Problema de Identificação de Forças Dinâmicas

Um processo de identificação de forças pode ser conduzido por meio de um modelo matemático que relacione as respostas medidas de um sistema mecânico com as possíveis forças aplicadas sobre o mesmo.

Os modelos de resposta são construídos a partir de equações diferencias que relacionam as entradas com as saídas do sistema em observação.

Os modelos de respostas podem ser estabelecidos por meio de modelagens nas quais os valores das saídas do sistema são obtidas por meio de experimentos com valores das entradas conhecidas. Assim, não é necessário ter conhecimento sobre a estrutura física interna do sistema.

O problema inverso da identificação de forças consiste em estimar as forças aplicadas sobre um sistema levando em consideração um modelo matemático e as res- postas observadas. O modelo matemático inverso é determinado invertendo as equa- ções matemáticas resultantes da modelagem do sistema físico.

Durante a modelagem de processos de identificação de forças é comum en- contrar sistemas lineares mal condicionados que muitas vezes não podem ser resolvidos pelos métodos convencionais. Este fato justifica o uso de técnicas heurísticas para obter a solução de tais sistemas que possuem grande relevância na engenharia.

Serão considerados nesta seção dois problemas apresentados por PURCINA (2010): um teórico e um experimental. No problema teórico o sistema é excitado por uma força harmônica. Em seguida um problema real de identificação indireta de forças é resolvido considerando os dados experimentais.

boratório de Computação Científica Aplicada e Tecnologia de Informação - LCCATI da FACIP/UFU que possui as seguintes características:

• Frontend: 16 núcleos de processamento, 64GB de memória RAM, 1 adpatador Infiniband QDR X4 (40 Gbps) e duas unidades RAID (3TB home e 12TB tmp1) que são exportadas para todo o cluster;

• Oito (08) Nós computacionais, cada um com 64 núcleos de processamento, 128 GB de memória RAM, 2 adaptadores Infiniband QDR X4 (40 Gbps cada adaptador). Performance de pico de 8.8 GFlops por núcleo (4.5 TFLOPS total + 0.25 TFLOPS no frontend disponíveis para pequenas tarefas);

• Um nó de serviço com 8 núcleos, 64GB de memória RAM, 1 adpatador Infiniband QDR X4 (40 Gbps);

• Um servidor adicional com 16 núcleos de processamento, 64GB de memória RAM, 1 adpatador Infiniband QDR X4 (40 Gbps) e uma unidade de storage com 28 TB (Por enquanto este servidor está inativo);

• Switch infiniband 36 portas QDR X4 (40 Gbps por porta); • Switch ethernet 1Gb 48 portas.

Sistema excitado por uma força harmônica

O objetivo é resolver o seguinte sistema linear:

X = HF (5.83) onde X =                  x1 x2 ... xp                  ; F =                  f1 f2 ... fp                  e H =          h0 0 · · · 0 h1 h0 · · · 0 ... ... ... ... hp−1 hp−2 · · · h0          (5.84)

sendo que, h(i, j) = A0 e −_ξωt(j+1)
senp1− ξ2_{ωt(j + 1)} _(5.85) com i, j= 1, 2, · · · , N-1, e j ≤ i. Considerando A0 = e−3, ξ = 0, 08, ω = 2π500, dt= 1/8192, t ∈ [0, 1] e N =

comprimento(t). A força é dada por:

F = 5sen(2π300t) + 1, 5cos(2π300t) (5.86)

Visto que se conhece a matriz H e o vetor X, o sistema linear (5.83) será resolvido usando EDMP e o método iterativo Resíduo Mínimo Generalizado (GMRES) para encontrar o vetor F . A função objetivo é dada pelo resíduo r = |X − HF |. A modelagem completa deste problema de identificação de forças dinâmicas pode ser visto em PURCINA (2010).

Segundo SAAD e SCHULTZ (1986), o GMRES é um método iterativo utilizado para resolver sistemas lineares que tem a propriedade de minimizar a cada iteração a norma do vetor residual sobre o subespaço de Krylov. O algoritmo é derivado a partir do processo de Arnoldi por construção da base orthogonal L2 do subespaços de Krylov. O

GMRES pode ser considerado como uma generalização do algoritmo MINRES de Paige e Saunders e é teoricamente equivalente ao método do Resíduo Conjugado Generali- zado (GCR). Uma descrição mais detalhada do GMRES pode ser vista em PURCINA (2010).

A fim de avaliar o algoritmo EDMP foram realizados três testes com diferentes quantidades de indivíduos na população com os seguintes parâmetros: fator de diferença F = 0,7 e probabilidade de cruzamento CR = 0,9. O critério de parada do algoritmo EDMP adotado foi o número máximo de gerações da população e a verificação de sua estag- nação. Nos três testes foram utilizados 80 processadores do cluster. Em seguida, as soluções numéricas encontradas com EDMP serão comparadas com as soluções analí- ticas e as obtidas pelo GMRES no MATLABr_.

