5.3 Escoamento natural
5.3.1 Problema 4 - Cavidade quadrada com superfícies verticais aquecidas
centímetros de aresta. Nos quatro lados as velocidades tangenciais e normais são nulas, correspondendo à condição de não deslizamento em uma parede impermeável. O ar no interior inicia-se em repouso a uma temperatura de 20°C. A parede vertical a esquerda possui uma temperatura Tq superior ao ar e a parede direita uma temperatura Tf inferior ao ar. As paredes horizontais estão isoladas. O sistema de coordenadas situa-se no centro da cavidade. A linha vertical C1 e horizontal C2 foram usadas para plotar os resultados. Nessas linhas foram feitas as comparações entre o resultado do modelo desenvolvido e o FLUENT. A Figura 34 apresenta a geometria e as condições de contorno.
Figura 34 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas. x1 x2 superfície isolada supe rf ície qu ente ( Tq ) super fíc ie fr ia ( Tf ) fr ia isol ada superfície isolada g2 0,1 m
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As propriedades adotadas para o ar a 20 °C estão resumidas em (5.4). As malhas usadas foram as mesmas utilizadas no exemplo da cavidade quadrada da secção 5.2.1. Dois casos foram estudados, no caso 1 a temperatura da superfície esquerda é igual a 20,05 °C e a temperatura da superfície direita é igual a 19,95 °C, correspondendo a Ra104. O intervalo de tempo utilizado na simulação foi de foi de 0,02 segundos. No caso 2 a temperatura da superfície esquerda é igual a 70 °C e a temperatura da superfície direita é igual a -30 °C,correspondendo a Ra107. O intervalo de tempo utilizado na simulação foi de 0,01 segundos.
3 5 1 1 1 1 1 1 2 2 1, 024 1, 72 10 kg m s 2, 42 W m 1, 012 J kg 0, 02896 / 9.81 / 20 ref P g ref kg m x k C c C M kg mol g m s T C (5.4)
Observam-se diversos tipos de comportamento para este problema, estes comportamentos podem ser agrupados em função do número de Rayleigh. Com valores de número de Rayleigh abaixo de 102 o processo de transferência é dominado pela condução, as isotérmicas são paralelas às paredes verticais, gerando um perfil linear de temperatura similar a encontra através da equação de Laplace para as mesmas condições de contorno e inicias. O fluido mantém-se praticamente em repouso. Para o número de Rayleigh entre 103 e 105 processo de transferência de calor é dominado tanto pela condução quanto advecção. As isotérmicas começam a deixar de ser paralelas a vertical. O fluido se movimenta em células circulares bem definidas. Para o número de Rayleigh acima de 106 o processo de transferência de calor é dominado pela advecção. As isotérmicas ficam paralelas a horizontal na parte central da cavidade e verticais próximas a paredes verticais, formando uma espécie de singularidade próxima a estas paredes. O escoamento deixa de possuir células bem definidas. Para o número de Rayleigh acima de 108 o escoamento se torna turbulento e a solução estacionária pode não mais existir.
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A Figura 35 (a-d) apresenta as curvas isotérmicas para os números de Rayleigh iguais a 104 e 107 obtidos para as duas malhas no instante de tempo de 100 segundos e 25 segundos respectivamente. Para o número de Rayleigh 104 as isotérmicas mudam a orientação preferencial, da vertical para a horizontal, esta mudança ocorre de maneira suave conforme se afastam da parede vertical. Para o número de Rayleigh 107 as isotérmicas efetuam uma mudança brusca desta orientação próxima às paredes verticais.
a) b)
c) d)
Figura 35 - Isotérmicas para a cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas:
a) Malha de quadrilátero com número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos; b) Malha de triângulos com número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos; c) Malha de quadrilátero com número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos; d) Malha de triângulos com número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos.
