ponto P de um corpo material em aço (λ=120GPa, µ=80GPa) é dado pelas seguintes componentes cartesianas:
εxx = 350 ; εyy = 500; εzz = 250 (x10-6)
γyz= 100 ; γxz = 500 ; γxy = 400 (x10-6) γzy = 800x10-6
Determine o correspondente estado de tensão no ponto P.
Solução:
σxx=188 ; σyy=212 ; σzz=172 (MPa);
τyz=8 ; τxz=40 ; τxy=32 (MPa).
3.3.2. O estado de tensão num ponto P
de um corpo material em aço (λ=120Gpa , µ=80Gpa) é dado pelas seguintes componentes cartesianas:
σxx=100 ; σyy=150 ; σzz=50 (MPa);
τyz=75 ; τxz=35 ; τxy=45 (MPa).
Determine o correspondente estado de deformação no ponto P.
Solução:
εxx = 192 ; εyy = 505; εzz = −120 (x10-6)
γyz= 938 ; γxz = 438 ; γxy = 563 (x10-6).
3.3.3. O estado de deformação num
ponto P de um corpo material em latão (E=100GPa, ν=0,3) é dado pelas seguintes componentes cartesianas:
εxx = 300 ; εyy = −150; εzz = 300 (x10-6)
γyz= −150 ; γxz = 300 ; γxy = −150 (x10-6) γzy = 800x10-6
Determine o correspondente estado de tensão no ponto P.
Solução:
σxx=28,9 ; σyy= −40,4 ; σzz= −63,5 (MPa);
τyz= −11,5 ; τxz=23,1 ; τxy= −12,4 (MPa).
3.3.4. O estado de tensão num
determinado ponto P de um corpo material em latão (E = 100GPa, ν = 0,34) é dado pelas seguintes componentes cartesianas:
σxx= 80 ; σyy= 60 ; σzz= −40 (MPa);
τyz= 40 ; τxz= −60 ; τxy= 40 (MPa).
Determine o correspondente estado de deformação no ponto P.
Solução:
εxx= 732 ; εyy= 464; εzz= −876 (x10-6)
γyz= 1072 ; γxz= −1608 ; γxy= 1072 (x10-6).
3.3.5. Determine a variação de volume
de uma esfera em aço (λ=120GPa, µ=80GPa) com 2m de diâmetro, quando sujeita a uma pressão hidrostática de 1GPa. Solução: ∆V = 0,0242m3.
3.3.6. Determine a variação de volume
de um cubo maciço construído em latão (E = 100GPa, ν = 0,34) com 2m de lado, quando sujeita a uma pressão hidrostática de 100MPa. Solução: ∆V = 0,00768m3.
3.3.7. Uma barra prismática em latão
(E = 100GPa, ν = 0,34), com 2m de comprimento e secção recta com uma área
A=400cm2, é comprimida axialmente com uma força P=4000ton, sendo impedida qualquer expansão lateral do material, por confinamento sem atrito entre paredes rígidas.
Determine:
a)- O valor da tensão normal na direcção
perpendicular ao eixo da barra.
b)- A variação de volume da barra. Solução: a) σ = −515,15MPa.
b) ∆V = −5,20cm2.
3.3.8. Reconsidere o problema anterior,
analisando o caso particular duma secção quadrada (20cmx20cm), restringida apenas numa das direcções transversais, ficando livre na outra.
Determine:
a)- O valor da tensão normal na direcção
do constrangimento.
b)- A variação de volume da barra.
P P m 2 P P m 2
Solução: a) σ = −340MPa.
b) ∆V = −3,43cm2.
3.3.9. Uma placa em aço (E=210GPa,
ν=0,3), de dimensões 400x400x10mm3 está sujeita a um estado bi-axial de tensão uniforme, conforme ilustrado na figura.
a)-Utilizando as equações relativas ao
estado plano de tensão, determine a tensão de corte máxima e a direcção segundo a qual actua.
b)- Resolva a alínea (a), agora recorrendo
à construção do círculo de Mohr.
c)- Determine o valor da variação da área
da placa em resultado da deformação.
