1.5 Programa¸c˜ ao Dinˆ amica em tempo discreto
1.5.2 Problema de investimento
O problema de investimento ´e um problema de distribui¸c˜ao. Este tipo de problemas envolvem a distribui¸c˜ao de recursos por actividades de modo a optimizar uma qualquer me- dida de efectividade. Existem v´arios tipos de problemas de distribui¸c˜ao, de acordo com a interpreta¸c˜ao que dermos aos recursos que vamos distribuir, `as actividades consideradas e `a medida de efectividade que queremos optimizar. No caso particular do exemplo que vamos estudar, consideramos que o recurso dispon´ıvel ´e dinheiro (que ser´a dado em milhares de unidades monet´arias – m.u.m.); as actividades consideradas ser˜ao programas de investimento espec´ıficos; e a medida de efectividade a optimizar corresponde `a maximiza¸c˜ao do lucro total, da´ı ser designado por problema de investimento.
Problema 23. Acabou de chegar ao mercado um novo produto e o fabricante est´a ansioso por determinar a quantidade que deve investir nos diversos meios publicit´arios, de modo a maximizar o seu lucro. H´a quatro tipos de meios publicit´arios sob considera¸c˜ao do fabricante: jornal, revista, televis˜ao e r´adio. A Tabela 1.3 mostra o lucro esperado quando se investe em cada meio publicit´ario. ´E ainda de salientar que, por exemplo, um novo investimento de 10000 unidades monet´arias num jornal, vai aumentar o lucro de 10000 para 16000, ou seja, proporciona um retorno de 60% no investimento. Pretende-se saber:
1. Se estiverem dispon´ıveis 10000 u.m. para publicidade, quanto dever´a ser investido em cada meio publicit´ario de modo a maximizarmos o lucro total?
modo a maximizarmos o lucro?
Vamos resolver o Problema 23 pelo m´etodo da Programa¸c˜ao Dinˆamica. Para isso par- ticionamos o problema em 4 etapas, associando a cada uma delas um sub-problema. Na primeira etapa consideramos que s´o existe um meio publicit´ario, por exemplo, o jornal, e cal- culamos quanto dever´a ser investido nesse meio, quando possu´ımos um investimento inicial de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 m.u.m. Na segunda etapa alargaremos o n´umero de meios publicit´arios para dois, o jornal e a revista, e calculamos quanto se dever´a investir em ambos os meios quando se tem para aplicar as mesmas quantias referidas anteriormente. Seguindo este racioc´ınio, na etapa 3 teremos trˆes meios publicit´arios (jornal, revista e tv) e na etapa 4 teremos os quatro meios publicit´arios (jornal, revista, tv e r´adio) e um sub-problema idˆentico ao problema inicial. Consideremos a seguinte nota¸c˜ao:
• i – vari´avel de etapa (varia entre 1 e 4);
• m – designa o meio publicit´ario que estamos a utilizar (m varia entre 1 e 4, correspon- dendo o meio publicit´ario 1 ao jornal; o meio publicit´ario 2 `a revista; o meio publicit´ario 3 `a tv; e o meio publicit´ario 4 ao r´adio);
• x – vari´avel que designa a quantidade de dinheiro a investir, em milhares de unidades monet´arias, m.u.m. (varia entre 0 e 10 m.u.m.);
• p(m, x) – lucro que se obt´em ao se investirem x m.u.m. no meio publicit´ario m, com m∈ {1, 2, 3, 4} e x ∈ {0, 1, · · · , 10};
• l(i, x) – lucro m´aximo em m.u.m. na etapa i, quando se investem x m.u.m. nos meios publicit´arios existentes nessa etapa, onde i∈ {1, 2, 3, 4} e x ∈ {0, 1, · · · , 10};
• q(m, x) – quantidade ´optima (em m.u.m.) a investir no meio publicit´ario m, m ∈ {1, 2, 3, 4}, quando temos dispon´ıveis para investimento nos meios publicit´arios j, j ∈ {a ∈ N : a ≤ m}, x m.u.m. (x ∈ {0, 1, · · · , 10}).
Notamos que as fun¸c˜oes p(m, x), com m∈ {1, 2, 3, 4}, s˜ao todas estritamente crescentes. Como queremos obter o lucro m´aximo, quanto maior for a quantidade investida maior ser´a tamb´em o lucro obtido. Conv´em, ent˜ao, investirmos todo o capital dispon´ıvel. Estamos a supor que quando investimos em mais do que um meio publicit´ario, o lucro que obtemos ao investir x no meio publicit´ario i ´e independente do lucro que obtemos ao investir y no meio publicit´ario j, i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, com i 6= j e x, y ∈ {0, 1, · · · , 10} tal que 0 ≤ x + y ≤ 10.
