Problemas Propostos e Resolvidos

1. Numa Escola Secundaria organiza-se um campeonato de Futsal entre as 7 turmas do 11o _{ano. Cada turma deve jogar uma unica}

vez com cada uma das outras. A certa altura sabe-se que: a turma A ja fez 6 jogos; a B fez 5 jogos; a C e a D zerem 3 jogos cada uma; a E e a F zeram 2 jogos cada uma e a G ainda so fez 1 jogo. Sera possvel saber que jogos fez a turma C? E quantos jogos faltam ainda fazer ao todo?

Resoluc~ao: Considerando as turmas como elementos do con- junto dos vertices, tracando uma aresta caso as turmas ja tenham jogado, obtemos grafo da gura 5.1. Analisando o grafo veremos que, a turma C ja fez 3 jogos (jogou com A, B e D). O grafo tem 11 arestas que e o total de jogos ent~ao realizados. Sabendo que cada turma deve jogar uma unica vez com as outras (cada uma realizara 6 jogos), faz com que no nal do campeonato tenhamos um grafo completo de ordem 7, pelo que o total de jogos seria

7  6

2 = 21, fazendo 21 11 encontramos o numero de jogos por realizar.

Figura 5.1:

Outra via: Representemos o grafo pela sua matriz de adjac^encia. Cada la da matriz representa uma turma respeitando a ordem al- fabetica (1a _{la turma A, 2}a _{la turma B, ...).}

A = 0 B B B B B B B B B B B B @ 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 C C C C C C C C C C C C A

A soma dos elementos da 3a _{la da matriz e 3, grau do vertice}

C, o que quer dizer que a turma C ja fez 3 jogos. Para saber que jogos ja fez vamos analisar os elementos iguais a 1 na 3a _linha

(representa os jogos realizados pela turma C): a31 = 1 quer dizer

que a turma C ja jogou com A; a32 = 1, jogou com B; a34 = 1,

jogou com D. Para determinar os jogos que faltam faz-se o mesmo processo que na primeira resoluc~ao.

2. Perguntou-se a seis pessoas de um grupo de quem elas gostavam dentro do grupo. Representamos as pessoas pelas letras p, q, r, s, t e u. Com as respostas preenchemos o quadro:

Pessoas Gosta de p q, r, t, u q p, t r p, u s p t p, q, u u p

Estude as relac~oes entre estas pessoas descobrindo: (a) Quem e a mais popular.

(b) Quem e a menos popular.

(c) Um grupo de verdadeiros amigos.(Cada elemento do grupo e amigo dos restantes).

Sugest~ao:Esta situac~ao pode ser estudada considerando as pes- soas como elementos do conjunto dos vertices, um arco entre elas caso uma respondeu a outra como amigo.

3. Nas ilhas de Cabo Verde, a ag^encia NITOUR disp~oe de um plano de viagens que une directamente as 10 ilhas do arquipelago. Os navios n~ao efectuam paragens intermedias.

Utilizando a matriz de adjac^encia, descreve-se no quadro as linhas e sentidos em que o servico operado.

A B C D E F G H I J A 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 E 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 H 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 I 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 J 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

(a) ) Para que ilhas se pode deslocar um passageiro que esteja no local F ?

(b) Para ir de C para H qual e o numero mnimo de navios que um passageiro deve usar?

(c) O sistema garante o transporte de passageiros entre qualquer par de ilhas?

(d) Caso a resposta tenha sido n~ao apresente uma soluc~ao, in- serindo novos percursos, que permita o transporte de pas- sageiros entre qualquer par de ilhas. (Isto e, acrescente arcos de modo a transforma-lo num digrafo fortemente conexo). 4. Considere os seguintes conjuntos A = fa; bg, B = fc; dg,

C = fe; fg, efectue a seguinte operac~ao A  B  C, utilizando conceitos da teoria dos grafos.

5. Uma mulher deve transportar um le~ao, uma raposa e um coelho de uma margem a outra de um rio, em um barco que so cabe a mulher e mais um dos animais. Se o le~ao e a raposa, ou a raposa e o coelho, carem na margem oposta em que estiver a mulher, em dado instante, o primeiro come o segundo. Construa um grafo, e mostre todas as formas de cruzar o rio com seguranca para a

raposa e o coelho.