Solução: a) τmax = 100MPa; θc = ±45º.
c) ∆A= +320mm2.
3.3.10. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- A variação do volume da placa. b)- A energia elástica de deformação
acumulada no volume da placa.
Solução: a) ∆V= +1,92cm3.
b) U= 608Joule.
3.3.11. Uma cubo maciço em betão, com
3m de lado, está sujeito a um estado plano de deformação uniforme, paralelamente ao plano xy e caracterizado pelas seguintes componen-tes cartesianas:
εxx=200x10−6 ; εyy=100x10−6 ;
γxy=80x10−6.
a)-Utilizando as equações relativas ao
estado plano de deformação, determine as deformações principais em cada ponto e respectivas direcções.
b)- Determine a deformação de corte
máxima no plano e respectivas direcções.
c)- Resolva as alíneas (a) e (b), agora
recorrendo à construção de Mohr.
d)- Determine o valor da variação do
volume do cubo em resultado da deformação.
Solução: a) ε1 = −172x10−6; θ1 = +70,67º; ε2 = −428x10−6; θ2 = −19,33º.
b) γmax = 256x10−6; θ'c = −64,33º;
θ”c = +25,67º. d) ∆V= −0,0162m3.
3.3.12. Ainda relativamente à situação a
que se refere o problema anterior, e tomando para o betão E=30GPa e ν=0,15, determine:
a)- As tensões principais associadas àquele campo de deformações.
b)- A energia elástica de deformação
acumulada no volume do corpo.
Solução: a) σ1 = −7,8MPa; σ2 = −14,5MPa; σzz = −3,4MPa.
b) U= 88,6kJoule
3.3.13. Uma placa rectangular em aço, de
5.4mx1.2m e espessura de 20cm está sujeita a um campo plano de tensões definido pelas seguintes componentes cartesianas: 0 ; 0 ) ( 150 200 = = − = xy yy xx y MPa τ σ σ
a)-Mostre que tal campo de tensões só é
possível se não houver forças de volume.
b)-Calcule o correspondente campo das
deformações.
Solução: a) Só nessas condições são
satisfeitas as equações de equilíbrio.
b) εxx=(−750y+1000); εyy=(225y+300);
εzz=(225y+300) x10−6; γyz= γxz= γxy= 0.
3.3.14. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)-A distribuição dos deslocamentos ao
longo do lado AB. (a placa está amarrada ao plano horizontal AB, sem atrito).
x y O A B MPa 400 MPa 200 MPa 400 MPa 200 x y
b)-A energia elástica de deformação
acumulada na placa.
Solução: a) u = 100x(10−6); b) U=692kJ.
3.3.15. Uma placa rectangular em aço, E=200GPa, ν = 0.3, com as dimensões de
1mx0,5m e espessura 20mm (ver figura a seguir, está sujeita a um campo plano de tensões uniforme, definido pelas seguintes componentes:
σxx= 200 MPa , σyy= –400 MPa
σzz= τxy=τyz=τzx=0
a)- Determine a tensão de corte máxima e
o plano segundo o qual actua.
b)- Deduza as expressões que definem as
componentes do campo dos desloca- mentos no plano xy (o ponto O é fixo...).
Solução: a) τmax = 300MPa; θc = ±45º.
b) u=1,6x10–3x; v= –2,3x10–3y.
3.3.16. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- As extensões sofridas pelas diagonais
AC e BD.
b)- A energia elástica de deformação
acumulada na placa.
Solução: a) ∆LAC =∆LBD = +0,92mm.
b) U=6,2kJ.
3.3.17. Uma placa rectangular construída
em chapa de aço (E=200GPa, ν = 0,3), está sujeita a um campo uniforme de tensões no respectivo plano, conforme indicado na figura.