Primeiro sub-problema (etapa 1)
O sub-problema consiste em considerar que o fabricante disp˜oe apenas de um meio pub- licit´ario dispon´ıvel (o jornal, que consider´amos o meio publicit´ario 1), e que possui entre 0 a
10 m.u.m. iniciais para aplicar totalmente no meio existente, ou seja, pode investir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 m.u.m. Para cada quantidade inicial de m.u.m., que quantidade deve o fabricante investir no meio publicit´ario 1, de modo a que o seu lucro seja m´aximo?
Consultando a Tabela 1.3, definimos a fun¸c˜ao p(1, x), que nos d´a o lucro proveniente de investirmos x m.u.m., x∈ {0, 1, · · · , 10}, no meio publicit´ario 1, do seguinte modo: p(1, 0) = 0, p(1, 1) = 1.20, p(1, 2) = 2.70, p(1, 3) = 4.20, p(1, 4) = 6.00, p(1, 5) = 7.65, p(1, 6) = 9.30, p(1, 7) = 11.06, p(1, 8) = 12.80, p(1, 9) = 14.40 e p(1, 10) = 16.00. Verificamos que esta fun¸c˜ao ´e crescente e sempre superior ao capital investido. Logo, de modo a obtermos o maior lucro poss´ıvel, devemos investir toda a quantidade que temos dispon´ıvel para tal. Vamos considerar 11 estados de acordo com a quantia inicial que temos para investir (de 0 a 10). A fun¸c˜ao que nos devolve o lucro m´aximo, que se obt´em ao investirmos x m.u.m. (x∈ {0, 1, · · · , 10}) no meio publicit´ario 1, ´e dada por:
l(1, x) = max
{y=0,··· ,x}{p(1, y)} , ∀x ∈ {0, 1, · · · , 10} .
A fun¸c˜ao que nos d´a a quantidade ideal a investir nos meios publicit´arios existentes na etapa 1 (isto ´e, no meio publicit´ario 1), quando temos x m.u.m. para tal, ´e definida por q(1, x) = y, com p(1, y) = l(1, x), y ∈ {0, · · · , x}. A Tabela 1.4 sintetiza os resultados desta etapa 1. Ela diz-nos que se o fabricante tiver uma quantia inteira x, entre 0 a 10 m.u.m., para investir exclusivamente no meio publicit´ario 1, ent˜ao o melhor a fazer ´e investir a totalidade da quantia: deve investir q(1, x) = x m.u.m. para obter um lucro m´aximo de l(1, x) m.u.m.
Segundo sub-problema (etapa 2)
A quest˜ao que agora se coloca ´e a seguinte. Se o fabricante tiver uma quantia inteira para investir nos meios publicit´arios 1 e 2, entre 0 e 10 m.u.m., que quantia deve investir em cada um deles, de modo a obter o maior lucro poss´ıvel?
A fun¸c˜ao p(2, x) devolve o lucro obtido quando se aplicam x m.u.m. no meio pub- licit´ario 2. ´E definida de acordo com os dados da Tabela 1.3 referentes a este meio, ou seja: p(2, 0) = 0, p(2, 1) = 2.00, p(2, 2) = 2.80, p(2, 3) = 4.65, p(2, 4) = 6.60, p(2, 5) = 8.75, p(2, 6) = 10.80, p(2, 7) = 12.95, p(2, 8) = 15.20, p(2, 9) = 17.10 e p(2, 10) = 19.00. Tal como j´a foi referido, uma vez que as fun¸c˜oes p(1, x) e p(2, x) s˜ao estritamente crescentes para todo o x∈ {0, 1, · · · , 10}, de modo a que o lucro seja m´aximo temos que investir, entre os dois meios