Embora a formula¸c˜ao apresentada nos cap´ıtulos anteriores seja aplicada `as equa¸c˜oes de Maxwell para ondas TMz, ´e sempre uma boa id´eia avaliar o desempenho de um m´etodo aplicado inicialmente a um problema 1D. Sendo assim, a primeira implementa¸c˜ao considerada foi para solu¸c˜ao de um pro- blema unidimensional, onde o campo el´etrico possui componente ´unica Ex e
o magn´etico componente ´unica Hy, com dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao ao longo do
∂Ex ∂t = − 1 ǫ0 ∂Hy ∂z (4.1) ∂Hy ∂t = − 1 µ0 ∂Ex ∂z (4.2)
Aplicando-se passos similares aos mostrados no cap´ıtulo 3.1 para on- das TMz, obt´em-se um esquema para atualiza¸c˜ao dos campos parecido com aquele mostrado nas equa¸c˜oes (3.13) a (3.15).
O dom´ınio Ω considerado ´e o intervalo [0, π]. Nas bordas ´e imposta uma condi¸c˜ao de Dirichlet nula, ou seja, Ex = 0. Como foi visto na se¸c˜ao 3.1.4,
para impor esta condi¸c˜ao no SPEM basta n˜ao colocar nenhuma part´ıcula al´em do dom´ınio Ω. No centro do dom´ınio, ´e imposta uma fonte de campo E senoidal. O problema posto resume-se `a propaga¸c˜ao da onda em uma dimens˜ao no v´acuo. Assim, a solu¸c˜ao anal´ıtica para o campo Ex ´e dada por:
Ex = Ex0cos(ω(t − z√µ0ǫ0)) (4.3)
onde ω ´e a frequˆencia da fonte, t ´e o tempo de propaga¸c˜ao (ou de simula¸c˜ao), z ´e a posi¸c˜ao e Ex0 ´e a amplitude da onda. Para avalia¸c˜ao, ´e usada uma
frequˆencia f = 1.8 × 109Hz.
Para esta simula¸c˜ao em 1D, as part´ıculas s˜ao dispostas uniformemente ao longo do eixo z dentro do dom´ınio Ω, formando uma linha, e o campo nas part´ıculas ´e inicialmente nulo. As part´ıculas do tipo E e as do tipo H s˜ao intercaladas, de forma a garantir que cada part´ıcula de cada um destes tipos possua part´ıculas vizinhas do tipo “oposto”. O pulso senoidal ´e definido como fonte na part´ıcula (do tipo E) central para simular a fonte de campo el´etrico. A figura abaixo ilustra a disposi¸c˜ao das part´ıculas.
CAP´ITULO 4. TESTES E RESULTADOS 52
Fonte
Partícula E
Partícula H
Figura 4.1: Defini¸c˜ao do problema 1D com fonte na part´ıcula central.
Inicialmente imp˜oe-se campo nulo sobre todas as part´ıculas. O campo E sobre a part´ıcula central ´e definido em fun¸c˜ao do tempo de simula¸c˜ao t como E(t) = sin(2πf t).
Para efetuar-se a simula¸c˜ao ´e preciso escolher o raio de suaviza¸c˜ao a ser usado. Esta escolha deve levar em conta o comprimento da onda a ser simu- lada. Conforme citado na se¸c˜ao 2.2, o erro de aproxima¸c˜ao no SPH ´e da mesma ordem do erro de aproxima¸c˜ao do FD. Escolheu-se utilizar nesta simula¸c˜ao um raio de suaviza¸c˜ao h = 3 × 10−3m, o que representa cerca
de 40 part´ıculas el´etricas por comprimento de onda. A distˆancia entre as part´ıculas ´e definida em fun¸c˜ao do raio de suaviza¸c˜ao de forma a se garantir que cada part´ıcula tenha 8 vizinhas, conforme sugerido em (Laguna 1995), sendo assim definida por dr = 1.66 × 10−3m. O passo de tempo escolhido
foi dt = 5h × 10−10 e est´a de acordo com a condi¸c˜ao CFL mostrada na in-
equa¸c˜ao (3.16). A compara¸c˜ao entre a solu¸c˜ao anal´ıtica e a aproxima¸c˜ao pelo SPEM para o problema 1D no instante t = 4.75 × 10−9 ´e mostrada na
figura 4.2. Os valores do campo E em cada part´ıcula s˜ao mostrados como quadrados preenchidos nesta figura.