No centro da placa, mediram-se as deformações εa=1200x10–6 e εb= –
800x10–6, utilizando uma roseta de extensómetros rectangular de dois elementos. Determine:
a)- Os valores das tensões σxx e σyy.
b)- A deformação εzz segundo a espessura
da placa.
Solução: a) σxx=211 e σyy= −96,7 (MPa).
a) εzz= –171,4x10–6.
3.3.18. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, considere agora o caso em que as medições efectuadas com os extensómetros foram as seguintes:
εa=500x10–6 e εb= 150x10–6 Determine:
a)- Os valores das tensões σxx e σyy.
b)- A deformação εzz segundo a espessura
da placa.
Solução: a) σxx=119,8 e σyy= 65,9 (MPa).
a) εzz= –278,6x10–6.
3.3.19. Reconsidere o problema 3.3.17,
agora numa situação em que se trate dum estado plano de deformação.
Determine:
a)- Os valores das tensões σxx e σyy.
b)- A tensão σzz segundo a direcção
perpendicular ao plano de deformação.
Solução: a) σxx=231 e σyy= 323 (MPa).
b) σzz= 46 MPa.
3.3.20. Reconsidere o problema 3.3.18,
agora numa situação em que se trate dum estado plano de deformação.
Determine:
a)- Os valores das tensões σxx e σyy.
b)- A tensão σzz segundo a direcção
perpendicular ao plano de deformação.
Solução: a) σxx=152 e σyy= 135 (MPa).
b) σzz= 75 MPa
3.3.21. Uma placa de material elástico
(E,ν) está sujeita a um campo uniforme de tensões σxx e σyy no próprio plano,
conforme representado na figura.
x y O A B m 1 m 5 , 0 C D y x a b O σxx xx σ yy σ yy σ
Determine a relação que deve existir entre as tensões σxx e σyy, de tal forma que se
verifiquem as condições seguintes:
a)- A espessura da placa mantém-se
constante.
b)- A dimensão segundo a direcção y
mantém-se constante.
Solução: a) σyy= –σxx. b) σyy= νσxx.
3.3.22. Um bloco maciço de material
elástico (E,ν) está sujeita a um campo uniforme de deformação plana, caracterizado pelas componentes cartesianas εxx e εyy, sendo nula a
deformação de corte γxy= 0. Determine a
relação que deve existir entre as deformações εxx e εyy, de tal forma que se
verifiquem as condições seguintes:
a)- Não há tensão segundo a direcção
perpendicular ao plano de deformação, isto é σzz= 0.
b)- A componente normal da tensão
segundo y é nula, isto é, σyy= 0.
Solução: a) εyy= –εxx. b) εyy= –νεxx/(1–ν)
3.3.23. Uma placa rectangular de
alumínio (E = 70GPa, ν = 0,33) com as dimensões 1mx0,5m e espessura b=15mm, está sujeita a um campo uniforme de tensões no próprio plano, σxx=100MPa e
σyy= –25MPa:
Determine:
a)- A deformação de corte máxima no
plano da placa.
b)- A deformação de corte máxima
absoluta do material da placa.
Solução: a) (γmax)plano = 3275 x 10-6.
b) (γmax)abs = 3275 x 10-6.
3.3.24. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- A variação da espessura da placa. b)- A variação do volume da placa. Solução: a) ∆b= −0,0053mm.
b) ∆V= +2732,1mm3.
3.3.25. Um bloco prismático de alumínio
(E = 70GPa, ν = 0,33) de secção recta rectangular com as dimensões 1mx0,5m nas direcções x e y, respectivamente, e comprimento L=6m na direcção z, está sujeito a um campo uniforme de deforma- ção plana, σxx = 800x10-6, σyy= –200x10-6
e γxy= 0. Nestas condições, determine:
a)- As tensões σxx, σyy e σzz.
b)- A tensão de corte máxima no plano
perpendicular ao eixo da peça..
c)- A tensão de corte máxima absoluta no
material da peça.
Solução: a) σxx=73, σyy=83 e σzz=31MPa.
b) (τmax)plano = 5MPa.
c) (τmax)abs = 41MPa.