publicit´arios, todo o capital dispon´ıvel para esse fim. Tamb´em sabemos que podemos ter uma quantia entre 0 e 10 para investir nestes dois meios publicit´arios e que, para cada valor a investir, poderemos ter uma (no caso em que temos somente 0 m.u.m.) ou mais hip´oteses de distribui¸c˜ao. Pretendemos determinar para qual destas hip´oteses o lucro ´e m´aximo, para cada um dos 11 casos de investimento. Para cada quantia a investir, x, l(2, x) ´e o maior lucro associado `as diferentes distribui¸c˜oes que se podem fazer com x m.u.m. entre os meios
x l(1, x) q(1, x)
ESTADO (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m)
l(1, 0) = maxy=0{p(1, y)}
1 0 = max{p(1, 0)} = 0 q(1, 0) = 0
l(1, 1) = max{y=0,1}{p(1, y)}
2 1 = max{p(1, 0), p(1, 1)} q(1, 1) = 1
= max{0, 1.20} = 1.20 l(1, 2) = max{y=0,1,2}{p(1, y)}
3 2 = max{p(1, 0), p(1, 1), p(1, 2)} q(1, 2) = 2
= max{0, 1.20, 2.70} = 2.70 l(1, 3) = max{y=0,··· ,3}{p(1, y)}
4 3 = 4.20 q(1, 3) = 3
l(1, 4) = max{y=0,··· ,4}{p(1, y)}
5 4 = 6.00 q(1, 4) = 4
l(1, 5) = max{y=0,··· ,5}{p(1, y)}
6 5 = 7.65 q(1, 5) = 5
l(1, 6) = max{y=0,··· ,6}{p(1, y)}
7 6 = 9.30 q(1, 6) = 6
l(1, 7) = max{y=0,··· ,7}{p(1, y)}
8 7 = 11.06 q(1, 7) = 7
l(1, 8) = max{y=0,··· ,8}{p(1, y)}
9 8 = 12.80 q(1, 8) = 8
l(1, 9) = max{y=0,··· ,9}{p(1, y)}
10 9 = 14.40 q(1, 9) = 9
l(1, 10) = max{y=0,··· ,10}{p(1, y)}
11 10 = 16.00 q(1, 10) = 10
publicit´arios 1 e 2. Como calcular esse lucro? Para um capital inicial de x, se a distribui¸c˜ao ´
optima corresponder a investir y m.u.m. no meio publicit´ario 1 e z m.u.m. no meio pub- licit´ario 2, y, z ∈ {0, 1, · · · , 10} e x = y + z, ent˜ao o lucro do investimento ´e dado pela soma do lucro que se obt´em ao investirmos y m.u.m. no meio publicit´ario 1 e z m.u.m. no meio publicit´ario 2. A distribui¸c˜ao ´optima x = y + z (a que conduz ao lucro m´aximo) ´e obtida comparando todas as poss´ıveis distribui¸c˜oes dos x m.u.m. pelos dois meios publicit´arios. Uma vez que j´a sabemos o resultado ´optimo da etapa 1, l(1, x), e j´a que temos a fun¸c˜ao de lucro associada ao meio publicit´ario 2, p(2, x), ent˜ao o lucro m´aximo ´e obtido atrav´es da fun¸c˜ao:
l(2, x) = max
{y=0,··· ,x}{p(2, y) + l(1, x − y)} , 0 ≤ x ≤ 10 .
A quantidade ideal a investir nos dois meios publicit´arios ser´a:
q(2, x) = y , com p(2, y) + l(1, x− y) = l(2, x) , y ∈ {0, 1, · · · , x}, e
q(1, x− y) = x − y .
Os resultados podem ser consultados na Tabela 1.5. A resposta ao sub-problema ´e ent˜ao: se tivermos um valor x entre 0 a 10 m.u.m. para investir nos meios publicit´arios 1 (jornal) e 2 (revista), ent˜ao devemos investir q(2, x) = y m.u.m. no meio publicit´ario 2 e q(1, x−y) = x−y m.u.m. no meio publicit´ario 1. O lucro m´aximo ´e dado por
l(2, x) = max
{y=0,··· ,x}{p(2, y) + l(1, x − y)} ,
de acordo com a Tabela 1.5.