Teste 1

No primeiro teste foram adotados t ∈ [0; 0, 01], 1600 indivíduos na população inicial o que equivale à 20 indivíduos por processador e, no máximo, 100 iterações para o critério de parada. Neste caso a matriz H tem 82 × 82 entradas. Foram executa- das 114.560 avaliações da função objetivo em 6,95 minutos. A Fig. 5.11 apresenta a comparação entre as soluções obtidas e o erro relativo entre a solução analítica e a encontrada com EDMP. O valor do resíduo na solução ótima encontrada por EDMP foi r =_{|X − HF | = 9, 91 × 10}−₅.

Figura 5.11 – Solução analítica e numérica encontrada com EDMP e GMRES - Teste 1.

Teste 2

A fim de tentar melhorar a solução obtida no teste 1, uma nova simulação foi executada considerando 4800 indivíduos na população inicial, o que equivale à 60 indi- víduos por processador e, no máximo, 200 iterações para o critério de parada. Foram executadas 285.660 avaliações da função objetivo em 43,84 minutos. A Fig. 5.12 apre- senta a comparação entre as soluções obtidas e o erro relativo entre a solução analítica e a encontrada com EDMP. O valor do resíduo na solução ótima encontrada por EDMP foi r = |X − HF | = 9, 60 × 10−₅.

Figura 5.12 – Solução analítica e numérica encontrada com EDMP e GMRES - Teste 2. Analizando os resultados obtidos com os testes 1 e 2 pode-se observar que as respostas dos valores da força F encontradas ao longo do tempo são muito satisfatórias já que estão muito próximas às respostas obtidas por meio da solução analítica. O erro relativo entre as soluções analítica e EDMP também mostrou-se muito pequeno, salvo em alguns pequenos intervalos onde a solução aproximada por EDMP afastou-se da solução analítica.

Há poucas diferenças entre as soluções encontradas com os testes 1 e 2. O valor do resíduo r é praticamente o mesmo, no entanto, no teste 2, apesar de haver três vezes mais indivíduos e 100 iterações a mais que o teste 1, o valor do resíduo é sutilmente maior, isto é, a diferença em módulo entre os valores dos resíduos é inferior à 0,0000032.

Portanto, pelo menos para este problema, é inviável o uso de uma população muito grande e de muitas iterações, pois tais escolhas sobrecarregam desnecessaria- mente os processadores e aumentam significativamente o tempo de execução do algo- ritmo.

Teste 3

Neste teste o objetivo é comparar as soluções entre EDMP e GMRES em si- mulações onde o sistema linear é “grande”. Para tanto, foi utilizado t ∈ [0; 0, 03], 3200

individuos da população inicial, o que equivale à 40 indivíduos por processador e, no má- ximo, 100 iterações para o critério de parada. A matriz H tem 246 × 246 entradas e foram executadas 557.680 de avaliações da função objetivo em 1,7 horas. A Fig. 5.13 apre- senta a comparação entre as soluções obtidas e o erro relativo entre a solução analítica e a encontrada com EDMP. O valor do resíduo na solução ótima encontrada por EDMP foi r = |X − HF | = 9, 82 × 10−5.

Figura 5.13 – Solução analítica e numérica encontrada com EDMP e GMRES - Teste 3. Este teste exemplifica uma das dificuldades do GMRES que é obter a solução de “grandes” sistemas lineares. A partir de determinado momento o método começa a divergir.

A solução obtida por EDMP no teste 3 é muito mais precisa que a do GMRES e o valor do resíduo encontrado mostrou-se baixo. Uma desvantagem é o tempo de exe- cução do algoritmo. Para esta simulação o GMRES levou 0,7 segundos para encontrar a solução do sistema porém, tal solução é bastante diferente da solução analítica. Em- bora o esforço computacional do EDMP seja grande, acarretando em muito tempo de execução, a solução por ele obtida está próxima da solução analítica.

Na área científica há várias pesquisas onde os sistemas lineares são repre- sentados por milhares ou até mesmo milhões de variáveis. No trabalho de DEKKER; HOFFMANN; POTMA (1994), por exemplo, é resolvido um sistema linear da ordem de 55.296 que precisou de mais de 4 dias para obter a solução por meio do método Gradi-

ente Conjugado implementado em paralelo.

Os testes realizados com EDMP permitem concluir que o método proposto se apresenta como uma alternativa para resolução de sistemas lineares de grande porte.

Na próxima subseção será resolvido um sistema linear com 3.500 variáveis para avaliar o desempenho do algoritmo EDMP na obtenção da solução ótima.