Nosso próximo resultado nos permite estabelecer a existência de pelo menos uma solução do problema (3.31).
Teorema 3.5.5. Seja f uma função contínua que atende as condições do Teorema 3.5.4. Suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas para algum ρ ≥ r(2 + T ).
1. A equação
G(a, b) = (0, 0) não tem solução em ∂Bρ(0) ∩ R2.
2. O grau de Brouwer
degB(G, Bρ(0) ∩ R2, 0) 6= 0. Então, o problema (3.31) tem uma solução.
Demonstração. Para λ ∈ (0, 1), se u é solução do problema (3.34), então pelo Teorema3.5.4, temos kuk1 = kuk∞+ ku0k∞< r + rT + r = r(2 + T ),
onde r =max ϕ−1(L + 2 kc−kL1) , ϕ−1(−L − 2 kc−kL1) . Usando o Teorema 3.5.3 com Ω = Bρ(0), completamos a demonstração.
O seguinte exemplo é uma aplicacão do Teorema 3.5.5. Exemplo 3.5.6. Vamos considerar o problema
u030= e
u0
2 − 1, u(T ) = u
0(0) = u0(T ). (3.38)
Para M1 = −1, M2 = 1 e c(t) = −1 para todo t ∈ [0, T ]. O problema (3.38) tem ao menos uma solucão para ρ ≥ (1 + 2T )1/3(2 + T ).
3.6 Problemas do tipo misto generalizado em R
Nesta seção, nosso objeto de estudo será uma classe de equações diferenciais com condições de fronteira da forma
u0(0) = u(0), u0(T ) = bu0(0) para b ∈ R, b 6= 0.
No artigo [10] Bouches e Mawhin estudam a existência de ao menos uma solução do problema de tipo
(
(ϕ(u))0 = f (t, u)
u(T ) = bu(0), (3.39)
onde ϕ : R −→ (−a, a) é um homeomorfismo tal que ϕ(0) = 0, f : [0, T ] × R −→ R uma função contínua e b ∈ R, b 6= 0.
Inspirados por [10], investigamos a existência de soluções para o seguinte sistema que não en-contramos na literatura:
(
(ϕ(u0))0 = f (t, u, u0)
u0(0) = u(0), u0(T ) = bu0(0), (3.40)
onde ϕ : R −→ R é um homeomorfismo tal que ϕ(0) = 0, f : [0, T ] × R × R −→ R uma função contínua e b ∈ R, b 6= 0.
Diremos que u : [0, T ] −→ R de classe C1é uma solução do problema (3.40) quando as condições seguintes forem satisfeitas: u atende as condições de fronteira e a função ϕ(u0) é de classe C1 e satisfaz (ϕ(u0(t)))0 = f (t, u(t), u0(t)) para todo t em [0, T ].
O procedimento adotado para mostrar a existência de pelo menos uma solução de (3.40) é transformar o sistema em um problema de ponto fixo para um operador definido em C1. Em seguida, sob certas condições, usamos o grau de Leray-Schauder e o grau de Brouwer. Vamos aqui apresentar esta abordagem.
Como nos casos anteriores, ϕ−1 é entendida como uma função ϕ−1 : C −→ C dada por ϕ−1(v)(t) = ϕ−1(v(t)). É claro que ϕ−1 é contínua e envia conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Diante do exposto acima consideramos a seguinte aplicação: M1(u) = Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u) T + H ϕ−1 h ϕ(P u) + H(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(P u) T i + P (u), onde Ψ denota a função que envia t em t, R é identificado com o subespaço de C1 das funções constantes e Bϕ,b : R −→ R é definido por x 7−→ Bϕ,b(x) = ϕ(bx) − ϕ(x). Lembramos que os espaços C e C1 foram definidos na seção 3.1.
Usando as propriedades do operador M1 juntamente com o Teorema de Arzelà-Ascoli (Teorema
2.3.5), temos o seguinte lema. A demonstração é apresentada, mesmo sendo o resultado análogo a vários resultados anteriores.
Lema 3.6.1. O operador M1: C1 −→ C1 é completamente contínuo.
Demonstração. Seja Λ um conjunto limitado de C1. Então, existe ρ > 0 tal que
kuk1 ≤ ρ (3.41)
para todo u ∈ Λ. Queremos mostrar que M1(Λ) ⊂ C1 é um conjunto compacto. Para tanto, tome (vn) uma sequência em M1(Λ) e (un) uma sequência em Λ tal que vn= M1(un). Da fórmula (3.41), segue que existe L > 0 tal que
kNf(un)k∞≤ L para todo n ∈ N. Daí se segue que
kH(Nf(un) − Q(Nf(un)))k∞≤ 2LT .