Terceiro sub-problema (etapa 3)
Se existirem 3 meios publicit´arios (meio publicit´ario 1 o jornal, meio publicit´ario 2 a revista, meio publicit´ario 3 a tv), como dever´a o fabricante distribuir entre eles uma quan- tia compreendida entre 0 a 10 m.u.m. de modo a que o lucro retirado desse investimento seja m´aximo? Este sub-problema resolve-se de modo semelhante ao sub-problema anterior (etapa 2). Consideramos a fun¸c˜ao p(3, x) que devolve o lucro obtido quando se investem x m.u.m. (x = 0, . . . , 10) no meio publicit´ario 3. De acordo com a Tabela 1.3 vem que p(3, 0) = 0, p(3, 1) = 1.30, p(3, 2) = 2.90, p(3, 3) = 4.95, p(3, 4) = 7.00, p(3, 5) = 8.50, p(3, 6) = 12.30, p(3, 7) = 15.05, p(3, 8) = 18.00, p(3, 9) = 20.70 e p(3, 10) = 24.00. O lucro m´aximo que se pode obter ao investir uma quantidade x ∈ {0, · · · 10} m.u.m. na etapa 3 ´e dado pela fun¸c˜ao
l(3, x) = max
x l(2, x) q(2, x) q(1, x− y) ESTADO (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m)
l(2, 0) = max{y=0}{p(2, y) + l(1, 0 − y)}
1 0 max{p(2, 0) + l(1, 0)} q(2, 0) = 0 q(1, 0) = 0 = max{0 + 0} = 0
l(2, 1) = max{y=0,1}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 1− 1)
2 1 = max{p(2, 0) + l(1, 1), p(2, 1) + l(1, 0)} q(2, 1) = 1 = q(1, 0) =max{1.20,2.00}=2.00 = 0 l(2, 2) = max{y=0,1,2}{p(2, y) + l(2, 1 − y)} q(1, 2− 1)
3 2 = max{2.70, 3.20, 2.80} q(2, 2) = 1 q(1, 1)
= 3.20 = 1
l(2, 3) = max{y=0,··· ,3}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 3− 1)
4 3 = max{4.20, 4.70, 4.00, 4.65} q(2, 3) = 1 q(1, 2)
= 4.70 = 2
l(2, 4) = max{y=0,··· ,4}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 4− 4)
5 4 = max{6.00, 6.20, 5.50, 5.75, 6.60} q(2, 4) = 4 q(1, 0)
= 6.60 = 0
l(2, 5) = max{y=0,··· ,5}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 5− 5)
6 5 = max{7.65, 8.00, 7.00, 7.35, 7.80, 8.75} q(2, 5) = 5 q(1, 0)
= 8.75 = 0
l(2, 6) = max{y=0,··· ,6}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 6− 6)
7 6 = max{9.30, 9.65, 8.80, 8.85, 9.30, 9.95, 10.80} q(2, 6) = 6 q(1, 0)
= 10.80 = 0
l(2, 7) = max{y=0,··· ,7}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 7− 7)
8 7 = max{11.06, 11.30, 10.45, 10.65, 10.80, 11.45, q(2, 7) = 7 q(1, 0) 12.00, 12.95} = 12.95 = 0 l(2, 8) = max{y=0,··· ,8}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 8− 8)
9 8 = max{12.80, 13.06, 12.10, 12.30, 12.60, 12.95, q(2, 8) = 8 q(1, 0) 13.50, 14.15, 15.20} = 15.20 = 0 l(2, 9) = max{y=0,··· ,9}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 9− 9)
10 9 = max{14.40, 14.80, 13.86, 13.95, 14.25, 14.75, q(2, 9) = 9 q(1, 0) 15.00, 15.65, 16.40, 17.10} = 17.10 = 0 l(2, 10) = max{y=0,··· ,10}{p(2, y) + l(1, 1 − y)} q(1, 10− 10)
11 10 = max{16.00, 16.40, 15.60, 15.71, 15.90, 16.40 q(2, 10) = 10 q(1, 0) 16.80, 17.15, 17.90, 18.30, 19.00} = 19.00 = 0
e as quantidades ´optimas, em m.u.m., para se investir nos diferentes meios publicit´arios s˜ao obtidas atrav´es das f´ormulas:
q(3, x) = y , com p(3, y) + l(2, x− y) = l(3, x) , y ∈ {0, · · · , x} ,
q(2, x− y) = z , com p(2, z) + l(1, x − y − z) = l(2, x − y) , z ∈ {0, · · · , x − y} , q(1, x− y − z) = x − y − z .
Estes valores, para os 11 estados da etapa 3, est˜ao representados na Tabela 1.6. De acordo com ela, quando o fabricante tem um valor entre 0 e 10 m.u.m. para investir entre os meios publicit´arios 1 (jornal), 2 (revista) e 3 (tv), ent˜ao deve investir uma totalidade de 10 m.u.m. distribu´ıdos do seguinte modo: no meio publicit´ario 3 deve investir q(3, x) m.u.m., no meio publicit´ario 2 q(2, x−y) m.u.m. e no meio publicit´ario 1 q(1, x−y −z) m.u.m., obtendo ent˜ao o lucro m´aximo de l(3, x) = max{y=0,··· ,x}{p(3, y) + l(2, x − y)}.