Resoluc~ao: Criemos um vertice para cada congurac~ao segura (aquela em que ninguem come ninguem) possvel, e uma aresta entre dois vertices se a congurac~ao representada por um puder ser obtida daquela representada pelo outro cruzando-se o rio. Os animais est~ao todos num lado A do rio. Representemos a viagem do lado A para B pelo arco azul, e o regresso a A por vermelho. Observando a gura 5.2 podemos ver que inicialmente

Figura 5.2:

a mulher so pode levar a raposa para o lado B, pois se zer outra escolha deixara ou o le~ao e raposa, ou raposa e coelho do lado oposto e o primeiro comera o segundo. Regressando sozinha no barco vai encontrar o coelho e o le~ao, aqui ela tanto pode levar o coelho como o le~ao. Optando por levar o coelho, ao chegar na margem B, cara com coelho e raposa. Forcosamente tera que levar a raposa para o lado A pois, se deixar os dois para ir buscar o le~ao a raposa comera o coelho. Levando a raposa e trazendo o le~ao, teremos o coelho e le~ao no lado pretendido B, assim ira

sozinha buscar a raposa no lado A. Esta e uma forma segura de cruzar o rio com animais.

6. Um certo jogo de dois jogadores comeca com uma pilha vazia. Os jogadores se alternam colocando 1, 2 ou 3 moedas de 1 centavo na pilha. O vencedor sera aquele que colocar o decimo sexto centavo. Sugest~ao: Descreva o jogo em termos de grafos direccionados, mostrando que o segundo jogador tem uma estrategia vencedora. 7. Uma rede rodoviaria entre seis povoac~oes, A, B, C, D, E e F, e

constituda por oito estradas como descrito a seguir: entre A e B com 30Km; entre A e C com 22Km; entre A e D com 30Km; entre B e E com 20Km; entre C e E com 12Km; entre C e D com 36Km; entre E e F com 40Km; entre D e F com 18Km. Represente esta rede rodoviaria por um grafo com pesos. Em seguida aplique o algoritmo de Dijkstra ao grafo para determinar o percurso mais curto da povoac~ao D para a povoac~ao B, bem como a respectiva dist^ancia.

8. Prove que sim ou que n~ao:

(a) E possvel ter um grupo de 9 pessoas, cada uma das quais conhece exactamente 5 das outras.

(b) Em qualquer grupo, o numero de pessoas n~ao apertaram as m~aos de um numero mpar de pessoas do grupo e par. (c) O numero de todos os seres humanos (vivos e mortos) que se

casaram um numero mpar de vezes e par.

(d) Em qualquer livraria, o numero de livros com um numero mpar de paginas e par.

Sugest~ao:Lembre-se que

{ em qualquer grafo a soma do grau de todos os vertices e par. { o numero de vertices de grau mpar e par.

9. Numa cidade do interior, o prefeito, preocupado com a assist^encia a saude da populac~ao, deseja construir um Pronto Socorro equipado

com ambul^ancias para buscar os pacientes em caso de emerg^encia. Considere A, B, C, D, E, F, G e H como os bairros da cidade que dever~ao ser atendidos pelas ambul^ancias e os caminhos entre os bairros descritos da seguinte forma:

entre A e B com 3 km de distancia; A e D com 9 km de distancia; A e H com 6 km de distancia; B e C com 2 km de distancia; B e D com 5 km de distancia; B e H com 8 km de distancia; C e D com 1 km de distancia; D e F com 3 km de distancia; D e G com 7 km de distancia; E e F com 4 km de distancia; F e G com 9 km de distancia; G e H com 5 km de distancia;

Represente esta situac~ao por um grafo e, determine qual seria o ponto adequado para a instalac~ao do Pronto Socorro na cidade de tal forma que, a dist^ancia percorrida a partir deste pronto socorro ate um bairro, seja mnima?

Resoluc~ao:

A situac~ao pode ser modelada como mostra a gura 5.3.

Figura 5.3:

Pela matriz de custo e possvel descobrir a localizac~ao do centro de emerg^encia (dm e a dist^ancia maxima entre os vertices)

A B C D E F G H dm A 0 3 5 6 13 9 11 6 13 B 3 0 2 3 10 6 10 8 10 C 5 2 0 1 7 4 8 10 10 D 6 8 1 0 7 3 7 12 12 E 13 10 7 7 0 4 13 17 17 F 9 6 4 3 4 0 9 14 14 G 11 10 8 7 13 9 0 5 11 H 6 8 10 12 17 14 5 0 17

De acordo com a matriz de custo camos a saber que os possveis pontos para a instalac~ao do centro de emerg^encia, s~ao B e C, isto e, tanto B como C t^em as menores dist^ancias entre os restantes.