre aquilo que fizeram e sobre o porquê de o fazerem, como vemos na figura 24.

Desta forma, alguém que não tenha pensado previamente no problema, não consegue compreender aquilo que os grupos fizeram para o resolver. Os restantes cinco grupos já fundamentaram de forma relacional, justificando melhor os passos que davam e também o porquê de o fazerem.

No que às representações diz respeito, o único grupo que não recorreu à linguagem verbal de forma significativa foi o grupo G6 (Figura 24). Os restantes, recorreram à linguagem verbal para explicarem procedimentos ou para concluir algumas deduções. Quanto à representação simbólica, todos os grupos a utilizaram, sendo que seis grupos o fizeram na escrita das frações que representavam os testes corrigidos em cada dia, ou os que faltavam corrigir, como vemos na figura 24. O único grupo que

não utilizou desta forma a representação simbólica, recorreu a ela para indicar regras de três simples, como vemos na figura 25.

Também foi este grupo o único a utilizar a representação icónica, fazendo desenhos que auxiliavam o seu processo de resolução, como conseguimos ver no canto superior esquerdo da figura 25.