completas
Em uma instância do HR, os agentes não precisam aceitar todos os agentes do conjunto oposto, isto é, cada agente fornece uma lista de preferências que classifica apenas os agentes do conjunto oposto com o qual ele tem algum interesse em ser emparelhado. A generalização do SM que permite que cada pessoa classifique apenas as pessoas do sexo oposto com as quais ela aceita se casar chama-se Problema do Casamento Estável
com Listas Incompletas (SMI, de Stable Marriage with Incomplete lists). Geralmente,
assume-se que o número de homens é igual ao número de mulheres em uma instância do SMI, mas vamos assumir que esse número pode ser diferente. Note que o SM é um caso restrito do SMI no qual cada pessoa acha todas as pessoas do sexo oposto aceitáveis e o número de homens é igual ao número de mulheres. Note também que o SMI é um caso restrito no HR no qual c(h) = 1 para todo h ∈ H. Dessa forma, podemos usar a definição de par bloqueante do HR, que é dada a seguir, de forma adaptada.
3.6. Problema do Casamento Estável com Listas Incompletas 31 m1 m2 w1 w2 1 2 1 1 2 1
Figura 3.7: Instância do SMI que possui um emparelhamento estável que não é completo
Definição 3.3 (Par bloqueante). Dado um emparelhamento M para uma instância do
SMI, dizemos que um par (m, w) /∈ M bloqueia M , ou é um par bloqueante de M se
as seguintes condições são satisfeitas: (i) m e w são mutuamente aceitáveis;
(ii) m não está emparelhado ou w m M (m); e
(iii) w não está emparelhada ou m w M (w).
Note que, diferente de um emparelhamento estável para o SM, um emparelhamento estável para o SMI não precisa ser completo, isto é, pode acontecer que uma ou mais pessoas não sejam emparelhadas. A Figura 3.7 ilustra o exemplo de uma instância do SMI que não possui um emparelhamento completo. A instância apresentada possui apenas o emparelhamento estável M = {(m2, w1)}, que possui cardinalidade um, apesar dos conjuntos de homens e mulheres terem tamanho dois cada um.
Aplicando o Teorema 3.5 a uma instância do SMI, temos que todo emparelhamento estável possui a mesma cardinalidade e que cada conjunto de pessoas é particionado em dois: aquelas que são emparelhadas em todos os emparelhamentos estáveis e aquelas que não são emparelhadas em nenhum. O teorema a seguir mostra que é possível reduzir o SMI para uma instância do SM e vice-versa, de forma que o conjunto de emparelhamentos estáveis dos dois problemas tenham um mapeamento de 1-para-1.
Teorema 3.6. Seja I uma instância do SMI com n1 homens e n2 mulheres. Então,
existe uma instância I0 do SM de tamanho n = max{n
1, n2}, tal que os emparelhamentos
estáveis de I têm uma correspondência de 1-para-1 com os emparelhamentos estáveis de I0.
Demonstração. Suponha que os homens e as mulheres em I são dados por U = {m1,
. . . , mn1} e W = {w1, . . . , wn2}, respectivamente. Sem perda de generalidade, assuma que n1 ≤ n2. Logo, n = n2. Seja I0 formado pelos homens U0 = U ∪ S e as mulheres
W0 = W , onde S = {mn1+1, . . . , mn} e U ∩ S = ∅. Seja Wi o conjunto de mulheres
à lista de preferências de wj em I. Para cada homem mi ∈ U , sua lista de preferências
em I0 é formada pela sua lista de preferências em I seguida das mulheres de W \Wi em
ordem crescente de subscrito, e para cada homem mi ∈ S, sua lista de preferências em
I0 é formada pelas mulheres de W em ordem crescente de subscrito. Para cada mulher
wj ∈ W , sua lista em I0 é formada pela sua lista de preferências em I seguida dos homens
de U0\Uj em ordem crescente de subscrito.
Afirmamos que existe um mapeamento de 1-para-1 entre os emparelhamentos estáveis de I e I0.
Dado um emparelhamento estável M para I, vamos mostrar como construir um em- parelhamento estável M0 em I0 a partir de M . Seja UM = {mj1, . . . , mjp} e WM = {wk1, . . . , wkq} o conjunto de homens e mulheres, respectivamente, da instância I que não foram emparelhados em M . O número de mulheres não emparelhadas, portanto, é de
p + n2− n1 = q.
Seja U∗ = < mj1, . . . , mjq > a sequência dos homens de UM ∪ S ordenados em ordem crescente de subscrito e seja W∗ = < wk1, . . . , wkq > a sequência das mulheres de WM ordenadas em ordem crescente de subscrito. Seja M∗ = {(mjr, wkr) : 1 ≤ r ≤ q}. Vamos mostrar que o emparelhamento M0 = M ∪ M∗ é estável para I0.
Suponha por contradição que (mi, wj) bloqueia M0. Seja M0(mi) = wk e M0(wj) = ml.
Como (mi, wj) é um par bloqueante, então wj mi wke mi wj ml. Vamos dividir a prova em dois casos:
(i) Se mi ∈ S: devido à forma como I0 foi construído, temos que j < k. Como
mi wj ml, então ml não pode pertencer a Uj e i < l, o que contraria o fato de como M0 é construído.
