Mostramos que os problemas DHSP e PDHSP admitem provas de conhecimento zero.
Para isso adaptamos as demonstrações dos problemas GIP e RG das Seções 3.8.7 e 3.8.3, respectivamente. Além disso, usamos algumas ideias da Seção 4.2.2 para mostrar uma redução mais precisa, que dispensa o uso do procedimento de amostragem descrito na Seção 2.2.1.
Apresentamos primeiro o resultado para DHSP, no Teorema 5.6.1 Teorema 5.6.1. DHSP∈HVPZK.
Demonstração. Seja δ uma constante pequena o suficiente porém estritamente maior que0.
Mostramos um protocolo interativo para DHSP e então provamos que esse protocolo obedece às condições necessárias para garantir o resultado.
Protocolo 26para DHSP - ambosP eV recebem como entrada(0n, T, f), onde nidentifica o grupoBn, T ⊆ Bn é um conjunto gerador para o grupo G e f : G → X é uma função computável em tempo polinomial que oculta um subgrupoH emG.
1: V: Usando a Afirmação 4.6.6, amostra um elementog ∈ Galeatório dentro de um fator 1 +δ, computay=f(g)e enviayparaP.
2: P: Computa o valor dehtal quey=f(h)e enviahparaV.
3: V: Aceita se e somente seh=g.
Integralidade: seja(0n, T, f)uma instância tal que|H|= 1. Note que nesse caso para qualquer valor dexda imagem def há apenas uma pré-imagemf−1(x)emG. Isso ocorre pois, comof ocultaH eH ={1}, temos quef(g) = f(h)se e somente se as coclassesg{1}eh{1} coincidirem, o que ocorre se e somente seg =h. Quando ambosP eV seguem o protocolo apresentado, temos queP sempre consegue encontrar o valor deh=g, o que fazV aceitar com probabilidade1.
Corretude: seja(0n, T, f)uma instância tal que|H| ≥2. Nesse caso não há um único valor deg tal quef(g) =y, justamente porque as coclasses deHemGtem ordem pelo menos 2. Assim, mesmo que uma estratégia de provaP∗ encontre um valorhtal quef(h) = y, há probabilidade pelo menos1/2de queh=g, e nesse casoV rejeita.
Conhecimento Zero Perfeito para Verificadores Honestos: seja(0n, T, f)uma instância tal que|H|= 1. Definimos o simuladorSpara a visão deV do protocolo(P, V)(0n, T, f).
Simulador 27 para GS - a entrada é composta por (0n, T, f), onde n identifica o grupoBn, T ⊆ Bné um conjunto gerador para o grupo Gef : G → X é uma função computável em tempo polinomial que oculta um subgrupoHemG.
1: Usando a Afirmação 4.6.6, amostra um elementogs ∈Galeatório dentro de um fator1 +δ.
2: Fazys =f(gs)ehs=gs.
3: Responde(ys, hs;gs).
Resta mostrar que a resposta(ys, hs;gs)do simuladorS é identicamente distribuída à visão(y, h;g) de V do protocolo (P, V)(0n, T, f). Na primeira mensagem o processo de obtenção deys é idêntico ao processo dey, desde que ambosS eV utilizem o mesmo valor deδ. Isso também indica que as distribuições de g egssão idênticas. Por último, como nas instâncias sim sempre temos queh=g, concluímos que as distribuições dehsehtambém são idênticas.
Note que comoHVPZK∈SZK,SZKé fechada sob complemento e DHSP generaliza alguns problemas em grupos, obtemos os Corolários 5.6.2 e 5.6.3.
Corolário 5.6.2. GS∈SZKe GS ∈SZK.
Corolário 5.6.3. Os problemas GS e GIP estão emHVPZKe seus complementos estão emSZK.
Agora apresentamos no Teorema 5.6.4 o resultado para PDHSP. De maneira semelhante aos problemas RG e NPF mostramos uma redução de PDHSP para o problema EA, que é completo paraNISZK, usando o Lema 3.6.7.
Teorema 5.6.4. PDHSP∈NISZK.