Portanto, a sequência (H(Nf(un) − Q(Nf(un)))) é limitada em C. Além disso, para todo n ∈ N e para t, t1 ∈ [0, T ], segue que
|H(Nf(un) − Q(Nf(un)))(t) − H(Nf(un) − Q(Nf(un)))(t1)| ≤ Z t t1 Nf(un)(s)ds + Z t t1 Q(Nf(un))(s)ds ≤ L |t − t1| + |t − t1| kQ(Nf(un))k∞ ≤ L |t − t1| + L |t − t1| ≤ 2L |t − t1| ,
o que implica que a sequência (H(Nf(un) − Q(Nf(un)))) é equicontínua. Assim, usando o Teorema de Arzelà-Ascoli (Teorema2.3.5), (H(Nf(un) − Q(Nf(un)))) possui uma subsequência convergente em C, que vamos chamar de
H(Nf(unj) − Q(Nf(unj))).
Então, passando a uma subsequência, se necessário, temos que a sequência
3.6 PROBLEMAS DO TIPO MISTO GENERALIZADO EM R 43
é convergente em C. Sabendo que ϕ−1: C −→ C é contínua e que
M1(unj)0 = ϕ−1hH(Nf(unj) − Q(Nf(unj))) + ΨBϕ,bT(P unj)+ ϕ(P (unj))i,
segue que a sequência (M1(unj)0) é convergente em C. Portanto, de novo passando a uma subse-quência, se necessário, obtemos que (vnj) = (M1(unj)) é convergente em C1. Para finalizar a prova, suponha (vn) ⊆ M1(Λ). Seja (zn) ⊆ M1(Λ) tal que
lim
n→∞kzn− vnk1 = 0.
Seja também (znj) uma subsequência de (zn) que converge para z. Segue que z ∈ M1(Λ) e (vnj) converge para z. Portanto, o resultado está provado.
O seguinte lema estabelece uma relação direta do problema (3.40) com o operador M1. Alguns detalhes técnicos da demonstração do resultado nos sugerem que seja oportuno apresentá-la. Lema 3.6.2. u ∈ C1 é uma solução de (3.40) se, e somente se, u é um ponto fixo do operador M1. Demonstração. Seja u ∈ C1. Obtemos as seguintes equivalencias:
(ϕ(u0))0 = Nf(u), u0(T ) = bu0(0), u0(0) = u(0)
⇔ (ϕ(u0))0= Nf(u) − Q(Nf(u)) − Bϕ,b(u0(0)) T , Q(Nf(u)) −Bϕ,b(u0(0)) T = 0, u0(0) = u(0)
⇔ ϕ(u0) = H (Nf(u) − Q(Nf(u))) +ΨBϕ,b(u0(0))
T + ϕ(u0(0)), Q(Nf(u)) −Bϕ,b(u0(0)) T = 0, u0(0) = u(0) ⇔ u0 = ϕ−1 h H(Nf(u) − Q(Nf(u))) +ΨBϕ,b(u0(0)) T + ϕ(u0(0)) i , Q(Nf(u)) −Bϕ,b(u0(0)) T = 0, u0(0) = u(0) ⇔ u = Hϕ−1hH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(u0(0)) T + ϕ(u0(0))i+ u(0), Q(Nf(u)) −Bϕ,b(u0(0)) T = 0, u0(0) = u(0)
⇔ u = Hϕ−1hH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(u(0))
T + ϕ(u(0))i+ u(0), Q(Nf(u)) −Bϕ,b(u(0)) T = 0 ⇔ u = Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u) T + Hϕ−1hH(Nf(u) − Q(Nf(u))) +ΨBϕ,b(P u) T + ϕ(P u)i+ P u. Observação 3.6.3. Observe que u0(T ) = bu0(0) se, e somente se, Q(Nf(u)) = Bϕ,b(u0(0))
T . A partir deste ponto, M1 será chamado operador ponto fixo associado ao sistema (3.40). Queremos aplicar o grau de Leray-Schauder ao operador M1. Introduzimos uma família de problemas de valor na fronteira dependendo de um parametro real λ. Para λ ∈ [0, 1], consideramos a família
(
(ϕ(u0))0= λNf(u) + (1 − λ)Q(Nf(u))
u0(0) = u(0), u0(T ) = bu0(0). (3.42)
Note que (3.42) coincide com (3.40) quando λ = 1. Assim, para cada λ ∈ [0, 1], o operador ponto fixo associado ao problema (3.42) pelo Lema 3.6.2 é o operador M (λ, ·), onde M é definido em [0, 1] × C1 por
M (λ, u) = Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u) T + H ϕ−1 h ϕ(P u) + λH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(P u) T i + P (u). Utilizando argumentos análogos aos Lemas3.6.2e3.6.1, conseguimos mostrar que podemos escrever (3.42) de forma equivalente M (λ, u) = u e que M é completamente contínuo, respectivamente.