3.3.26. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- A variação da espessura da placa. b)- A variação do volume da placa. Solução: a) ∆b= −0,0053mm.
b) ∆V= +2732,1mm3
3.3.27. Uma placa rectangular em aço de
construção (E = 200GPa, ν = 0,3) com as dimensões 2mx1m e espessura b=25mm, está sujeita a um campo uniforme de tensões no próprio plano, σxx=200MPa e
σyy= 40MPa: Determine: xx σ xx σ yy σ yy σ O x y xx σ yy σ O x y m 1 m 5 , 0 xx σ yy σ O x y m 2 m 1
a)- A deformação de corte máxima no
plano da placa.
b)- A deformação de corte máxima
absoluta do material da placa.
Solução: a) (γmax)plano = 1040 x 10-6.
b) (γmax)abs = 1300 x 10-6.
3.3.28. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- A variação da espessura da placa. b)- A variação do volume da placa. Solução: a) ∆b= −0,009mm. ∆V= +24cm3.
3.3.29. Um paralelepípedo construído em
betão (E = 26GPa, ν = 0,1), com as dimensões 200mmx100mmx100mm, está comprimido lateralmente por dois pares de forças iguais e opostas P = 200kN, uniformemente distribuídas pelas faces laterais:
Determine:
a)- A variação do volume da peça de
betão.
b)- A energia elástica de deformação
armazenada no corpo.
Solução: a) ∆V= −1230,8mm3.
b) U= 6,92Joule.
3.3.30. Reconsidere o problema anterior,
agora para um paralelepípedo com as mesmas dimensões 200x100x100 (mm), em latão (E=100GPa, ν=0,34), sujeito a apenas um par de forças laterais iguais e opostas P=300kN. Determine:
a)- A variação do volume da peça de
latão.
b)- A energia elástica de deformação
armazenada no corpo.
Solução: a) ∆V= −96mm3.
b) U= 2,25Joule.
3.3.31. Num ponto P da superfície duma
placa em aço (E=200GPa, ν = 0,3) mediram-se as deformações segundo três direcções a 45º, utilizando uma roseta rectangular de três elementos: 6 º 0 520 10 − × − = ε , 6 º 45 200 10 − × + = ε , 6 º 90 =+200×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no ponto P e as
direcções correspondentes.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano da placa e as orientações correspon- dentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a) σ1=32,6MPa; θ 1=+67,5º. σ2= –124MPa; θ 2= –22,5º. b) τmax=78,3MPa; θc'=−67,5º; º 5 , 22 "=+ c
θ . c) (τmax)abs=78,3MPa.
3.3.32. Num ponto P da superfície duma
placa em latão (E=100GPa, ν = 0,34) mediram-se as deformações segundo três direcções a 45º, utilizando uma roseta rectangular de três extensómetross: 6 º 0 =400×10− ε , 6 º 45 =−200×10− ε , 6 º 90 =+200×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no ponto P e as
direcções correspondentes.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano da placa e as orientações correspon- dentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a) σ1=83,5MPa; θ 1= –39,35º; σ2= 7,4MPa; θ 2= +50,65º. b) τmax=38,1MPa; θc'=−84,35º; º 65 , 5 "=+ c
θ . c) (τmax)abs=41,8MPa.
3.3.33. Num ponto P da superfície duma
placa em alumínio (E=70GPa, ν = 0,33) mediram-se as deformações segundo três
kN P 200= kN P 200= kN P 200= P 200= kN mm 200 mm 100 MPa 400
direcções a 120º, utilizando uma roseta delta de três extensómetros: 6 º 0 =+400×10− ε , 6 º 120 =+100×10− ε , 6 º 240 =+200×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no ponto P e as
direcções correspondentes.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano da placa e as orientações correspon- dentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a) σ1=33,7MPa; θ 1=+9,55º. σ2= 15,1MPa; θ 2= –80,45º. b) τmax= 9,3MPa; θc' =−35,45º; º 55 , 54 "=+ c
θ . c) (τmax)abs= 16,8MPa.