Demonstração. Seja(T, x, f)uma instância de PDHSP ondeT ⊆Sn,G=Tef :G→Y é uma função computável em tempo polinomial que oculta o subgrupoHemG. Note que, mesmo Gsendo um grupo simétrico, não segue que é possível amostrar elementos uniformes deGde maneira exata em tempo polinomial quando assumimos que essa amostragem deve ser feita a partir de bits aleatórios. Mesmo assim podemos realizar essa amostragem de maneira quase uniforme. SejaRG,δ a variável aleatória que amostraGde maneira uniforme a partir de strings de tamanho{0,1}poli(n)e dentro de um fator1 +δ, para um valor constante deδa ser definido.
Construa o circuitoCf,δ que amostra uma permutaçãoπdeRG,δ e tem como saídaf(π).
Seja t = |G|, note que é possível computar o valor de tem tempo polinomial, pois Gé um grupo simétrico. Se|H|= 1, entãoH(Cf,δ)≥ logt−log (1 +δ). Por outro lado, se
|H| ≥ 2, entãoH(Cf,δ) ≤ log (t/2) + log (1 +δ) = logt+ log (1 +δ)−1. Assim, fazendo X = Cf,δ,t1 = logt−log (1 +δ)e t2 = logt+ log (1 +δ)−1 no Lema 3.4.7, temos que PDHSP ≤p EA contanto queδ seja uma constante tal que 2 log (1 +δ) < 1. Essa constante existe e então PDHSP∈NISZK.
6 Considerações Finais
Neste trabalho ajudamos a classificar a complexidade relativa de vários problemas candidatos aNP-intermediários. Para isso, estudamos classes de complexidade relacionadas a provas de conhecimento zero e mostramos provas de conhecimento zero para vários problemas computacionais, inclusive para versões de decisão do Problema do Subgrupo Oculto, um resultado original. Além disso, estudamos técnicas de redução para o problema candidato a NP-intermediário MKTP e mostramos reduções originais de alguns problemas candidatos a NP-intermediários para MKTP usando as técnicas estudadas. Dentre estes problemas destacamos o Problema do Subgrupo Oculto e os problemas de Equivalência de Grupos e Equivalência de Grupos Simétricos.
As reduções mais fortes para MKTP são condicionadas à existência de um superestimador PAC para o logaritmo da ordem de um grupo de caixa-preta, com desvio constante e computável emZPPMKTP. Mostramos na Seção 5.5 dois resultados relacionados a essa questão. Ainda assim ambos os resultados são condicionais, dependendo ou da estrutura do grupo ou de informações adicionais sobre esse. Nesse caso, mostrar a existência de um superestimador deste tipo é um problema em aberto importante para tornar essas reduções incondicionais.
Dadas as relações conjecturadas entre classes de complexidade determinísticas e probabi-lísticas, é natural perguntar se existem reduções determinísticas dos problemas considerados neste trabalho para MKTP. Para mostrar reduções deste tipo, porém, provavelmente seria necessário utilizar outras técnicas de redução, pois todas as técnicas estudadas neste documento permitem apenas mostrar reduções aleatorizadas.
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Apêndice A: Demonstrações das Proposições
A.1 Probabilidade e Estatística
Proposição 2.1.3. [Vad99] SejamXeY distribuições de probabilidade (ou variáveis aleatórias) em um espaço amostralU, seja SX = {x ∈ U : Pr[X = x] > Pr[Y = x]} , defina SY de maneira análoga, então
Δ(X, Y) = Pr[X ∈SX]−Pr[Y ∈SX] = Pr[Y ∈SY]−Pr[X ∈SY].
Demonstração. Definimosδ(S) = Pr[X ∈S]−Pr[Y ∈S], e temos queδ(S)cresce conforme são adicionados elementos deSX a S e decresce quando são adicionados elementos de SY. Assim, o valor máximo positivo paraδ(S)ocorre quandoS =SX e o valor mínimo negativo ocorre quandoS = SY. Os valores máximo positivo e mínimo negativo devem ter a mesma magnitude poisδ
S
=−δ(S). Então, Δ(X, Y) = max
S |δ(S)|
= Pr[X ∈SX]−Pr[Y ∈SX]
= Pr[Y ∈SY]−Pr[X ∈SY]
A.2 Teoria Algorítmica da Informação
Proposição 2.3.2. [LV97] Sejak ∈ N. Todo conjunto finito Ade cardinalidade mtem pelo menosm(1−2−k) + 1elementosxtais queK(x)≥logm−k.