A fim de provar a existência de ao menos uma solução de (3.40) vamos introduzir um novo sistema
(
(ϕ(u0))0 = λQ(Nf(u)) RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt = ϕ(bu(0)) − ϕ(u(0)), u0(0) = u(0). (3.43) Por outro lado, vamos considerar a seguinte aplicação Z definida em [0, 1] × C1 por
Z(λ, u) = P (u) + Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u) T + H ϕ−1 λΨBϕ,b(P u) T + ϕ(P u) , (3.44)
onde Z(1, ·) coincide com o operador M (0, ·).
A seguir, apresentamos duas propriedades importantes de Z.
Lema 3.6.4. Se u ∈ C1 é ponto fixo do operador Z(λ, ·) para λ ∈ [0, 1], então u é solução de (3.43).
Demonstração. Para λ ∈ [0, 1], se u ∈ C1 é ponto fixo do operador Z(λ, ·), então u = Z(λ, u). Avaliando a função u em 0, segue que
RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt = ϕ(bu(0)) − ϕ(u(0)). Derivando u, obtemos u0(t) = ϕ−1 tλϕ(bu(0)) − ϕ(u(0)) T + ϕ(u(0)) (3.45) para todo t ∈ [0, T ]. Aplicando ϕ, segue que
ϕ(u0(t)) = tλϕ(bu(0)) − ϕ(u(0))
T + ϕ(u(0)).
Agora, derive novamente e conclua que
(ϕ(u0(t)))0 = λϕ(bu(0)) − ϕ(u(0))
T = λQ(Nf(u))
para todo t ∈ [0, T ].
Por outro lado, usando (3.45) para t = 0, obtemos u0(0) = u(0), finalizando a demonstração do lema.
Lema 3.6.5. O operador Z : [0, 1] × C1 −→ C1 é completamente contínuo.
Demonstração. Seja Λ um conjunto limitado de [0, 1] × C1. Então, existe ρ > 0 tal que
k(λ, u)k = max {kλk , kuk1} ≤ ρ (3.46)
para todo (λ, u) ∈ Λ. Queremos mostrar que Z(Λ) ⊂ C1 é um conjunto compacto. Para tanto, tome (vn) uma sequência em Z(Λ) e (λn, un) uma sequência em Λ tal que vn = Z(λn, un). De (3.46) e sabendo que ϕ é um homeomorfismo, deduzimos que existe uma constante L > 0 tal que
λn Bϕ,b(P un) T ∞ ≤ L
3.6 PROBLEMAS DO TIPO MISTO GENERALIZADO EM R 45
para todo n ∈ N. Logo, a sequência
λnΨBϕ,bT(P un)
é limitada em C. Além disso, para todo n ∈ N e para t, t1∈ [0, T ], segue que
λntBϕ,b(P un)(t) T − λn t1Bϕ,b(P un)(t1) T ≤ λntϕ(bun(0)) − ϕ(un(0)) T − λnt1 ϕ(bun(0)) − ϕ(un(0)) T ≤ (t − t1) λn ϕ(bun(0)) − ϕ(un(0)) T ≤ L |t − t1| ,
o que implica que a sequênciaλnΨBϕ,b(P un) T
é equicontínua. Assim, usando o Teorema de Arzelà-Ascoli (Teorema 2.3.5), λnΨBϕ,b(P un)
T
possui uma subsequência convergente em C, que vamos chamar de λnj ΨBϕ,b(P unj) T .
Então, passando a uma subsequência, se necessário, temos que a sequência
λnjΨBϕ,b(P unj)
T + ϕ(P (unj))
é convergente em C. Usando a continuidade de ϕ−1 : C −→ C e a igualdade seguinte: Z(λnj, unj)0 = ϕ−1 λnjΨBϕ,b(P unj) T + ϕ(P (unj)) ,
segue que a sequência (Z(λnj, unj)0) é convergente em C e, portanto, passando novamente a uma subsequência, se necessário, obtemos que (vnj) = (Z(λnj, unj)) é convergente em C1. Para finalizar a prova, suponha (vn) ⊆ Z(Λ). Seja (zn) ⊆ Z(Λ) tal que
lim
n→∞kzn− vnk1 = 0.
