Problemas de otimiza¸c˜ ao, m´ etodos de solu¸c˜ ao e solvers comerciais

Um modelo de otimiza¸c˜ao tem como crit´erio de desempenho a maximiza¸c˜ao ou mi- nimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo, que est´a definida em termos das vari´aveis de decis˜ao do problema e sujeita `a restri¸c˜oes. A Equa¸c˜ao (2.1) representa matematicamente um pro- blema gen´erico de otimiza¸c˜ao.

M in(M ax)z = f (x, y) g(x, y) ≤ 0 h(x, y) = 0 x ∈ ℜn y ∈ {0, 1} (2.1) em que,

❼ z ´e o valor obtido da fun¸c˜ao objetivo; ❼ f(x, y) ´e a fun¸c˜ao objetivo;

❼ g(x, y) ´e o conjunto das restri¸c˜oes de desigualdade; ❼ h(x, y) ´e o conjunto das restri¸c˜oes de igualdade; ❼ x ´e o vetor coluna das vari´aveis cont´ınuas; ❼ y ´e o vetor coluna das vari´aveis bin´arias.

Os problemas de otimiza¸c˜ao s˜ao classificados, geralmente, com base nas caracter´ısticas da fun¸c˜ao objetivo e restri¸c˜oes. S˜ao eles:

❼ programa¸c˜ao linear (LP): se f(x, y), g(x, y) e h(x, y) s˜ao fun¸c˜oes lineares, x ´e o vetor de vari´aveis reais e y ´e o vetor vazio para as vari´aveis bin´arias;

❼ programa¸c˜ao n˜ao-linear (NLP): se pelo menos uma das fun¸c˜oes f(x, y), g(x, y) ou h(x, y) apresentam termos n˜ao lineares, x ´e o vetor de vari´aveis reais e y ´e o vetor vazio para as vari´aveis bin´arias;

❼ programa¸c˜ao mista inteira linear (MILP): se f(x, y), g(x, y) e h(x, y) s˜ao fun¸c˜oes lineares, x ´e o vetor de vari´aveis reais e y ´e o vetor de vari´aveis bin´arias;

❼ programa¸c˜ao mista inteira n˜ao linear (MINLP): se ao menos uma das fun¸c˜oes f(x, y), g(x, y) ou h(x, y) apresentam termos n˜ao lineares, x ´e o vetor de vari´aveis reais e y ´e o vetor de vari´aveis bin´arias.

No contexto do planejamento e programa¸c˜ao da produ¸c˜ao, a modelagem matem´atica ´e desenvolvida como problemas de programa¸c˜ao mista inteira linear (MILP) e programa¸c˜ao mista inteira n˜ao linear (MINLP) (HARJUNKOSKI et al., 2014). Segundo Magalh˜aes (2004)

a natureza inteira do problema ´e adequada para representar as decis˜oes de sequenciamento de tarefas, sele¸c˜ao de equipamentos e regime de opera¸c˜ao. As n˜ao linearidades podem representar processos de rea¸c˜ao, mistura e vari´aveis operacionais.

Algoritmos de solu¸c˜ao

Para os modelos MILP, o m´etodo mais utilizado na busca da solu¸c˜ao ´e o algoritmo Branch and Bound (B&B). Esse algoritmo gera uma ´arvore de combina¸c˜ao bin´aria que divide a regi˜ao de busca em subdom´ınios, resolvendo uma sequˆencia de programas li- neares. Rigorosos limites inferior (problema de minimiza¸c˜ao) ou superior (problema de maximiza¸c˜ao) sobre a fun¸c˜ao objetivo s˜ao fornecidos neste m´etodo. O n´umero de itera¸c˜oes requeridas pelo m´etodo B&B ´e uma fun¸c˜ao exponencial do n´umero de vari´aveis inteiras. Desta forma, modelos que representam a realidade industrial podem necessitar de elevado n´umero de vari´aveis inteiras, aumentando a dimens˜ao do modelo e a dificuldade da busca de solu¸c˜ao.