3.3.34. Num ponto P da superfície duma
placa em aço (E=200GPa, ν = 0,3) mediram-se as deformações segundo três direcções a 120º, utilizando uma roseta delta de três extensómetros: 6 º 0 =+100×10− ε , 6 º 120 =+400×10− ε , 6 º 240 =−300×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no ponto P e as
direcções correspondentes.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano da placa e as orientações correspon- dentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a) σ1=81,4MPa; θ 1= –42,64º; σ2= –43,3MPa; θ 2= +47,36º. b) τmax=62,4MPa; θc'=−87,64º; º 36 , 2 "=+ c
θ . c) (τmax)abs=62,4MPa.
3.3.35. Uma placa rectangular em aço,
(E=200GPa, ν=0.3), com as dimensões 2m x 1m e espessura 25mm, solicitada exclusivamente por forças no respectivo plano médio, mediram-se as deformações no centro O, segundo as direcções a, b e
c, recorrendo a uma roseta de três
extensómetros a 120º, conforme ilustrado na figura:
εa = 575 x 10-6 ; εb = −156 x 10-6 ;
εc = −156 x 10-6
a)- Determine os valores das tensões
principais no centro da placa e as respectivas direcções.
b)- À volta do centro O, desenhe um
elemento rectangular de lados inclinados a 30º, relativamente ao eixo dos xx, e sobre esse elemento represente as tensões que sobre ele actuam.
Solução: a) σ1=100MPa; θ 1=0º. σ2= –50MPa; θ 2= +90º.
b) σx´x´ = 62,5MPa; σy´y´ = –12,5MPa
τx´y´ = –65MPa
3.3.36. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, e admitindo que a mesma está sujeita a um campo uniforme de tensões, determine:
a)- As forças que devem ser aplicadas
sobre os lados da placa, para produzirem tal campo de tensões.
b)- A forma e dimensões da placa depois
de deformada.
Solução: a) Px=2500 Py= –1250 (kN/m).
b) rectangular (2,00115mx0,99960m).
3.3.37. Um bloco maciço em betão
(E=30GPa, ν = 0,15) está sujeito a um campo plano de deformação uniforme paralelamente ao plano xy. No interior do material, num plano paralelo ao plano de deformação, foi montada uma roseta rectangular de três extensómetros, a partir dos quais se mediram as seguintes deformações: y x m 1 m 2 º 120 º 120 º 120 a c b O
6 º 0 =−50×10− ε , 6 º 45 =60×10− ε , 6 º 90 =−60×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no plano de
deformação e as respectivas direcções.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano de deformação e as orientações correspondentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a) σ1= –3,44MPa; θ 1= –43,76º; σ2= –38,86MPa; θ 2= +46,24º. b) τmax=17,71MPa; θc' =−1,24º; º 76 , 88 "=+ c
θ . c) (τmax)abs=17,71MPa.
3.3.38. Um bloco maciço em betão
(E=30GPa, ν = 0,15) está sujeito a um campo plano de deformação uniforme paralelamente ao plano xy. No interior do material, num plano paralelo ao plano de deformação, foi montada uma roseta delta de três extensómetros, a partir dos quais se mediram as seguintes deformações:
6 º 0 =−110×10− ε , 6 º 120 =−70×10− ε , 6 º 240 =−85×10− ε Determine:
a)- As tensões principais no plano de
deformação e as respectivas direcções.
b)- O valor da tensão de corte máxima no
plano de deformação e as orientações correspondentes.
c)- Verifique se o resultado obtido na
alínea b) representa um máximo absoluto da tensão de corte no ponto considerado.
Solução: a)σ1= –30,38MPa; θ 1= –79,11º; σ2= –37,57MPa; θ 2= +10,89º. b) τmax= 3,59MPa; θc' =−34,11º; º 89 , 55 "=+ c
θ . c) (τmax)abs= 8,59MPa.