Seja também (znj) uma subsequência de (zn) que converge para z. Segue que z ∈ Z(Λ) e (vnj) converge para z. Portanto, o resultado está provado.
Neste momento, estamos em condições de enunciar o principal resultado desta seção que mostra a existência de alguma solução do problema (3.40). Consideramos a seguinte aplicação contínua:
G : R2 −→ R2, (x, y) 7−→ Bϕ,b(x) T − 1 T Z T 0 f (t, x + yt, y)dt, −x + y . (3.47)
Teorema 3.6.6. Seja Ω um subconjunto aberto limitado de C1. Consideramos a identificação natural (a, b) ≈ a + bt de R2 com as funções afins de C1. Suponhamos sejam verificadas as seguintes condições.
1. Se u é ponto fixo do operador Z(λ, ·) para λ ∈ [0, 1], então u não pertence a ∂Ω. 2. O grau de Brouwer
degB(G, Ω ∩ R2, 0) 6= 0. 3. Para cada λ ∈ (0, 1], (3.42) não tem solução em ∂Ω.
Demonstração. Pelo Lema 3.6.5 e usando a hipótese 1 acima, temos que para λ ∈ [0, 1], o grau de Leray-Schauder degLS(I − Z(λ, ·), Ω, 0) está bem definido. A invariância homotópica diz que
degLS(I − Z(1, ·), Ω, 0) = degLS(I − Z(0, ·), Ω, 0). Por outro lado,
degLS(I − Z(0, ·), Ω, 0) = degLS(I − (P + QNf−Bϕ,bP
T + HP ), Ω, 0). Além disso, o conjunto imagem da aplicação
u −→ P (u) + Q(Nf(u)) − Bϕ,b(P (u))
T + H(P (u))
está contido no subespaço das funções afins isomorfo a R2. Assim, usando a propriedade de redução em dimensão finita do grau de Leray-Schauder [15,27]
degLS(I − (P + QNf −Bϕ,bP T + HP ), Ω, 0) = degB I − (P + QNf −Bϕ,bP T + HP ) Ω∩R2 , Ω ∩ R2, 0 = degB(G, Ω ∩ R2, 0) 6= 0.
Por outro lado, como M (0, ·) coincide com Z(1, ·), M é completamente contínuo e (3.42) não tem solução em ∂Ω para λ ∈ (0, 1], então podemos concluir que, para cada λ ∈ [0, 1], degLS(I − M (λ, ·), Ω, 0) está bem definido. Logo, utilizando a propriedade de invariância homotópica, podemos afirmar que
degLS(I − M (1, ·), Ω, 0) = degLS(I − M (0, ·), Ω, 0).
Por conseguinte, degLS(I − M (1, ·), Ω, 0) 6= 0. Portanto, existe u ∈ Ω tal que M1(u) = u, o que significa que u é solução de (3.40).
O problema (3.40) pode ser estudado colocando algumas condições particulares sobre a função f (ou o homeomorfismo ϕ no Teorema 3.6.6). Provamos os resultados seguintes.
Teorema 3.6.7. Seja f uma função contínua. Suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas. 1. Existem M1< M2 tais que para toda u ∈ C1
RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt − Bϕ,b(u0(0)) 6= 0 se u0m ≥ M2, ou
RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt − Bϕ,b(u0(0)) 6= 0 se u0M ≤ M1. 2. Existe h ∈ C tal que
|f (t, x, y)| ≤ h(t) para todo x, y ∈ R e todo t ∈ [0, T ].
3. Para um oportuno ρ > 0, o grau de Brouwer
degB(G, Bρ(0) ∩ R2, 0) 6= 0, onde G é definida em (3.47). Então, o problema (3.40) tem ao menos uma solução.