Demonstração. O número de descriçõesdde tamanho menor quelogm−ké
logm−k−1 i=0
2i = 2logm−k−1.
Assim, devem existem pelo menosm-m2−k+ 1elementos emAque não possuem descrição de tamanho menor quelogm−k.
A.3 Teoria de Grupos e Permutações
Proposição 2.4.6. SX forma um grupo junto da operação de composição de funções◦.
Demonstração. SejaXum conjunto qualquer, provamos as condições para que(SX,◦)seja um grupo.
1. Associatividade: sejamf,g ehpermutações emX, temos para todox∈X:
f◦(g◦h)(x) =f ◦g(h(x)) = f(g(h(x))), e também
(f ◦g)◦h(x) =f(g ◦h(x)) = f(g(h(x))), logof◦(g◦h) = (f ◦g)◦h.
2. Identidade: seja1X a permutação que mapeia cada elemento deX para si próprio, tal que1X(x) = xpara todox∈X, temos para todof ∈Sne para todox∈X,
1X ◦f(x) = 1X(f(x)) =f(x).
Logo1X ◦f =f.
3. Inverso: sejaf uma permutação emXef−1a função inversa def (que existe poisf é uma bijeção), temos para todof ∈Sne para todox∈X,
f−1◦f(x) = f−1(f(x)) = x, logof−1◦f(x) = 1X.
Proposição 2.4.13. SejaGum grupo finito ea∈G, entãoak = 1para algum inteirok≥1.
Demonstração. ComoGé finito, deve haver alguma repetição na sequência1, a, a2, . . . an, . . ., então existem inteirosm > ncom am =an. Multiplicando ambos os lados à direita pora−n, obtemosama−n= 1 =am−n. Logo existe um expoente positivok tal queak= 1.
A.3.1 Subgrupos e o Teorema de Lagrange
Proposição 2.4.21. A intersecção
i∈IHi de qualquer família de subgrupos de um grupoGé também um subgrupo deG. Em particular, seH eK são subgrupos deG, entãoH∩K é um subgrupo deG.
Demonstração. Seja D =
i∈IHi. Mostramos que D é um subgrupo verificando as três condições:
1. Identidade: 1∈Dpois como cadaHi é um subgrupo deG,1∈Hipara todoi.
2. Fechamento: Sex, y ∈D, então ambosxeyestão em todos osHi, e logoxytambém está em todos osHi, logoxy ∈D.
3. Inverso: Sex∈D, entãox∈Hi para todoi, e nesse casox−1 ∈Hipara todoi, logo x−1 ∈D.
Proposição 2.4.22. SejaXum subconjunto de um grupoG, então existe um subgrupo deG, que denotamos porX, que contémXe é omenorno sentido de queX ≤Hpara todo subgrupo H≤Gque contémX.
Demonstração. Primeiro, observamos que existem subgrupos deG que contém X, como o próprioG. DefinaX=
X⊆HH, a intersecção de todos os subgruposH ≤Gque contémX.
Pela proposição anterior,Xé um subgrupo deGque contémX pois todoHcontémX. Por último, seHé um subgrupo contendoX, entãoHé um dos subgrupos cuja intersecção resulta emX, e logoX ≤H.
Proposição 2.4.24. SejaXum subconjunto não vazio de um grupoG, entãoXé o conjunto de todas as palavras emX.
Demonstração. Começamos mostrando queW, o conjunto de todas as palavras emX, é um sub-grupo deG. Pela definição,1∈W. Sew, u∈W, entãow=xe11xe22. . . xenn eu=y1f1yf22. . . ymfm ondexi, yj ∈Xeei, fj ∈ {1,−1}para todoi, j. Logo,wu=xe11xe22. . . xennyf11y2f2. . . yfmm, que é uma palavra emX, e logo pertence aW. Por último,w−1 =x−nenx−n−en−11 . . . x−1e1 ∈W, portanto W é um subgrupo deGque contém todos os elementos deX. Concluímos queX ≤W.
