Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros

O Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros (PCV-P) é uma variante do PCV que envolve elementos de ridesharing, formulado por (CALHEIROS, 2017). No PCV-P às características do PCV permanecem intactas, porém são adicionadas características do ridesharing, isto é, inclui a possibilidade de compartilhar o carro do caixeiro com passageiros de oportunidade e, assim, ratear as despesas da viagem entre os ocupantes do carro. O caixeiro não é obrigado a embarcar passageiros, em casos que os embarques não são rentáveis para a viagem ou quando o objetivo é lucrar com outros passageiros mais adiante no percurso. Para que um passageiro seja viável ao embarque, é necessário que haja disponibilidade de assento no veículo, o caixeiro viajante não tenha passado pela cidade destino do passageiro e que a despesa do seu percurso não exceda a quantidade máxima de dinheiro que o passageiro pode contribuir no rateio com os demais integrantes do veículo.

O PCV-P considera um grafo G = (V, A, P ), no qual V é o conjunto de vértices, A o conjunto de arestas que interligam as localidades e P representa o conjunto de passageiros. Cada passageiro p ∈ P tem origem na localidade Op ∈ V e destino Dp ∈ V, sendo Op 6= Dp

e Tp representa a despesa máxima que o passageiro p aceita pagar. O passageiro p ao ser

embarcado, passa a dividir os custos, em rateio uniforme com os demais passageiros do veículo e motorista, calculando-se o rateio independentemente para cada trecho em que o passageiro deseja seguir embarcado no veículo. Por m, C determina a capacidade máxima de assentos no veículo do caixeiro que podem ser compartilhados. O PCV-P é sujeito a

localidade de desembarque na rota, e o limite máximo de despesa admissível para cada um dos passageiros. O objetivo do PCV-P é de minimização, considerando que os custos de rota podem ser abatidos pelo rateio de despesas.

(CALHEIROS, 2017) apresentou um modelo matemático para o PCV-P que considera a existência em cada localidade n passageiros. A formulação é descrita a seguir.

Parâmetros:

• cij - custo para atravessar a aresta (i, j);

• Op - origem do passageiro p;

• Dp - destino do passageiro p;

• Tp - tarifa máxima que o passageiro p admite pagar;

• C - capacidade do veículo. Variáveis:

• xij - variável binária que indica se a aresta (i, j) pertence à solução (xij = 1)

ou não (xij = 0);

• v_ijp - variável binária que indica se o passageiro p trafegou de i para j (vp_ij = 1) ou não (vp

ij = 0);

• ui - variável inteira que indica a posição do vértice i no caminho.

min |V | X i=1 |V | X j=1 cijxij 1 +P p∈Pv p ij (2.22) Sujeito a, |V | X j=1 xij = 1, ∀i = 1, ..., |V | (2.23) |V | X j=1 xji = 1, ∀i = 1, ..., |V | (2.24)

ui− uj + 1 ≤ |V |(1 − xij), ∀i = 2, ..., |V | (2.25) |P | X p=1 v_ijp ≤ Cxij, ∀ 1 ≤ i, j ≤ |V |, i 6= j (2.26) |V | X i=1 v_iOp p+ |V | X i=1 v_1ip = 0, ∀p = 1, ..., |P |, Op 6= 1 (2.27) |V | X i=1 v_Dp_pi+ |V | X i=1 v_i1p = 0, ∀p = 1, ..., |P |, Dp 6= 1 (2.28) |V | X j=1 vp_ij− |V | X j=1 vp_ji = 0, ∀p = 1, ..., |P |, i = 1, ..., |V | : i 6= Ope i 6= Dp (2.29) X 1≤i,j≤|V |:i6=j cijvpij 1 +P|P | w=1vijw ≤ Tp, ∀p = 1, ..., |P | (2.30) xij, vpij ∈ {0, 1} ∀1 ≤ i, j ≤ |V |, p = 1, ..., |P | (2.31) ui ∈ R, ∀i = 1, ..., |V | (2.32)

A função objetivo apresentada pela equação (2.22), contabiliza o custo total do cai- xeiro viajante rateado com os demais passageiros embarcados. As restrições (2.23) e (2.24) asseguram que todos os vértices sejam visitados apenas uma vez pelo caixeiro viajante. A restrição (2.25) foi proposta no modelo de Miller, Tucker e Zemlim (MILLER; TUCKER; ZEMLIN, 1960) para garantir que não ocorra subrotas na solução. A restrição (2.26) cer- tica de que a capacidade do veículo não será ultrapassada. A restrição (2.27) impede que o passageiro retorne a sua cidade de origem e que parta de sua cidade destino. A restrição (2.28) impede que nenhum passageiro passará no vértice de origem do caixeiro viajante. Enquanto que a restrição (2.29) garante que as arestas no trajeto de qualquer passageiro embarcado, formem um caminho. A restrição (2.30) introduz a tarifa máxima que cada passageiro poderá pagar durante o trecho que estiver embarcado no veículo do caixeiro viajante. Por m, as restrições (2.31) e (2.32) garantem o domínio das variáveis.