Demonstração. Para λ ∈ [0, 1], se u é uma solução de (3.42), então u = M (λ, u), onde M (λ, u) = Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u)
T + Hϕ−1hϕ(P u) + λH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(P u) T
i
3.6 PROBLEMAS DO TIPO MISTO GENERALIZADO EM R 47
Avaliando u em 0, segue que Z T 0 f (t, u(t), u0(t))dt − Bϕ,b(u(0)) = 0. (3.48) Derivando u, obtemos u0(t) = ϕ−1
λH(Nf(u) − Q(Nf(u)))(t) + tϕ(bu(0)) − ϕ(u(0))
T + ϕ(u(0))
(3.49) para todo t ∈ [0, T ]. Avaliando u0 em 0, segue que u0(0) = u(0). Portanto,
Z T 0
f (t, u(t), u0(t))dt − Bϕ,b(u0(0)) = 0. (3.50) Usando a hipótese 1 acima, temos
u0m < M2 e u0M > M1. Portanto, existe ω ∈ [0, T ] tal que M1 < u0(ω) < M2. Além disso,
Rt
ω(ϕ(u0(s)))0ds = λRωtNf(u)(s)ds + (1 − λ)RωtQ(Nf(u))(s)ds para todo t ∈ [0, T ]. Logo, utilizando a condição 2, segue que
|ϕ(u0(t))| ≤ |ϕ(u0(ω))| + 2 khkL1 < L + 2 khkL1, onde L =max{|ϕ(M2)| , |ϕ(M1)|}. Por conseguinte,
ku0k∞< r1, onde r1 =max
ϕ−1(L + 2 khkL1) , ϕ −1(−L − 2 khkL1) . Usando o fato de que u0(0) = u(0), temos
|u(t)| ≤ |u(0)| +RT
0 |u0(s)| dt < r1+ r1T para todo t ∈ [0, T ]. Desse modo,
kuk1 = kuk∞+ ku0k∞< r1+ r1T + r1= r1(2 + T ) = R1.
Dado λ ∈ [0, 1], considere u ∈ C1 tal que u = Z(λ, u). Pelo Lema (3.6.4) segue que (ϕ(u0))0 = λQ(Nf(u)), RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt = ϕ(bu(0)) − ϕ(u(0)), u0(0) = u(0). Utilizando novamente a hipótese 1 acima, temos
u0m < M2 e u0M > M1.
Por conseguinte, existe τ ∈ [0, T ] tal que M1< u0(τ ) < M2. Além disso, Rt τ(ϕ(u0(s)))0ds = λRt τQ(Nf(u))(s)ds e, portanto, resulta |ϕ(u0(t))| ≤ |ϕ(u0(τ ))| + λRτtQ(Nf(u))(s)ds
para todo t ∈ [0, T ]. Logo, usando novamente a condição 2, segue que |ϕ(u0(t))| < L + khkL1. Por conseguinte, ku0k∞< r2, onde r2 = max ϕ−1(L + khkL1) , ϕ−1(−L − khkL1) . Para t ∈ [0, T ]
|u(t)| ≤ |u(0)| +RT
0 |u0(s)| dt < r2+ r2T . Em consequência,
kuk1 = kuk∞+ ku0k∞< r2+ r2T + r2= r2(2 + T ) = R2.
Definindo Ω = Bρ(0) no Teorema 3.6.6, onde ρ é um valor real positivo tal que ρ ≥max{R1, R2}, podemos estabelecer a existência de pelo menos uma solução de (3.40).
Teorema 3.6.8. Seja ϕ um homeomorfismo ímpar. Suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas.
1. Existe h ∈ C tal que
|f (t, x, y)| ≤ h(t) para todo x, y ∈ R e todo t ∈ [0, T ].
2. Para um oportuno r > 0, o grau de Brouwer
degB(G, Br(0) ∩ R2, 0) 6= 0. Então, o problema (3.40) com b = −1 tem ao menos uma solução.
Demonstração. Para λ ∈ (0, 1] e b = −1, se u ∈ C1 é uma solução do problema (3.42), então u = M (λ, u), onde M (λ, u) = Q(Nf(u)) −Bϕ,b(P u) T + Hϕ−1hϕ(P u) + λH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ΨBϕ,b(P u) T i + P (u). Como u0(0) e u0(T ) possuem sinais diferentes, existe τ ∈ [0, T ] tal que u0(τ ) = 0, que implica ϕ(u0(τ )) = 0 e ϕ(u0(t)) = Z t τ (ϕ(u0(s)))0ds = Z t τ (λNf(u) + (1 − λ)Q(Nf(u)))(s)ds. Usando a hipótese 1 acima, temos
ϕ(u0(t)) ≤ 2 khkL1 (t ∈ [0, T ]), (3.51) e, portanto, ku0k∞≤ ϕ−1(2 khkL1 ).
Avaliando a função u em 0 e considerando que ϕ é ímpar, temos que ϕ(u(0)) = −12 RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt. Utilizando novamente a hipótese 1 acima, segue que
|ϕ(u(0))| ≤ khkL1. Portanto,
|u(0)| ≤
ϕ−1(khkL1) . Daí, que para t ∈ [0, T ],
|u(t)| ≤ |u(0)| +RT
0 |u0(s)| ds ≤ ϕ−1(khkL1) + ϕ−1(2 khkL1
)T .