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A Figura 36 (a-d) apresenta as linhas de corrente para os números de Rayleigh iguais a 104 e 107 obtidos para as duas malhas no instante de tempo de 100 segundos e 25 segundos respectivamente. Como esperado o movimento principal é no sentido horário em todos os casos. Para números de Rayleigh igual a 104 é formada uma única célula de circulação bem definida que abrange praticamente toda a cavidade. Para números de Rayleigh igual a 107 esta célula se degenera completamente, ainda surge um padrão bem definido de circulação, porém não é suave. Na região próxima a linha C2 a um forte gradiente vertical de velocidade, o escoamento muda completamente de sentido. Na parte superior de C2 o fluido se movimenta no sentido esquerda-direita (u1>0), já na parte inferior no sentido direita-esquerda (u1<0).
a) b)
c) d)
Figura 36 - Linhas de corrente para a cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas:
a) Malha de quadrilátero Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos; b) Malha de triângulos Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos; c) Malha de quadrilátero Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos; d) Malha de triângulos Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos.
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As figuras 37 e 38 apresentam as temperaturas para número de Rayleigh igual a 104, as temperaturas foram obtidas no modelo implementado e no FLUENT no tempo de 100 segundos. Na Figura 37 as temperaturas foram plotadas ao longo da reta C1. Entre as coordenadas verticais -0,02 e 0,02 m da linha C1 a variação da temperatura é praticamente linear. A uma distância inferior a 0,01 m das paredes superior e inferior a temperatura fica praticamente constante, assumindo os valores de 20,03 °C e 19,97 °C, respectivamente. Na Figura 38 as temperaturas foram plotadas ao longo da reta C2. Entre as coordenadas horizontais -0,01 e 0,01 m da linha C2 a variação da temperatura é constante e igual a 20 °C. Para distâncias inferiores a 0,01 m das paredes verticais as temperaturas variam linearmente para os valores prescritos como condição de contorno, i.e., 20,05 °C para a parede esquerda quente e 19,95 °C para a parede direita fria. As temperaturas obtidas pelo o modelo desenvolvido e o FLUENT foram praticamente iguais.
As figuras 39 e 40 apresentam as temperaturas para número de Rayleigh igual a 107, as temperaturas foram obtidas no modelo implementado e no FLUENT no tempo 25 segundos. Na Figura 39 as temperaturas foram plotadas ao longo da reta C1. Entre as coordenada verticais -0,03 e 0,03 m da linha C1 a variação da temperatura é praticamente linear. Porém observa-se pequenas oscilações nos valores da temperatura na malha de triângulos, essas diferenças podem ser atribuídas à malha utilizada. Para uma distância inferior a 0,005 m das paredes superior e inferior a temperatura fica praticamente constante, assumindo os valores de 54 °C e -16 °C, respectivamente. Na Figura 40 as temperaturas foram plotas ao longo da reta C2. Entre as coordenadas horizontais -0,04 e -0,04 m da linha C2 a variação da temperatura é constante e igual a 20,0 °C. Para distâncias inferiores a 0,005 m das paredes verticais as temperaturas variam linearmente para os valores prescritos como condição de contorno, i.e., 70 °C para a parede esquerda aquecida e -30 °C para a parede direita resfriada. Os resultados entre as três simulações foram praticamente iguais, se for desconsiderado as pequenas oscilações encontradas na malha de triângulos da Figura 39.
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Figura 37 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Temperatura ao longo da linha C1 para número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos.
Figura 38 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Temperatura ao longo da linha C2 para número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos.
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Figura 39 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Temperatura ao longo da linha C1 para número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos
Figura 40 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Temperatura ao longo da linha C2 para número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos.