´
Ultimo sub-problema (etapa 4) e solu¸c˜ao do Problema 23
Nesta etapa h´a quatro tipos de meios publicit´arios (1 o jornal, 2 a revista, 3 a tv e 4 o r´adio). Dispon´ıvel um capital inteiro entre 0 e 10 m.u.m., quanto se deve investir em cada um deles de modo a obtermos o maior lucro poss´ıvel? Tendo em aten¸c˜ao a Tabela 1.3, a fun¸c˜ao p(4, x), que nos d´a o lucro obtido quando se investem x m.u.m. (x = 0, . . . , 10) no meio publicit´ario 4, fica definida por: p(4, 0) = 0, p(4, 1) = 1.15, p(4, 2) = 2.50, p(4, 3) = 4.20, p(4, 4) = 6.00, p(4, 5) = 8.10, p(4, 6) = 10.50, p(4, 7) = 12.60, p(4, 8) = 15.20, p(4, 9) = 23.00 e p(4, 10) = 23.50. A fun¸c˜ao
l(4, x) = max
{y=0,··· ,x}{p(4, y) + l(3, x − y)} ,
d´a-nos o lucro m´aximo que se pode obter ao investir x m.u.m., x = 0, . . . , 10, nos diferentes meios publicit´arios considerados. As quantidades ´optimas de investimento, em m.u.m., s˜ao obtidas do seguinte modo:
q(4, x) = y , com p(4, y) + l(3, x− y) = l(4, x) , y ∈ {0, · · · , x} ,
q(3, x− y) = w , com p(3, w) + l(2, x − y − w) = l(3, x − y) , w ∈ {0, · · · , x − y} ,
q(2, x− y − w) = z , com p(2, z) + l(1, x − y − w − z) = l(2, x − y − w) , z ∈ {0, · · · , x − y − w} , q(1, x− y − w − z) = x − y − w − z .
Tal como fizemos para as etapas anteriores, esquematizamos numa tabela (Tabela 1.7) o que acontece em cada um dos 11 poss´ıveis estados. Quando existem quatro meios publicit´arios e uma quantia para investimento entre 0 e 10 m.u.m., o lucro m´aximo ´e obtido da seguinte maneira: investindo q(4, x) m.u.m. no meio publicit´ario 4; q(3, x − y) m.u.m. no meio publicit´ario 3; q(2, x− y − w) m.u.m. no meio publicit´ario 2; e q(1, x − y − w − z) m.u.m.
x l(3, x) q(3, x) q(2,x-y) q(1,x-y-z) ESTADO (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m)
l(3, 0) = max{y=0}{p(3, y) + l(2, 0 − y)}
1 0 = max{p(3, 0) + l(2, 0)} q(3, 0) = q(2, 0) q(1, 0) = max{0 + 0} = max{0} = 0 = 0 = 0 = 0 l(3, 1) = max{y=0,1}{p(3, y) + l(2, 1 − y)}
= max{p(3, 0) + l(2, 1 − 0), p(3, 1)+
2 1 +l(2, 1− 1)} = max{p(3, 0) + l(2, 1), p(3, 1)+ q(3, 1) = q(2, 1) =q(1,0) +l(2, 0)} = max{0 + 2.00, 1.30 + 0} = 0 = 1 = 0
= max{2.00, 1.30} = 2.00
l(3, 2) = max{y=0,1,2}{p(3, y) + l(2, 2 − y)}
= max{p(3, 0) + l(2, 2 − 0), p(3, 1)+ +l(2, 2− 1), p(3, 2) + l(2, 2 − 2)} 3 2 = max{p(3, 0) + l(2, 2), p(3, 1) + l(2, 1), q(3, 2) = q(2, 1) = q(1, 0) p(3, 2) + l(2, 0)} = 1 = 1 = 0 = max{3.20, 3.30, 2.90} = 3.30
l(3, 3) = max{y=0,··· ,3}{p(3, y) + l(2, 3 − y)}
4 3 = max{4.70, 4.50, 4.90, 4.95} q(3, 3) = q(2, 0) q(1,0) = 4.95 = 3 = 0 = 0 l(3, 4) = max{y=0,··· ,4}{p(3, y) + l(2, 4 − y)}
5 4 = max{6.60, 6.00, 6.10, 6.95, 7.00} q(3, 4) = q(2, 0) q(1,0) = 7.00 = 4 = 0 = 0 l(3, 5) = max{y=0,··· ,5}{p(3, y) + l(2, 5 − y)}