3.6 PROBLEMAS DO TIPO MISTO GENERALIZADO EM R 49 Assim, kuk1 = kuk∞+ ku0k∞≤ ϕ−1(khkL1) + ϕ−1(2 khkL1 )T + ϕ−1(2 khkL1 ) = r1. Seja λ ∈ [0, 1]. Se u ∈ C1 é tal que u = Z(λ, u), então usando o Lema 3.6.4 segue que
(ϕ(u0))0 = λQ(Nf(u)), RT
0 f (t, u(t), u0(t))dt = −2ϕ(u(0)), u0(0) = u(0). Portanto,
|ϕ(u(0))| ≤ khkL1, |u(0)| ≤ ϕ−1(khkL1) . Como u = Z(λ, u), então
ϕ(u0(t)) = −λt2ϕ(u(0))
T + ϕ(u(0))
para todo t ∈ [0, T ]. Logo,
|ϕ(u0(t))| ≤ 3 |ϕ(u(0))| ≤ 3 khkL1, |u0(t)| ≤ ϕ−1(3 khkL1) , e, portanto, ku0k∞≤ ϕ−1(3 khkL1) . Assim, |u(t)| ≤ |u(0)| +RT 0 |u0(s)| ds ≤ ϕ−1(khkL1) + ϕ−1(3 khkL1) T para todo t ∈ [0, T ]. Logo,
kuk1 = kuk∞+ ku0k∞≤ ϕ−1(khkL1) + ϕ−1(3 khkL1 )T + ϕ−1(3 khkL1 ) = r2.
Chamando Ω = Br(0) no Teorema 3.6.6, onde r é um valor real positivo tal que r >max{r1, r2}, podemos garantir a existência de ao menos uma solução de (3.40).
A seguir, o problema (3.40) pode ser estudado aproveitando algumas propriedades particulares do homeomorfismo ϕ.
Antes de provarmos o Teorema 3.6.10 que trata da existência de ao menos uma solução do problema (3.40), vamos estudar as seguintes aplicações.
O operador diferencial D : dom(D) ⊂ Cb1 −→ C, u 7−→ u0, onde dom(D) =u ∈ C1 b : ϕ(u0) ∈ C1 , C1 b =u ∈ C1 : u0(T ) = bu0(0), u0(0) = u(0) . O operador Dϕ:dom(Dϕ) −→ C, u 7−→ (ϕ(u))0, onde dom(Dϕ) =u ∈ C : ϕ(u) ∈ C1 .
O operador
DϕD :dom(D) −→ C, u 7−→ (ϕ(u0))0.
Se b < 0, −ϕ(·) e ϕ(b ·) são simultaneamente crescentes ou decrescentes. Por conseguinte, Bϕ,b(·) = ϕ(b ·) − ϕ(·) é injetora. Assim, o operador DϕD tem inverso que é dado por
u 7−→ H ϕ−1 h ϕ B−1ϕ,b RT 0 u(s)ds +R0tu(s)ds i + Bϕ,b−1 RT 0 u(s)ds . Portanto,
(ϕ(u0))0 = Nf(u), u0(T ) = bu0(0), u0(0) = u(0) ⇔ (DϕD)(u) = Nf(u), u ∈ dom(D)
⇔ u = (DϕD)−1Nf(u), u ∈ C1.
Γ := (DϕD)−1Nf : C1 −→dom(D). u 7−→ H ϕ−1 h ϕ B−1ϕ,b RT 0 Nf(u)(s)ds +R0tNf(u)(s)ds i + Bϕ,b−1 RT 0 Nf(u)(s)ds . Lema 3.6.9. O operador Γ é completamente contínuo.
Demonstração. Seja Λ um conjunto limitado de C1. Então, existe ρ > 0 tal que
kuk1 ≤ ρ (3.52)
para todo u ∈ Λ. Queremos mostrar que Γ(Λ) ⊂dom(D) é um conjunto compacto. Para tanto, tome (vn) uma sequência em Γ(Λ) e (un) uma sequência em Λ tal que vn = Γ(un). Da fórmula (3.52), segue que existe W > 0 tal que
kNf(un)k∞≤ W para todo n ∈ N. Daí se segue que
kH(Nf(un))k∞≤ W T .
Portanto, a sequência (H(Nf(un))) é limitada em C. Além disso, para todo n ∈ N e para t, t1 ∈ [0, T ], segue que |H(Nf(un))(t) − H(Nf(un))(t1)| ≤ Z t t1 Nf(un)(s)ds ≤ W |t − t1| ,
o que implica que a sequência (H(Nf(un))) é equicontínua. Assim, usando o Teorema Arzelà-Ascoli (Teorema 2.3.5), (H(Nf(un))) possui uma subsequência convergente em C, que vamos chamar de
H(Nf(unj)).