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As figuras 41 e 42 apresentam as velocidades para número de Rayleigh igual a 104, as velocidades foram obtidas no modelo implementado e no FLUENT no tempo 100 segundos. Na Figura 41 as velocidades horizontais foram plotadas ao longo da reta C1. O módulo da velocidade máximo foi de 0,003 m/s a uma distância de 0,015 m das paredes horizontais, abaixo deste valor o escoamento começar a ser influenciado pela camada limite. Entre as coordenada verticais -0,015 e 0,015 da linha C1 a variação da velocidade horizontal é praticamente linear. Na Figura 42 as velocidades verticais foram plotadas ao longo da reta C2. O módulo da velocidade máximo é de 0,004 m/s a uma distância inferior a 0,013 m das paredes verticais. As velocidades obtidas pelo o modelo desenvolvido e o FLUENT foram praticamente iguais.
As figuras 43 e 44 apresentam as velocidades para número de Rayleigh igual a 107, as velocidades foram obtidas entre no modelo implementado e no FLUENT no tempo de 25 segundos. Na Figura 43 as velocidades horizontais foram plotadas ao longo da reta C1. Neste caso os valores extremos dos módulos das velocidades são diferentes para regiões próximas a parede superior e inferior. Para a região próxima a parede superior o módulo da velocidade foi de 0,032 m/s a 0,015 m desta. Para a região próxima a parede inferior o módulo da velocidade foi de 0,030 m/s, nas malhas de quadriláteros e do FLEUNT à distância a parede foi de 0,009 m, já na malha de triângulos à distância a parede foi de 0,011 m. O resultado obtido na malha de triângulos parece estar ligeiramente deslocado para a direta em relação aos outros dois. Esta diferença pode-se atribuída a malha. Os valores extremos diferentes no módulo da velocidade podem ser explicados pelo fato da variação de massa específica não ser linear com a temperatura, o resfriamento causa uma variação maior de massa específica do que o aquecimento. Quanto maior é a mudança de temperatura maior será esta diferença. Isto explica a assimetria observada na solução. Na Figura 44 a velocidade vertical foi plotada ao longo da reta C2. Novamente pela na linearidade da variação da massa específica observa-se que os valores extremos do módulo da velocidade são diferentes. Na parede à esquerda o modulo é ligeiramente superior a 0,15 m/s e na parede à direita o modulo é ligeiramente inferior a 0,15 m/s.
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Figura 41 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Velocidade horizontal ao longo da linha C1 para número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos.
Figura 42 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado – Velocidades verticais ao longo da linha C2 para número de Rayleigh igual a 104 no tempo 100 segundos.
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Figura 43 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado - Módulo da velocidade ao longo da linha C2 para número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos.
Figura 44 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Comparação entre o FLUENT e o modelo implementado- Módulo da velocidade ao longo da linha C2 para número de Rayleigh igual a 107 no tempo 25 segundos.
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As tabelas 7 e 8 apresentam os valores mínimos e máximos das iterações do PCG e BiCGSTAB para o problema da cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas com número de Rayleigh iguais a 104 e 107. O Solver PCG é usado apenas para a solução da pressão de correção P´ e o BiCGSTAB para a solução das componentes das velocidades u1, u2 e hs. Observa-se que o número iteração necessários para o PCG obter a solução do sistema da pressão de correção foram pelo menos 15 vezes maiores que o número de iteração no BICGSTAB para os demais sistemas (u1: u2: hs).
Tabela 7 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Número de iteração do PCG e BICGSTAB para o caso 1 (número de Rayleigh igual a 104).
Número de Iterações do Solver – Ra 104
Iterações PCG (P’) BICGSTAB (u1:u2:hs) Quadriláteros Triângulos Quadriláteros Triângulos
Mínimo 1073 1358 42:37:38 42:56:61
Máximo 1338 1479 46:45:50 49:59:63
Tabela 8 - Cavidade quadrada com superfícies verticais mantidas a temperaturas distintas: Número de iteração do PCG e BICGSTAB para o caso 2 (número de Rayleigh igual a 107).
Número de Iterações do Solver – Ra 107
Iterações PCG (P’) BICGSTAB (u1:u2:hs) Quadriláteros Triângulos Quadriláteros Triângulos
Mínimo 1088 1324 27:33:33 40:40:65
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