No intervalo z = (0.5, 1.5) o erro m´edio obtido para o valor do campo el´etrico ´e menor que 10−2. Olhando para o gr´afico da figura 4.2 com uma
aproxima¸c˜ao suficientemente grande ´e poss´ıvel perceber um pequeno desloca- mento da onda simulada. A figura 4.3 mostra uma aproxima¸c˜ao deste gr´afico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Posiçao Campo Elétrico Solução Numérica Solução Analítica
Figura 4.2: Compara¸c˜ao entre aproxima¸c˜ao do SPH e solu¸c˜ao anal´ıtica no instante t=4.75ns.
onde este pequeno deslocamento fica vis´ıvel. A diferen¸ca observada ´e causada por um erro de dispers˜ao na simula¸c˜ao, similar a aquele que observa-se nas simula¸c˜oes do FDTD quando um n´umero insuficiente de part´ıculas ´e usado na simula¸c˜ao, onde a velocidade num´erica de fase das ondas ´e diferente da velocidade da luz. O erro relativo m´edio no comprimento da onda para esta simula¸c˜ao ´e inferior a 0.1%.
Pˆode-se observar que as aproxima¸c˜oes do SPH funcionam suficientemente bem para simula¸c˜oes em 1D com os parˆametros h e dr utilizados. No entanto, pequenas varia¸c˜oes nos valores destes parˆametros s˜ao suficientes para alterar sensivelmente os resultados. Utilizando-se o parˆametro dr = 1.9746 × 10−3,
por exemplo, ainda obt´em-se 8 vizinhos para cada part´ıcula, por´em a varia¸c˜ao no valor da rela¸c˜ao h/dr ´e grande o suficiente para se obter o erro observado na figura 4.4.
Determinar os parˆametros ideais para a simula¸c˜ao, neste caso, foi um trabalho de teste e erro, assim como em (Ala et al. 2007). O valor ideal para a rela¸c˜ao h/dr obtido aqui para um problema em 1D foi aproximadamente
CAP´ITULO 4. TESTES E RESULTADOS 54 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Posiçao Campo Elétrico Solução Numérica Solução Analítica
Figura 4.3: Compara¸c˜ao entre aproxima¸c˜ao do SPH e solu¸c˜ao anal´ıtica vista com amplia¸c˜ao.
1.82. Este valor n˜ao est´a de acordo com a rela¸c˜ao sugerida naquele artigo para problemas em 2D, onde sugere-se 0.53 6 h/dr 6 0.63.
Mesmo mantendo-se a rela¸c˜ao ideal entre h e dr, ´e importante observar que dr deve sempre ser proporcional ao comprimento da onda sendo simulada. Sabendo que no FD utiliza-se tipicamente de 10 a 20 n´os por comprimento de onda (Taflove & Hagness 2000), uma primeira tentativa seria utilizar uma distribui¸c˜ao com 20 part´ıculas por comprimento de onda. A figura 4.5 mostra o resultado obtido com esta distribui¸c˜ao.
Pelo resultado obtido observa-se que esta densidade de part´ıculas ´e insu- ficiente para garantir uma boa aproxima¸c˜ao, mesmo quando a rela¸c˜ao dr/h ´e a ideal. De fato, os v´arios testes executados para este problema mostram que s˜ao necess´arias cerca de 40 part´ıculas para se obter resultados t˜ao bons quanto os mostrados na figura 4.2, o que representa uma densidade pelo menos 2 vezes maior que a exigida no FDTD.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Posiçao Campo Elétrico Solução Numérica Solução Analítica
Figura 4.4: Aproxima¸c˜ao do SPH com rela¸c˜ao h/dr alterada comparada `a solu¸c˜ao anal´ıtica.