Para a volta, mostramos que seS é um subgrupo deGcontendoX, entãoS contém todas as palavras deW. ComoSé um subgrupo,Scontémxf sempre quex∈Xef ∈ {1,−1}, e também contém todos os produtos entre esses elementos. Então W ⊆ S para todo S, e W ≤
S =X.
Proposição 2.4.27. (Fórmula do Produto)SejamGeHdois subgrupos de um grupo em comum.
Então|GH|=|G||H|/|G∩H|.
Demonstração. Considere a funçãof :G×H →GH definida porf(g, h) =gh. Claramente essa função é sobrejetora. Resta mostrar que para todox∈GH existem exatamente|G∩H|pré imagens emG×H, ou seja, que|f−1(x)|=|G∩H|. Afirmamos que casox=gh, então
f−1(x) = {(gd, d−1h)|d∈G∩H}.
É fácil ver que{(gd, d−1h) | d ∈ G∩H} ⊆ f−1(x), poisf(gd, d−1h) = gdd−1h = gh = x.
Para a outra inclusão, sejag2h2 ∈f−1(x)tal que g2h2 = gh. Entãog−1g2 =hh−21 ∈ G∩H,
pois g−1g2 ∈ Ge hh−21 ∈ H. Chamamos esse elemento ded. Então g2 = gd eh2 = d−1h, concluindo quef−1(x) ⊆ {(gd, d−1h) |d ∈ G∩H}. Como a funçãod →(gd, d−1h)é uma bijeção, temos que|f−1(x)|=|G∩H|.
Proposição 2.4.29. SeHé um subgrupo de um grupoG, então a relação emG, definida por a≡bsea−1b ∈H,
é uma relação de equivalência emG.
Demonstração. Provamos as propriedades para que a relação≡seja uma relação de equivalência:
• Sea∈G, entãoa−1a= 1 ∈H, entãoa≡a, logo,≡é reflexiva.
• Se a ≡ b, entãoa−1b ∈ H; como subgrupos são fechados sob inversos, (a−1b)−1 = b−1a ∈Heb ≡a, logo,≡é simétrica.
• Por último, sea≡beb ≡c, entãoa−1b, b−1c∈H; como subgrupos são fechados sob multiplicação,(a−1b)(b−1c) =a−1c∈Hea≡c, logo,≡é transitiva.
Concluímos então que≡é uma relação de equivalência.
A.3.2 Homomorfismos e Isomorfismos
Proposição 2.4.34. SejamXeY dois conjuntos quaisquer, se existe uma bijeçãof entreXeY entãoSX eSY são isomorfos.
Demonstração. Sejaf :X →Y a bijeção do enunciado da proposição, definimos a seguinte funçãoφ : SX → SY tal que φ(α) = f ◦α◦f−1 para todoα ∈ SX. Note que φ(α)é uma bijeção pois é composição de três bijeções. Mostramos queφé um homomorfismo, para todos α, β ∈SX temos
φ(α)◦φ(β) =f ◦α◦f−1◦f◦β◦f−1 =f ◦(α◦β)◦f−1 =φ(α◦β).
É fácil ver queφé injetora pela lei do cancelamento, e como|SX|=|SY|,φé bijetora.
Proposição 2.4.35. Sejaf :G→Hum homomorfismo.
1. f(1) = 1;
2. f(x−1) =f(x)−1 para todox∈G;
3. f(xn) = f(x)npara todox∈Gen ∈Z.
Demonstração. Provamos cada afirmação separadamente.
1. Aplicamosfà equação1·1 = 1emGe obtemosf(1)f(1) =f(1)emH. Multiplicando ambos os lados porf(1)−1obtemos o resultado.
2. Aplicamosf à equaçãox−1x= 1emGe obtemosf(x−1)f(x) = 1emH. Multipli-cando ambos os lados à direita porf(x)−1obtemos o resultado.
3. É fácil demonstrar por indução o resultado para expoentes não negativos. para expoentes negativos, temos(y−1)n=y−npara todoyem um grupo, e então
f(x−n) =f((x−1)n) =f((x−1))n = (f(x)−1)n=f(x)−n.