Nesta seção serão descritos alguns trabalhos da literatura que possui conexão com a presente pesquisa. Os trabalhos abordam temas dos problemas logísticos urbanos, como o compartilhamento de carona ou ridesharing (AGATZ et al., 2012), e o compartilha- mento de recursos de transporte entre pessoas e mercadorias (LI et al., 2014); as variantes clássicas do PTP e naliza com os trabalhos mais recentes sobre o PCV com ridesharing. O trabalho de Farhan e Chen (FARHAN; CHEN, 2018) expõe o impacto do ridesha- ring na eciência operacional de uma frota de veículos elétricos autônomos compartilhados (SAEVs), incluindo a determinação do tamanho da frota, locais da estação de carrega- mento, capacidade de atendimento da demanda de viagem e considerando os tempos de espera do usuário. Os autores propuseram um modelo de simulação baseado em agentes e que avalia as operações de uma frota de SAEVs em uma área metropolitana.

ALONSO-MORA et al. (2017) apresentaram um modelo matemático de alta capaci- dade para compartilhamento de caronas em tempo real, que é dimensionável para grandes números de passageiros e viagens, gerando dinamicamente rotas ótimas com relação à demanda on-line e localização de veículos. Os pesquisadores quanticaram experimental- mente a troca entre o tamanho da frota, capacidade, tempo de espera, atraso de viagem e custos operacionais para veículos de baixa a média capacidade, como táxis e van. O estudo experimental considera a possibilidade de caronas em veículos com capacidade de até dez pessoas.

MA; ZHENG; WOLFSON (2014), por sua vez, propuseram um modelo de comparti- lhamento de táxis que aceita solicitações de viagem em tempo real feitas por passageiros de táxis enviadas por meio de smartphones. O aplicativo otimiza a programação dos tá- xis de forma a atender os passageiros por meio do compartilhamento de assentos, que é sujeito a restrições de tempo, capacidade e monetária. As restrições monetárias proporci- onam incentivos tanto para os passageiros quanto para os motoristas de táxi. O objetivo é minimizar a distância de viagem associada a cada táxi, enquanto atende aos pedidos de viagem.

LI et al. (2014) expuseram, em seu estudo, os benefícios e desvantagens de combinar pessoas e uxos de encomendas usando táxis e deniram o Problema da Partilha de Viagem (SARP). Os autores apresentaram formulações de MILP e realizaram um estudo numérico de cenários estáticos e dinâmicos para o problema.

teamento de Veículo com Motoristas Ocasionais (PRV-MO). No PRV-MO, uma empresa não possui somente uma frota de veículos e motoristas disponíveis para fazer entregas, mas também pode se aproveitar de motoristas ocasionais (MOs) que estão dispostos a fazer uma única entrega usando seu veículo particular em troca de alguma compensação. Assim, a empresa procura satisfazer a demanda dos clientes com custos totais mínimos, ou seja, os custos totais das rotas dos seus próprios veículos mais as compensações paga aos MO. Os autores fornecem informações valiosas sobre o potencial de usar motoristas ocasionais para reduzir os custos de entrega, concentrando-se principalmente no número e na exibilidade dos motoristas ocasionais e do esquema de compensação empregado.

ARSLAN et al. (2018) expuseram uma versão do PRV-MO dinâmico, enquanto Dahle et al. (2019) apresentaram em seu trabalho uma extensão para o PRV-MO, em modelagem de coleta e entrega com janela de tempo e limite de tempo. Neste problema podem atender mais de uma solicitação e possuem uma restrição de compensação mínima para poder atender uma dada solicitação.

ARCHETTI et al. (2009) deniram o Capacitated Protable Tour Problem (CPTP), no qual um único veículo com capacidade está disponível e o objetivo é maximizar a diferença entre o lucro total coletado e o custo da distância total percorrida.

HANDOKO et al. (2009) apresentaram o Multi-vehicle Protable Tour Problem (MPTP). Tradicionalmente, o PTP envolve um único veículo. Entretanto, nesse trabalho os autores, consideram o PTP com vários veículos.

Por sua vez, SUN et al. (2018) introduziram o Time-Dependent Capacitated Protable Tour Problem With Time Windows And Precedence Constraints (TDCPTP-TWPD), no qual o problema diz respeito à determinação de um passeio e seu tempo de partida no depósito que maximiza o lucro coletado menos o custo total de viagem (medido pelo tempo total de viagem).