6 5 = max{8.75, 7.90, 7.60, 8.15, 9.00, 8.50} q(3, 5) = q(2, 1) q(1,0) = 9.00 = 4 = 1 = 0 l(3, 6) = max{y=0,··· ,6}{p(3, y) + l(2, 6 − y)}
7 6 = max{10.80, 10.05, 9.50, 9.65, q(3, 6) = q(2, 0) q(1, 0) 10.20, 10.50, 12.30} = 12.30 = 6 = 0 = 0 l(3, 7) = max{y=0,··· ,7}{p(3, y) + l(2, 7 − y)}
8 7 = max{12.95, 12.10, 11.65, 11.55, q(3, 7) = q(2, 0) q(1, 0) 11.70, 11.70, 14.30, 15.05} = 15.05 = 7 = 0 = 0 l(3, 8) = max{y=0,··· ,8}{p(3, y) + l(2, 8 − y)}
9 8 = max{15.20, 14.25, 13.70, 13.70, 13.60, q(3, 8) = q(2, 0) q(1, 0) 13.20, 15.50, 17.05, 18.00} = 18.00 = 8 = 0 = 0 l(3, 9) = max{y=0,··· ,9}{p(3, y) + l(2, 9 − y)}
10 9 = max{17.10, 16.50, 15.85, 15.75, 15.75, q(3, 9) = q(2, 0) q(1,0) 15.10, 17.00, 18.25, 20.00, 20.70} = 20.70 = 9 = 0 = 0
l(3, 10) = max{y=0,··· ,10}{p(3, y)+
+l(2, 10− y)} = max{19.00, 18.40, 18.10, q(3, 10) = q(2, 0) q(1, 0) 11 10 17.90, 17.80, 17.25, 18.90, 19.75, 21.20, = 10 = 0 = 0
22.70, 24.00} = 24.00
x l(4, x) q(4, x) q(3, x − y) q(2, x − y − w) q(1, x − y − w − z) ESTADO (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m) (m.u.m)
l(4, 0) = max{y=0}{p(4, y) + l(3, 0 − y)}
1 0 = max{p(4, 0) + l(3, 0)} q(4, 0) q(3, 0) 0 0 = max{0 + 0} = max{0} = 0 = 0 = 0
l(4, 1) = max{y=0,1}{p(4, y) + l(3, 1 − y)} q(3, 1 − 0)
2 1 = max{p(4, 0) + l(3, 1), p(4, 1) + l(3, 0)} q(4, 1) = q(3, 1) 1 0 = max{2.00, 1.15} = 2.00 = 0 = 0
l(4, 2) = max{y=0,1,2}{p(4, y) + l(3, 2 − y)}
3 2 = max{3.30, 3.15, 2.50} q(4, 2) q(3, 2) 1 0 = 3.30 = 0 = 1
l(4, 3) = max{y=0,··· ,3}{p(4, y) + l(3, 3 − y)}
4 3 = max{4.95, 4.45, 4.50, 4.20} q(4, 3) q(3, 3) 0 0 = 4.95 = 0 = 3
l(4, 4) = max{y=0,··· ,4}{p(4, y) + l(3, 4 − y)}
5 4 = max{7.00, 6.10, 5.80, 6.20, 6.00} q(4, 4) q(3, 4) 0 0 = 7.00 = 0 = 4
l(4, 5) = max{y=0,··· ,5}{p(4, y) + l(3, 5 − y)}
6 5 = max{9.00, 8.15, 7.45, 7.50, 8.00, 8.10} q(4, 5) q(3, 5) 1 0 = 9.00 = 0 = 4
l(4, 6) = max{y=0,··· ,6}{p(4, y) + l(3, 6 − y)}
7 6 = max{12.30, 10.15, 9.50, 9.15, q(4, 6) q(3, 6) 0 0 9.30, 10.10, 10.50} = 12.30 = 0 = 6
l(4, 7) = max{y=0,··· ,7}{p(4, y) + l(3, 7 − y)}
8 7 = max{15.05, 13.45, 11.50, 11.20, q(4, 7) q(3, 7) 0 0 10.95, 11.40, 12.50, 12.60} = 15.05 = 0 = 7
l(4, 8) = max{y=0,··· ,8}{p(4, y) + l(3, 8 − y)}
9 8 = max{18.00, 16.20, 14.80, 13.20, 13.00, q(4, 8) q(3, 8) 0 0 13.05, 13.80, 14.60, 15.20} = 18.00 = 0 = 8
l(4, 9) = max{y=0,··· ,9}{p(4, y) + l(3, 9 − y)}
10 9 = max{20.70, 19.15, 17.55, 16.50, 15.00, q(4, 9) q(3, 0) 0 0 15.10, 15.45, 15.90, 17.20, 23.00} = 23.00 = 9 = 0
l(4, 10) = max{y=0,··· ,10}{p(4, y) + l(3, 10 − y)}
= max{24.00, 21.85, 20.50, 19.25, 18.30, q(4, 10) q(3, 1) 1 0 11 10 17.10, 17.50, 17.55, 18.50, 25.00, 23.50} = 9 = 0
= 25.00
no meio publicit´ario 1. O lucro m´aximo ´e de l(4, x) = max{y=0,··· ,x}{p(4, y) + l(3, x − y)}, x = 0,· · · , 10.