O Algoritmo de Planos Cortantes (Cutting Plane) ´e outro m´etodo de solu¸c˜ao dos problemas MILP. O algoritmo tem origem no m´etodo Simplex (comumente utilizado na solu¸c˜ao dos problemas LP) e opera de forma semelhante ao B&B com a inser¸c˜ao de restri¸c˜oes de cortes da regi˜ao vi´avel para reduzir o espa¸co de busca. H´a ainda o algoritmo Branch and Cut, uma combina¸c˜ao dos m´etodos B&B e Cutting Plane em que a cada itera¸c˜ao do B&B restri¸c˜oes s˜ao adicionadas para cortar parte da regi˜ao vi´avel excluindo vari´aveis n˜ao inteiras (MORO, 2000).

Harjunkoski et al. (2014) afirmam que os problemas reais podem produzir modelos MILP de grande dimens˜ao e diversas alternativas de solu¸c˜ao tem sido propostas, s˜ao elas: (i) m´etodos de pr´e-processamento, (ii) combina¸c˜ao de heur´ısticas com algoritmo B&B, (iii) utiliza¸c˜ao de restri¸c˜oes de corte no pr´e-processamento, (iv) integra¸c˜ao do B&B com m´etodos de busca local e (v) utiliza¸c˜ao de recurso computacional em paralelo.

Os problemas MINLP re´unem as dificuldades do problemas MILP e NLP. Os al- goritmos Spatial Branch & Bound - (SBB) s˜ao os mais eficientes na busca de solu¸c˜ao dos problemas MINLP n˜ao convexos. Outros m´etodos de busca local para os proble-

mas MINLP encontrados na literatura s˜ao: Aproxima¸c˜ao Exterior (Outer Approximation - OA), Decomposi¸c˜ao Generalizada de Benders (Generalized Benders Decomposition - GBD) e Planos Cortantes Extendidos (Extended Cutting Plane - ECP) (HOLLMANN,

2015).

Solvers e softwares comerciais

Em rela¸c˜ao aos c´odigos computacionais dispon´ıveis para a solu¸c˜ao dos problemas MILP atualmente usados s˜ao: CPLEX , XPRESS e GUROBI (possuem implementados o algoritmo Branch and Cut). Todos esses c´odigos incluem sofisticados algoritmos de busca de solu¸c˜ao, t´ecnicas de pr´e-processamento e heur´ısticas. Dentre estes, o solver CPLEX ´e comumente utilizado para solu¸c˜ao dos problemas de planejamento e programa¸c˜ao da produ¸c˜ao do tipo MILP. Para os problemas MINLP tem-se: DICOPT (Discrete and Conti- nuous Optimizer ), BARON (Branch & Reduce Optimization Navigator ) e SBB dispon´ıveis em GAMS, LINDO Global, Couenne e GloMIQO (Global Mixed-integer Quadratic Opti- mizer ) para otimiza¸c˜ao global e c´odigos abertos como Bonmin e FilMINT (HARJUNKOSKI et al., 2014).

Existem ainda, os softwares comerciais para o planejamento da produ¸c˜ao de refinarias, como PIMS (Process Industry Modelling System) da AspenTech e o RPMS (Refinery and Petrochemical Modeling System) da Honeywell, que utilizam programa¸c˜ao linear sucessiva (SHAH et al., 2011). Para a programa¸c˜ao da produ¸c˜ao a maioria dos softwares comerciais s˜ao baseados em simula¸c˜ao e n˜ao em otimiza¸c˜ao. S˜ao eles: Aspen Plant Scheduler, Model Entreprise Optimal Single-Scheduler, VirtECS Scheduler e Advanced Planner and Opti- mizer - SAP utilizados para a programa¸c˜ao em plantas batelada (M ´ENDEZ et al., 2006a).

Neste trabalho s˜ao utilizados os solvers CPLEX, CONOPT e DICOPT. O solvers CPLEX ´e comum para problemas do tipo MILP

No contexto da ind´ustria de petr´oleo, ao longo dos ´ultimos 30 anos, o processo de refino cresceu em complexidade e volume como consequˆencia da competi¸c˜ao entre mer- cados, das novas pol´ıticas ambientais e da ramifica¸c˜ao das empresas em diferentes lo- calidades. Para o setor enfrentar esse dinamismo do mercado, tornou-se indispens´avel `a aplica¸c˜ao das t´ecnicas de otimiza¸c˜ao da cadeia de abastecimento, abrangendo as opera¸c˜oes de suprimento, produ¸c˜ao e distribui¸c˜ao (SHAH et al., 2011). A Se¸c˜ao 2.2 se concentra no

2.2

Planejamento e Programa¸c˜ao da Produ¸c˜ao em