Então, passando a uma subsequência, se necessário, temos que a sequência ϕ Bϕ,b−1 RT 0 Nf(unj)(s)ds + H(Nf(unj))
é convergente em C. Sabendo que ϕ−1: C −→ C é contínua e que Γ(unj)0(t) = ϕ−1 h ϕ Bϕ,b−1 RT 0 Nf(unj)(s)ds +R0tNf(unj)(s)ds i
segue que a sequência (Γ(unj)0) é convergente em C e, portanto, (vnj) = (Γ(unj)) é convergente em C1. Para finalizar a prova, suponha (vn) ⊆ Γ(Λ). Seja (zn) ⊆ Γ(Λ) tal que
lim
n→∞kzn− vnk1 = 0.
Seja também (znj) uma subsequência de (zn) que converge para z. Segue que z ∈ Γ(Λ) e (vnj) converge para z. Portanto, o resultado está provado.
Vamos finalmente provar o resultado de existência que generaliza o Teorema3.6.8. Teorema 3.6.10. Seja f uma função contínua. Suponha que exista h ∈ C tal que
|f (t, x, y)| ≤ h(t)
para todo x, y ∈ R e todo t ∈ [0, T ]. Então, o problema (3.40) com b < 0 tem ao menos uma solução. Demonstração. Considerando v = Γ(u) := (DϕD)−1Nf(u), temos,
v0(T ) = bv0(0), v0(0) = v(0) e, também,
3.6 PROBLEMAS DO TIPO MISTO GENERALIZADO EM R 51
Nf(u) = (DϕD)(v) = (ϕ(v0))0.
Observando que v0(T ), v0(0) possuem sinais diferentes, existe um τ ∈ [0, T ], v0(τ ) = 0. Portanto, ϕ(v0(τ )) = 0. Assim, |ϕ(v0(t))| = Rt τ(ϕ(v0(s)))0ds ≤Rt τ|Nf(u)(s)| ds ≤RT 0 |f (s, u(s), u0(s))| ds ≤ khkL1
para todo t ∈ [0, T ]. Logo,
kv0k∞≤ L, onde L =max
ϕ−1(khkL1) , ϕ −1(− khkL1) . Usando o fato de que v0(0) = v(0), deduzimos que |v(t)| ≤ |v(0)| +Rt
0|v0(s)| ds ≤ + |v(0)| +RT
0 |v0(s)| ds ≤ L + LT (t ∈ [0, T ]), e, portanto,
kvk1 = kvk∞+ kv0k∞≤ L + LT + L = L(2 + T ).
Desta forma, Γ é uma aplicação de C1em BL(2+T )(0). Logo, pelo Teorema do ponto fixo de Schauder (Teorema (2.4.10)), Γ tem um ponto fixo, ou seja, solução de (3.40).
Provaremos o seguinte resultado que trata da existência de soluções de (3.40) com outras condições sobre f (t, x, y).
Teorema 3.6.11. Consideramos a identificação natural (a, b) ≈ a + bt de R2 com as funções afins de C1. Suponhamos que f seja uma função contínua que satisfaz as seguintes condições para um oportuno ρ > 0.
1. Existe uma função c ∈ C tal que
f (t, x, y) ≥ c(t) para todo (t, x, y) ∈ [0, T ] × R × R.
2. Existe M1< M2 tal que para toda u ∈ C1, RT 0 f (t, u(t), u0(t))dt 6= 0 se u0m ≥ M2, ou RT 0 f (t, u(t), u0(t))dt 6= 0 se u0M ≤ M1. 3. A equação G(x, y) = (0, 0) (3.53)
não tem solução em ∂Bρ(0) ∩ R2. 4. O grau de Brouwer
degB(G, Bρ(0) ∩ R2, 0) 6= 0. Então, o problema (3.40) tem uma solução para b = 1.