Estamos agora aptos para responder `as duas quest˜oes colocadas pelo Problema 23. Se estiverem dispon´ıveis 10 m.u.m. para investir nos quatro meios publicit´arios, de acordo com a Tabela 1.7 o fabricante deve investir 0 m.u.m. no jornal (meio publicit´ario 1); 1 m.u.m. na revista (meio publicit´ario 2); 0 m.u.m. na tv (meio publicit´ario 3); e 9 m.u.m. na r´adio (meio publicit´ario 4). O lucro ´e de l(4, 10) = 25.00 m.u.m. Caso o fabricante s´o disponha de 5 m.u.m. para investir nos mesmos meios publicit´arios, deve investir 0 m.u.m. no jornal; 1 m.u.m. na revista; 4 m.u.m. na tv; e 0 m.u.m. na r´adio. O lucro ´e ent˜ao de l(4, 5) = 9.00 m.u.m.
De um modo geral, quando temos x m.u.m. para investir, x ∈ {0, · · · , 10}, a fun¸c˜ao de lucro m´aximo ´e dada por
(
l(1, x) = p(1, x)
l(i, x) = max{y=0,··· ,x}{p(i, y) + l(i − 1, x − y)} , para i ∈ {2, 3, 4} e a quantidade ´optima a investir no meio publicit´ario i, i∈ {1, 2, 3, 4}, por
q(1, x) = x ,
q(i, x) = y , com p(i, y) + l(i− 1, x − y) = l(i, x) , y ∈ {0, · · · , x} .
No Apˆendice D definimos em Maple as fun¸c˜oes lucroMaximo e investimentoOptimo que permitem a resolu¸c˜ao de um qualquer problema de investimento. Para o Problema 23 fazemos: > meio1 := [[0,1,0.00],[1,1,1.20],[2,1,2.70],[3,1,4.20],[4,1,6.00], > [5,1,7.65],[6,1,9.30],[7,1,11.06],[8,1,12.80],[9,1,14.40],[10,1,16.00]]: > meio2 := [[0,2,0.00],[1,2,2.00],[2,2,2.80],[3,2,4.65],[4,2,6.60], > [5,2,8.75],[6,2,10.80],[7,2,12.95],[8,2,15.20],[9,2,17.10],[10,2,19.00]]: > meio3 := [[0,3,0.00],[1,3,1.30],[2,3,2.90],[3,3,4.95],[4,3,7.00], > [5,3,8.50],[6,3,12.30],[7,3,15.05],[8,3,18.00],[9,3,20.70],[10,3,24.00]]: > meio4 := [[0,4,0.00],[1,4,1.15],[2,4,2.50],[3,4,4.20],[4,4,6.00],[5,4,8.10], > [6,4,10.50],[7,4,12.60],[8,4,15.20],[9,4,23.00],[10,4,23.50]]: > problema := [meio1,meio2,meio3,meio4]: > lucroMaximo(problema,5); 9.00 > investimentoOptimo(problema,5); [0, 1, 4, 0] > lucroMaximo(problema,10); 25.00 > investimentoOptimo(problema,10); [0, 1, 0, 9]
C´alculo das Varia¸c˜oes
No C´alculo das Varia¸c˜oes minimizamos funcionais do tipo integral. As fun¸c˜oes integrandas dependem de fun¸c˜oes desconhecidas e suas derivadas. Este tipo de problemas surgem natu- ralmente em Mecˆanica, Geometria, Electrodinˆamica, Geologia, Biologia, Hidrodinˆamica, etc. Come¸camos com a formula¸c˜ao de v´arios problemas cl´assicos.
2.1
Formula¸c˜ao de alguns problemas variacionais
Os exemplos que se seguem s˜ao casos particulares do problema estudado em §2.2.
Exemplo 24 (distˆancia m´ınima entre dois pontos). Qual ´e a distˆancia mais curta entre dois pontos do plano Euclideano? Sem perda de generalidade, colocamos um dos pontos na origem (0, 0), o outro em (a, 0). Consideremos o conjunto de todas as fun¸c˜oes y(x), 0 ≤ x ≤ a, continuamente diferenci´aveis e satisfazendo as condi¸c˜oes y(0) = 0 = y(a). O objectivo ´e descobrir a fun¸c˜ao y(·) que tem o gr´afico de comprimento m´ınimo:
J = Z a 0 ds = Z a 0 p 1 + y′(x)2dx−→ min , y(0) = 0 , y(a) = 0 .