3.3.39. Uma placa rectangular em aço,
(E=200GPa, ν=0.3), com as dimensões de 2m x 1m e espessura de 10 mm, está sujeita a um estado plano de tensões, definido pelas seguintes componentes cartesianas:
σxx= 200 (2y+1) MPa , σyy=τxy=0.
a)- Demonstre que tal campo de tensões
só é compatível se for nulo o campo das forças de volume.
b)- Determine as deformações principais
na origem das coordenadas e respectivas direcções.
Solução: a) verificar se são satisfeitas as
equações de equilíbrio.
b) ε1=1000x10−6, θ1 = 0º ε2= −300x10−6, θ2 = 90º.
3.3.40. Ainda relativamente à placa a que
se refere o problema anterior, determine:
a)- A distribuição dos deslocamentos ao
longo do segmento AB, à distância de 250mm do eixo dos xx. Considere que o ponto O é fixo e que o corpo está impedida qualquer rotação rígida.
b)- O valor da energia elástica de
deformação acumulada na placa.
Solução: a) u =1,5x10−3x;
v = −10−3x2−0,94. b) U=266,7kJooule.
3.3.41. Considere um corpo em aço
(E=200GPa, ν=0.3) sujeito a campo plano de tensões definido pelas seguintes componentes (em MPa):
400 200 200 400 200 200 200 200 200 − + = − + − = + − = x y x y x y xy yy xx τ σ σ
a)- Calcule as tensões principais na
origem das coordenadas e as respectivas direcções.
b)- Calcule a variação de volume dum
cubo de material com 1m de lado, centrado na origem e alinhado com os eixos coordenados. x y m 1 m 2 A B O mm 250
Solução:a) σ1=400MPa ; θ1 = +26,57º σ2= −600 MPa ; θ2 = −63,43º
a) ∆V= −4x10−4m3.
3.3.42. Considere uma placa alongada de
material elástico (E, ν = 0), de dimensões
lxh e espessura b, simplesmente apoiada nas duas extremidades e sujeita a um carregamento uniforme de intensidade
q = −qo (Newton/m) ao longo de todo o comprimento da barra. O campo dos deslocamentos é dado pelas seguintes componentes: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − − − = 0 ) ( ) ( 2 2 2 1 w dx dv y u l x x a l x x a v
a)- Verifique que o campo dos desloca-
mentos proposto satisfaz as condições fronteira dos problema.
b)- Determine, utilizando o princípio da energia potencial mínima, os valores dos
parâmetros a1 e a2. Não considere a contribuição da deformação de corte no cálculo da energia elástica.
Solução:a) são nulos os deslocamentos
das secções extremas e há simetria relativamente à secção central da barra.
b) a1= qol2/24EI ; a2= qo/24EI ; I=bh3/12
3.3.43. Num ensaio de tracção, foi
determinado o valor da tensão de cedência num determinado material, σE=400MPa,
para ambas as situações de tracção e de compressão simples. Considerando um estado de tensão tridimensional em que σ1/σ2=3/2 e σ2/σ3= −9/5, determine os valores das tensões que causam a cedência do material, de acordo com cada um dos seguintes critérios de ruptura:
a)- Critério de Coulomb.
b)- Critério de Tresca. c)- Critério de von-Mises.
Solução: a) σ1 = 400MPa; σ2 = 267MPa; σ3 = −148MPa. b) σ1 = 292MPa; σ2 = 194MPa; σ3 = −108MPa.
c) σ1 = 323MPa; σ2 = 215MPa; σ3 = −120MPa.
3.3.44. Num veio de secção cilíndrica
solicitado simultaneamente à torção e à flexão, foram calculadas as tensões num ponto crítico à superfície, tendo-se obtido os seguintes valores:
MPa
xx=80
σ ; σyy=0; τxy=100MPa Sabendo que a tensão de cedência do material é σE = 300MPa, determine o
coeficiente de segurança em relação à cedência, considerando cada um dos seguintes critérios de ruptura:
a)- Critério de Coulomb. b)- Critério de Tresca. c)- Critério de von-Mises.