Proposição 2.4.38. SejaGum grupo eg ∈G, a conjugaçãoγg :G→Gé um isomorfismo.
Demonstração. Primeiro provamos que cadaγg é uma bijeção. SejaGum grupo eg, h ∈G, então:
(γg◦γh)(a) = (γg)(hah−1) =g(hah−1)g−1 = (gh)a(gh)−1 =γgh;
ou seja,γg◦γh =γgh. Segue que todoγg é uma bijeção, pois admite função inversaγg−1 (já queγg◦γg−1 = γgg−1 = γ1 =γg−1 ◦γg). Mostramos agora queγg é um isomorfismo, sejam a, b∈G,
γg(ab) = g(ab)g−1 = (gag−1)(gbg−1) =γg(a)γg(b).
A.3.3 Ações de Grupo
Proposição 2.4.40. Sejaα:G×X →X uma ação de um grupoGem um conjuntoX, então g →αgdefine um homomorfismoG→SX. Por outro lado, seB :G→SXé um homomorfismo, entãoβ :G×X→X definida porβ(g, x) = B(g)(x)é uma ação (lembrando que o resultado deB(g)é uma permutação dos elementos deX).
Demonstração. Sejaα :G×X →Xuma ação de grupo, então argumentamos que cadaαgé uma permutação dos elementos deX. De fato, seu inverso éαg−1, pois pelos axiomas de ação de grupo,αgαg−1 =αgg−1 = 1X. Segue queA :G→SX, definida porA(g) =αg é uma função que mapeia elementos degpara permutações emX. O fato de queAé um homomorfismo segue do primeiro axioma de ação de grupo:
A(gh) =αgh =αg◦αh =A(g)◦A(h).
Para a outra parte, seja B : G → SX um homomorfismo e β : G×X → X definida por β(g, x) = B(g)(x), mostramos que β respeita as condições para ser uma ação de grupo.
Lembramos queβg =B(g), então temos
βg◦βh =B(g)◦B(h) =B(gh) = βgh,
e além dissoβ1 =B(1) = 1X pois todo homomorfismo mapeia a identidade de um grupo para a identidade do outro.
Proposição 2.4.41. SejaGum grupo, entãoGage sobre si mesmo sob a operação de conjugação.
Demonstração. Para g ∈ G, definimosαg : G → G por αg(x) = gxg−1, temos então, para todosg, h∈G
(αg◦αh)(x) = αg(αh(x)) =αg(hxh−1) =g(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1 =αgh(x), que implica emαg ◦αh =αgh, e também
α1(x) = 1x1−1 =x para todox∈G, que implica emα1 = 1G.
Proposição 2.4.42. SejaG≤SX, entãoGage sobreXsob a aplicaçãof(x)da permutação f ∈Gemx∈X.
Demonstração. Sejaα:G×X →Xa função definida porαf(x) = α(f, x) = f(x), mostramos queαé uma ação de grupo. Para todosg, h∈Gex∈X, temos
(αg◦αh)(x) =αg(αh(x)) =g(h(x)) = (g◦h)(x) = αgh(x), Que implica emαg◦αh =αgh. Também temos por definição queα1 = 1X.
Proposição 2.4.44. SejaGum grupo que age no conjuntoX. As diferentes órbitas desta ação formam uma partição deX.
Demonstração. Mostramos que órbitas diferentes em um grupo são disjuntas provando que duas órbitas com intersecção não vazia devem coincidir. Suponha que existemx, y ∈Xtal que ambos Orb(x)eOrb(y)possuam um elemento em comumz. Ou seja,z =g1xez =g2y. Mostramos queOrb(x)⊆Orb(y), a inclusão reversa pode ser mostrada trocando os papéis dexey.
Para qualquer ponto u ∈ Orb(x), temos que u = gx para algum g ∈ G. Como x=g1−1z, temos
u=g(g−11z) = (gg1−1)z= (gg1−1)(g2y) = (gg1−1g2)y,
que mostra queu∈Orb(y)e logoOrb(x)⊆Orb(y).
Para completar a demonstração, basta observar que não há nenhum elemento deXque não esteja em nenhuma órbita, pois sempre é o caso quex∈Orb(x), já que1x=x.