Demonstração. Para λ ∈ [0, 1] e b = 1, temos que o operador ponto fixo associado ao problema (3.42) é dado por
M (λ, u) = P (u) + Q(Nf(u)) + H ϕ−1[λH(Nf(u) − Q(Nf(u))) + ϕ(P u)]. Portanto, para λ ∈ [0, 1] e b = 1, se u é solução de (3.42), então
RT
Desse modo, usando a condição 2 da hipótese, temos
u0m < M2 e u0M > M1, Por conseguinte, existe um ω ∈ [0, T ] tal que M1 < u0(ω) < M2 e
Rt
ω(ϕ(u0(s)))0ds = λRt
ωNf(u)(s)ds para todo t ∈ [0, T ]. Logo,
ϕ(u0(t)) ≤ ϕ(u0(ω)) + Z T 0 f (s, u(s), u0(s)) ds ≤ ϕ(u0(ω)) + Z T 0 f (s, u(s), u0(s))ds + 2 Z T 0 c−(s)ds ≤ ϕ(u0(ω)) + 2 c− L1. Assim, |ϕ(u0(t))| < L + 2 kc−kL1, onde L =max{|ϕ(M2)| , |ϕ(M1)|}. Portanto,
ku0k∞< r, onde r =max ϕ−1(L + 2 kc−kL1) , ϕ−1(−L − 2 kc−kL1) .
Como u é tal que u0(0) = u(0), então
|u(t)| ≤ |u(0)| +RT
0 |u0(s)|ds < r + rT para todo t ∈ [0, T ]. Logo,
kuk1 = kuk∞+ u0 ∞< r + rT + r = r(2 + T ).
Portanto, (3.42) com b = 1 não tem solução em ∂Bρ(0) para todo λ ∈ [0, 1] e ρ ≥ r(2 + T ). Sejam b = 1 e (λ, u) ∈ [0, 1] × C1 tal que u = Z(λ, u). Pela avaliacão de u em 0, temos
Z T 0
f (t, u(t), u0(t))dt = 0. (3.54)
Além disso, u é uma função da forma u(t) = x + yt, y = x. Assim, por (3.54) RT
0 f (t, x + yt, y)dt = 0,
que, juntamente com a hipótese 3, implica que u = x + tx /∈ ∂Bρ(0). Portanto as condições do Teorema3.6.6 são satisfeitas, a prova está completa.
O seguinte exemplo é uma aplicacão do Teorema 3.6.11. Exemplo 3.6.12. Vamos considerar o problema
(u0)30 = e
u0
2 − 1, u(0) = u
0(0) = u0(T ). (3.55)
Para M1 = −1, M2 = 1 e c(t) = −1 para todo t ∈ [0, T ]. O problema (3.55) tem ao menos uma solucão para ρ ≥ (1 + 2T )1/3(2 + T ).
Capítulo 4
Problemas em dimensão infinita
O objetivo deste capítulo é o estudo de alguns problemas não lineares de equações diferenciais em espaços de Banach, com condições de contorno. Precisamente, consideramos problemas do tipo
(
(ϕ(u0))0= f (t, u, u0) l(u, u0) = 0.
Se trata de problemas análogos aos do capítulo anterior só que desta vez são estudados em espaços de Banach. Estamos interessados em determinar condições que garantem existência de soluções dos problemas do tipo acima, com diferentes hipóteses sobre ϕ e f e várias condições de con-torno l(u, u0) = 0. Analogamente ao capítulo anterior, também aqui a abordagem aos problemas é topológica, baseada principalmente no uso dos graus de Leray-Schauder e Nussbaum.
Apresentamos quatro seções. Na primeira introduzimos alguns conceitos e notações básicas. Na segunda seção, estudamos problemas de valor na fronteira do tipo misto com ϕ : X −→ X um home-omorfismo, X sendo um espaço de Banach. Posteriormente, abordamos problemas com condições de Dirichlet. Finalmente, na última seção provamos a existência de soluções para outros sistemas com condições de contorno do tipo misto. Não encontramos na literatura vários dos resultados obtidos neste capítulo.
4.1 Notações Básicas
Usando a notação dada em [19], consideramos (X, k·k) o espaço de Banach real e T um valor real positivo fixo. Denotamos a norma usual em L1 = L1X([0, T ]) por k·kL1. Por C = CX([0, T ]) indicamos o espaço de Banach das funções contínuas sobre [0, T ] com valores em X, dotado da norma uniforme k·k∞, por C1 = C1
X([0, T ]) o espaço de Banach das funções contínuamente diferenciáveis sobre [0, T ] com a norma usual kuk1 =max{kuk∞, ku0k∞}. Consideramos também as seguintes aplicações: o operador de Nemytskii Nf : C1 −→ C, Nf(u)(t) = f (t, u(t), u0(t)), o operador integração H : C −→ C1, H(u)(t) =Rt 0u(s)ds, as seguintes aplicações lineares contínuas:
K : C −→ C1, K(u)(t) = −RtT u(s)ds, Q : C −→ C, Q(u)(t) = T1 RT 0 u(s)ds, S : C −→ C, S(u)(t) = u(T ), P : C −→ C, P (u)(t) = u(0). 53