(ii) Se mi ∈ S: então m/ i ∈ U . Suponha primeiro que (mi, wj) é um par aceitável para
I. Se mi não está emparelhado em M , então (mi, wj) bloqueia M , pois wj ou não
está emparelhada em M ou está emparelhada a ml pela construção de M0, o que
contraria a estabilidade de M . Analogamente, temos que wj deve ser emparelhada
em M , caso contrário (mi, wj) bloquearia M . Então mi e wj estão emparelhados em
M e, pela construção de M0, temos que M (mi) = wk e M (wj) = ml. Assim, o par
(mi, wk) bloqueia M , o que é uma contradição. Resta então analisar o caso onde o
par (mi, wj) é um par inaceitável em I. Como mi prefere wj a wk e (mi, wj) é um
par inaceitável em I, pela construção de I0 podemos concluir que (mi, wk) é um par
inaceitável em I. Assim, j < k. Analogamente, temos que wj prefere mi a ml e,
pela construção de I0, podemos concluir que (ml, wj) também é um par inaceitável
em I, o que implica que i < l. No entanto, isso contraria a forma como M0 foi construído, pois mi, ml ∈ UM ∪ S e i < l e, assim, k deveria ser menor do que j.
3.6. Problema do Casamento Estável com Listas Incompletas 33
Não é difícil perceber que dados dois emparelhamentos estáveis distintos M1 e M2 de
I, eles serão mapeados para emparelhamentos estáveis distintos M10 e M20 de I0 através desse procedimento.
Vamos mostrar agora que o conjunto dos emparelhamentos estáveis em I0 possui um função injetora no conjunto dos emparelhamentos estáveis em I. Dado um em- parelhamento estável M0 para I0, construímos um emparelhamento M para I fazendo
M = M0∩ (U × W ). Primeiro vamos mostrar que M é estável para I.
Suponha por contradição que M é bloqueado por (mi, wj) e seja M0(mi) = wk e
M0(wj) = ml. Como (mi, wj) não é um par bloqueante de M0, então ou mi prefere
wk a wj ou wk prefere ml a mi (possivelmente ambos). Se wj prefere ml a mi, então
pela construção de I0 e pelo fato de (mi, wj) ser um par aceitável, podemos concluir que
(ml, wj) é um par aceitável para I. Logo, ml ∈ U . Assim, temos que M (wj) = ml,
contrariando a suposição de que (mi, wj) era um par bloqueante. Se mi prefere wk a wi,
podemos utilizar o mesmo raciocínio e também chegaremos a uma contradição. Assim, temos que M é estável.
Vamos mostrar agora que esse mapeamento é uma injeção. Suponha por contradição que existem dois emparelhamentos estáveis distintos M0 e M00 em I0 tais que M = M0∩ (U × W ) = M00∩ (U × W ). Como M0 6= M00, então existe ao menos um par (m
i, wj) ∈ M0
tal que (mi, wj) /∈ M00. Como os dois emparelhamentos são mapeados em M , temos que
(mi, wj) /∈ M ; portanto, mi ∈ S. Seja M00(wj) = mle suponha sem perda de generalidade
que wj prefere mi a ml. Vamos mostrar que existe uma sequência < mr1, . . . , mri > de homens e uma sequência < ws1, . . . , wsi > de mulheres em I
0 tais que, para cada i ≥ 1:
(i) (mri, wsi) ∈ M 0, (m ri−1, wsi) ∈ M 00 e w si prefere mri a mri−1; (ii) mri ∈ S; e (iii) ri < ri−1.
Para i = 1, basta fazer r0 = l, r1 = i, s1 = j. Como mi ∈ S e wj prefere mi a ml,
sabemos pela construção de I0 que i < l. Logo, temos que o caso base vale. Suponha que a proposição vale para algum i = k. Seja M00(mrk) = wsk+1. Temos que mrk prefere wsk+1 a wsk, caso contrário teríamos que (mrk, wsk) bloquearia M
00. Seja M0(w
sk+1) = mrk+1. Então wsk+1 prefere mrk+1 a mrk, pois caso contrário (mrk, wsk+1) bloquearia M
0. Sabemos que o par (mrk+1, wsk+1) pertence a M
0 e não pertence a M00. Como M0 e M00 foram mapeados para M , temos que (mrk+1, wsk+1) /∈ M . Assim, concluímos que mrk+1 ∈ S. Como mrk, mrk+1 ∈ S e wk+1 prefere mrk+1 a mrk, pela construção de I
0 concluímos que
rk+1 < rk. Como temos uma sequência infinita e o nosso grafo é finito, temos uma
m1: w5, w7, w1, w2, w6, w8, w4, w3 m2: w2, w3, w7, w5, w4, w1, w8, w6 m3: w8, w5, w1, w4, w6, w2, w3, w7 m4: w3, w2, w7, w4, w1, w6, w8, w5 m5: w7, w2, w5, w1, w3, w6, w8, w4 m6: w1, w6, w7, w5, w8, w4, w2, w3 m7: w2, w5, w7, w6, w3, w4, w8, w1 m8: w3, w8, w4, w5, w7, w2, w6, w1 Listas de preferências dos homens
w1: m5, m3, m7, m6, m1, m2, m8, m4 w2: m8, m6, m3, m5, m7, m2, m1, m4 w3: m1, m5, m6, m2, m4, m8, m7, m3 w4: m8, m7, m3, m2, m4, m1, m5, m6 w5: m6, m4, m7, m3, m8, m1, m2, m5 w6: m2, m5, m8, m3, m4, m6, m7, m1 w7: m7, m5, m2, m1, m8, m6, m4, m3 w8: m7, m4, m1, m5, m2, m3, m6, m8 Listas de preferências das mulheres Figura 3.8: Instância do SM (retirado de [20])