A.4 Teoria de Grafos
A.4.1 Problemas Computacionais de Isomorfismo de Grafos
Proposição 2.5.2. O conjunto de todos os automorfismos de um grafoG, denominadoAut(G), forma um grupo sob a operação de composição de funções.
Demonstração. SejaGum grafo eAut(G)o conjunto de todos os seus automorfismos. Como indicado anteriormente, temosAut(G)⊆Sn, e pela Afirmação 2.4.17 só precisamos mostrar queAut(G)é fechada sob a operação de composição de funções.
Sejamf, g ∈Aut(G). Nesse caso temos que{u, v} ∈E(G)↔ {f(u), f(v)} ∈E(G), e o mesmo parag. Queremos mostrar quef◦gtambém possui essa propriedade. Observamos o caso em que{u, v} ∈E(G), o caso contrário é completamente análogo. Nesse caso temos, por definição
{g(u), g(v)} ∈E(G), e como consequência
{f(g(u)), f(g(v))} ∈E(G), como esperado.
Proposição 2.5.3. Da forma como foi definida,αé uma ação de grupo deSnemE(Gn).
Demonstração. Provamos as condições para queαseja uma ação de grupo.
1. Para todosf, g∈SneE(G)∈E(Gn), temos
αf(αg(E(G))) =αf({{g(u), g(v)} | {u, v} ∈E(G)})
={{f(g(u)), f(g(v))} | {u, v} ∈E(G)}
=αf g(E(G)).
2. Para todoE(G)∈E(Gn)temos
α1n(E(G)) ={{1n(u),1n(v)} | {u, v} ∈E(G)}
={{u, v)} | {u, v} ∈E(G)}
= (E(G)).
Proposição 2.5.4. O número de grafos isomorfos a um grafo G com n vértices é dado por n!/|Aut(G)|. Além disso, o número de permutações emSnque mapeiamGpara qualquer outro grafoH ∼=Gé o mesmo para todoH.
Demonstração. Esse resultado segue da aplicação do teorema órbita-estabilizador, Sabemos que o número de grafos isomorfos aGé dado por|Orb(G)|, temos:
|Orb(G)|=|Sn|/|Aut(G)|=n!/|Aut(G)|.
Ainda em relação ao teorema órbita-estabilizador, em sua demonstração é definida uma bijeção entre as coclasses de Stab(G) em Sn e Orb(G). Nessa bijeção, associamos uma coclasse πStab(G)justamente com o grafoH tal queπ(G) =H, e quando há outra permutaçãoτ tal que τ(G) =H, ambosπeτ estão na mesma coclasse (πStab(G) =τStab(G)). O resultado segue do fato de que todas as coclasses deStab(G)emSntêm o mesmo número de elementos.
Proposição 2.5.5. SejamGe H dois grafos de n vértices tais que G ∼= H. O conjunto dos grafos isomorfos aGé o mesmo dos grafos isomorfos aH.
Demonstração. Provamos que, sob a ação α, temos Orb(G) = Orb(H). Seja π ∈ Sn tal queπ(G) = H. Perceba que H ∈ Orb(G)pois π(G) = H. Além disso, temos trivialmente H∈Orb(H), logo, comoOrb(G)∩Orb(H)=∅, concluímosOrb(G) = Orb(H).
A.5 Teoria de Números
A.5.1 Grupo Multiplicativo dos Inteiros Módulo N
Proposição 2.6.2. O conjuntoZ∗N forma um grupo abeliano sob a operação de multiplicação móduloN.
Demonstração. Demonstramos as condições que garantem que o conjunto e a operação formam um grupo:
1. Associatividade e comutatividade: ambas essas propriedades seguem diretamente da operação escolhida, a de multiplicação modular.
2. Identidade: todo conjuntoZ∗N possui o número1como integrante, poismdc(1, N) = 1 para todoN. Claramente1x≡x (mod N)para todoN ex∈Z∗N.
2. Identidade: todo conjuntoZ∗N possui o número1como integrante, poismdc(1, N) = 1 para todoN. Claramente1x≡x (mod N)para todoN ex∈Z∗N.