Solução: a) s=2,03; b) s=1,39; c) s=1,57. 3.3.45. Determine para que estados de
tensão os resultados obtidos com os critérios de Tresca e de von-Mises satisfazem a seguinte condição:
a)- São equivalentes. b)- São mais afastados.
Solução: a) Quando uma qualquer das
duas tensões principais é igual à média aritmética das outras duas.
b)- Num estado de corte puro, i.e. duas
tensões principais iguais de sinais opostos e a terceira nula (15,4% de diferença).
3.3.46. No ponto crítico duma peça aço,
com tensão de cedência σE=240MPa, o
estado de tensão é plano e caracterizado pelas seguintes componentes:
0 = xx σ ; σyy=−150MPa; MPa xy=100 τ
Verifique se ocorre ruptura do material, de acordo com os seguintes critérios.
a)- Critério de Coulomb. b)- Critério de Tresca. c)- Critério de von-Mises. o q q=− x y O h l
Solução: a) Não (⎜σmax⎜=150<240MPa).
b) Sim (τmax=125>240/2MPa).
c) Não (τoct=108<113MPa).
3.3.47. Num ponto crítico da superfície
duma peça em alumínio fundido, o estado de tensão (plano) é caracterizado pelas seguintes componentes:
60 =
xx
σ ; σyy=−50MPa; τxy=40MPa Sabendo que, para a liga de alumínio em questão, a tensão de ruptura à tracção é σRT = 100MPa e a tensão de ruptura à
compressão é σRC = 240MPa, determine
se haverá ou não ruptura do material, de acordo com o critério de Mohr.
Solução: Não há ruptura, porque
42 , 0 / 41 , 0 ) /( 2 1 σRC+σ = <σRT σRC = σ
3.3.48. Num ponto crítico da superfície
duma peça em alumínio fundido, o estado de tensão (plano) é caracterizado pelas seguintes componentes: 30 − = xx σ ; σyy =50MPa; τxy =60MPa Sabendo que, para a liga de alumínio em questão, a tensão de ruptura à tracção é σRT = 100MPa e a tensão de ruptura à
compressão é σRC = 240MPa, determine
se haverá ou não ruptura do material, de acordo com o critério de Mohr.
Solução: Há ruptura, porque
42 , 0 / 46 , 0 ) /( 2 1 σRC+σ = >σRT σRC = σ 3.3.49. Um reservatório cilíndrico em
chapa de alumínio (E=70MPa, v=0,33 e tensão de cedência σE=230MPa), foi
submetido a um ensaio de pressão interna a po= 6bar, tendo sido medidas as seguintes deformações num ponto crítico à superfície, utilizando uma roseta rectangular de três extensómetros: 6 º 0 =300×10− ε , 6 º 45 =200×10− ε , 6 º 90 =−165×10− ε
Determine a pressão máxima que o reservatório pode suportar, considerando um factor de segurança igual a s = 1,5:
a)- De acordo com o critério de cedência
de Tresca.
b)- De acordo com o critério de cedência
de von-Mises.
Solução: a) 32,66bar; b) 36,23bar. 3.3.50. Um reservatório cilíndrico em
chapa de alumínio (E=70MPa, v=0,33 e tensão de cedência σE=230MPa), foi
submetido a um ensaio de pressão interna a po= 4bar, tendo sido medidas as seguintes deformações num ponto crítico à superfície, utilizando uma roseta delta de três extensómetros: 6 º 0 =240×10− ε , 6 º 120 =120×10− ε , 6 º 240 =180×10− ε
Determine a pressão máxima que o reservatório pode suportar, considerando um factor de segurança igual a s = 2,1:
a)- De acordo com o critério de cedência
de Tresca.
b)- De acordo com o critério de cedência
de von-Mises.
Solução: a) 19,51bar; b) 22,08bar.
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