Exemplo 25 (gr´afico com superf´ıcie de revolu¸c˜ao m´ınima). Rodemos a por¸c˜ao da curva y(x) de (a, c) a (b, d) em torno do eixo dos y. Que fun¸c˜ao y(·) conduz `a superf´ıcie com ´area m´ınima? O objectivo ´e agora o de minimizar a ´area de superf´ıcie:
J = Z b a 2πxds = 2π Z b a xp1 + y′(x)2dx−→ min , y(a) = c , y(b) = d .
Segue-se o problema que deu origem ao C´alculo das Varia¸c˜oes. O nome braquist´ocrona 35
vem do grego “braquis” (m´ınimo) e “t´ocrona” (tempo). Trata-se pois de um problema de tempo m´ınimo (minimizar tempo).
Exemplo 26 (problema de braquist´ocrona). A quest˜ao foi proposta por John Bernoulli em 1696, atrav´es da publica¸c˜ao de um artigo intitulado “Um problema ao qual os matem´aticos s˜ao chamados”. O problema foi colocado por palavras como se segue:
Dados dois pontos A e B num plano vertical, determinar o caminho para que um corpo, sob a for¸ca ´unica do seu pr´oprio peso e na ausˆencia de atrito, des¸ca de A a B em tempo m´ınimo.
A energia cin´etica 12mv2 do corpo de massa m que se encontra a deslizar ´e, em cada instante, igual `a energia potencial perdida desde a posi¸c˜ao inicial. Usando um sistema de coordenadas apropriado podemos considerar, sem perda de generalidade, A = (0, 0), B = (b, d) com b > 0 e d > 0, pelo que temos, em cada momento,
mv2
2 = mgy . Conclu´ımos que
v =p2gy .
O tempo total T necess´ario para o corpo deslizar at´e `a posi¸c˜ao final (b, d) ´e dado por T =Z ds v = Z b 0 p 1 + y′(x)2 p 2gy(x) dx . O problema ´e ent˜ao formulado matematicamente como se segue:
T [y(·)] = Z b 0 p 1 + y′(x)2 p 2gy(x) dx−→ min , y(0) = 0 , y(b) = d .
Seguem-se dois exemplos do C´alculo das varia¸c˜oes que pertencem `a fam´ılia dos chamados problemas isoperim´etricos (ver sec¸c˜ao 2.5).
Exemplo 27 (caten´aria). Se suspendermos um fio de comprimento γ entre dois pontos (−a, b) e (a, b), a > 0, b > 0, γ > 2a, que forma tomar´a o fio? Cada comprimento infinitesimal ds do fio contribui com ρgyds de energia potencial para a energia potencial total J do fio,
J = ρg Z a −a yds = ρg Z a −a yp1 + y′2dx ,
onde y = y(x) ´e a forma do fio suspenso, ρ a densidade do fio por unidade de comprimento e g a gravidade. O fio em repouso ter´a a forma y(x), −a ≤ x ≤ a, que minimiza a energia
potencial J, sem esquecer a restri¸c˜ao que a fun¸c˜ao y(·) deve ter o comprimento dado γ: J[y(·)] = ρg Z a −a y(x)p1 + y′2(x)dx−→ min , Z a −a p 1 + y′2(x)dx = γ , y(−a) = b , y(a) = b .
Exemplo 28 (problema de Dido). A hist´oria ´e-nos contada pelo poeta Romano Virg´ılio, em 814 a.C. Depois do marido ter sido morto, Dido fugiu para a ´Africa Mediterrˆanica. A´ı ela comprou, de um rei ing´enuo, todo o terreno que pudesse ser inclu´ıdo pela pele de um boi. Depois de cortar a pele em tiras bem finas e amarrar as pontas umas `as outras, ela encerrou uma parcela de terreno que veio a tornar-se a cidade-estado de Cartago. O “problema de Dido” pode ser colocado como se segue. Concedida uma por¸c˜ao da costa de ´Africa como fronteira, qual a maior ´area que pode ser inclu´ıda pelo per´ımetro dado que permanece? Considerando-se a costa como um segmento de recta [a, b] e o interior da ´area como sendo circunscrito pelo gr´afico da fun¸c˜ao y(·), y(x) ≥ 0 e y(a) = 0 = y(b), obtemos o seguinte problema: maximizar a ´area
J = Z b
a
y(x)dx sujeita `a restri¸c˜ao do per´ımetro
Z b
a
p
1 + y′(x)2dx = γ .
Os problemas isoperim´etricos, exemplo dos quais ´e problema de Dido, s˜ao estudados em §2.5. Come¸camos com o estudo do problema b´asico do C´alculo das Varia¸c˜oes.