Por outro lado, ZHANG; WANG; LIU (2017) introduziram o Probabilistic Protable Tour Problem (PPTP), no qual o problema é denido em um grafo completo e cada vértice (cliente) tem uma probabilidade de exigir uma visita em um determinado dia. O objetivo é encontrar um subconjunto de vértices e identicar, a priori, através desses vértices, um passeio, maximizando a diferença entre os lucros e os custos de viagem esperados.

LAHYANI; KHEMAKHEM; SEMET (2013) apresentaram uma variação para o PTP denominada de Rich Protable Tour Problem (RPTP) que surge quando solicitações de clientes envolvem vários produtos e veículos, utilizando vários compartimentos. No RPTP,

produto. A demanda do cliente pode ser satisfeita parcialmente, entregando apenas alguns dos produtos listados na solicitação. Cumpre lembrar, entretanto, que circuitos viáveis são limitados no tempo e capacidade. Isso implica dizer que um veículo não pode visitar todos os clientes. Além disso, uma característica importante da variante é que alguns produtos são incompatíveis e devem ser mantidos separados durante o transporte. O veículo tem diferentes compartimentos com diferentes capacidades. São conhecidas incompatibilidades entre produtos e compartimentos. Por último, uma janela de tempo e um horário de atendimento estão associados a cada cliente. Os clientes podem ser coletados fora da janela de tempo mediante uma penalização na função objetivo. O custo total de uma excursão é obtido a partir do lucro total menos o custo da viagem e o custo dos tempos de espera.

SABRY; GOLDBARG; GOLDBARG (2016) deniram o Problema do Caixeiro Via- jante Alugador com Passageiros (PCV - Alpa), nele características do Problema do Cai- xeiro Alugador (PCV-Alpa) são combinadas com as propriedades do PCV-P. O objetivo do caixeiro é reduzir suas despesas pela combinação do aluguel de diferentes carros em suas devidas localidades quanto pelo compartilhamento dos trechos da viagem visando a otimização da ocupação dos assentos no carro alugado.

Silva em (SILVA, 2017) descreveu o Problema do Caixeiro Viajante com Passagei- ros e Quota (PCV-PQ), como sendo uma variação para o PCV-P, uma quota mínima preestabelecida é incorporada ao PCV-P. Assim, o caixeiro busca determinar um ciclo hamiltoniano sobre um subconjunto de vértices que cumpram esta quota se valendo do compartilhamento de assentos com passageiros. O objetivo do PCV-PQ é minimizar os custos de um caixeiro viajante que deve coletar uma quota mínima de bônus nas loca- lidades do problema, considerando a possibilidade de rateio das despesas de rota com eventuais passageiros embarcados no veículo do caixeiro.

Bastos em (BASTOS, 2017) apresentou o Problema do Caixeiro Viajante com Pas- sageiros e Lotação (PCV-PL), também é uma variação para o PCV-P, onde o caixeiro compartilha os custos de viagem com passageiros. Além de dividir os custos do percurso, o caixeiro pode se valer, também, dos descontos das High Occupancy Vehicle Lanes (HVL), que são faixas de trânsito que isentam veículos lotados do pagamento de pedágio, logo o objetivo é reduzir os custos rateando entre os passageiros tomando proveito dos descontos oferecidos das HVL.

Restrições de Tempo (PPL-RT), no qual o problema une características do PTP e PCV-P com a adição de HVL sobre as arestas. Os passageiros no PPL-RT possuem os mesmos atributos dos passageiros denidos no PCV-P com o acréscimo de uma janela de tempo para embarque do mesmo. O objetivo do problema é maximizar o lucro total dos bônus coletados menos os custos dos trechos percorridos afetados pelo rateio entre os integrantes do veículo menos os custos relativos aos pedágios.

Por m, Medeiros (MEDEIROS, 2019) apresentou o Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios e Passageiros (PCV-CPP), onde o PCV-P é mesclado com ele- mentos do PCTSP. Os custos do trajeto do motorista são reduzidos através do rateio de despesas em virtude do compartilhamento de assentos no veículo usado na tarefa de co- leta de prêmios. As tarefas na rota são selecionadas segundo o modelo de roteamento com coleta de prêmios, portanto se considerando penalidades pelo eventual não atendimento de tarefas existentes e, adicionalmente, determinando o cumprimento de uma demanda mínima de tarefas. Portanto, o objetivo do PCV-CPP é minimizar o custo total da viagem do caixeiro somado com a parcela das penalidades decorrentes da eventual ausência de visita em determinadas localidades.

De acordo com a revisão realizada, não foi encontrada nenhuma publicação que lide com todas as características combinadas do problema do presente estudo. Basicamente é uma variante que não pode lucrar com o compartilhamento de assentos no veículo, somente reduzir custos. Na próxima seção, será realizada uma descrição geral do problema.

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