PROBLEMAS PROPOSTOS 24.6
1–6
1–6 MÉDIA, MÉDIA, VARIÂNCIAVARIÂNCIA
Encontre a média e a variância da variável aleatória X com a função de probabilidade ou densidade f ( x).
1.1. ƒ( x) 2 x (0 x 1)
2.2. ƒ(0) 0,512, ƒ(1) 0,384, ƒ(2) 0,096, ƒ(3) 0,008 3.3. X = Número obtido de dado honesto
4.4.Y = –4 X + 5 com X como no Problema 1
5.5. Distribuição uniforme em [0, 8] 6.6. f ( x) = 2e–2x ( x 0)
7.7. Qual é a expectativa de lucro diário de uma loja que vende X
aparelhos de ar-condicionado por dia com a probabilidade f (10) = 0,1, f (11) = 0,3, f (12) = 0,4, f (13) = 0,2 e se o lucro por aparelho vendido é de $55?
8.8. Qual a vida média de uma lâmpada cuja vida X [em horas] tem a densidade f ( x) = 0,001e–0,001x ( x 0)?
9.9. Se a milhagem (em múltiplos de 1000 milhas) rodada por um pneu antes de precisar ser trocado é dada pela variável aleatória X com densidade f ( x) =ue–ux ( x > 0), qual é a milhagem esperada desse tipo de pneu? Considereu = 0,04 e encontre a probabilidade de que um pneu dure pelo menos 40 000 milhas.
10.
10. Que soma podemos esperar obter ao lançarmos um dado hones- to 10 vezes? Faça este experimento. Repita-o 20 vezes e registre como a soma vai variando.
11.
11. Um pequeno posto de combustível é suprido com gasolina todo sábado à tarde. Suponha que seu volume X de vendas em dezenas de milhares de galões tenha a densidade de probabilidade f ( x) = 6 x(1 – x) se 0 x 1 e 0 nos demais casos. Determine a média, a variância e a variável padronizada.
12.
12. Qual capacidade deve ter o tanque do Problema 11 para que a probabilidade de ele ficar vazio numa dada semana seja de 5%?
13.
13. Considere que X [cm] seja o diâmetro de parafusos em uma pro- dução. Suponha que X tenha a densidade f ( x) =k ( x – 0,9)(1,1 – x) se 0,9 < x < 1,1 e 0 nos demais casos. Determinek , esboce f ( x) e encontrem es 2.
14.
14. Suponha que, no Problema 13, um parafuso seja considerado defeituoso caso seu diâmetro se desvie de mais de 0,09 cm em relação a 1,00 cm. Qual é então a porcentagem esperada de para- fusos defeituosos?
15.
15. Para qual escolha do máximo desvio possívelc em relação a 1,00 cm devemos obter 3% de parafusos defeituosos nos Problemas 13 e 14?
16.
16. PROJETO DE EQUIPE. Médias, VPROJETO DE EQUIPE. Médias, Variâncias, Expectativas.ariâncias, Expectativas. (a)
(a) Mostre que E ( X –m) = 0,s 2 = E ( X 2) –m2. (b)
(b) Prove (10)–(12). (c)
(c) Encontre todos os momentos da distribuição uniforme em um intervaloa xb.
(d)
(d) A assimetriaassimetria g de uma variável aleatória X é definida por (13)
(13) g 1
s 3 E ([ X
m]3).
Mostre que, para uma distribuição simétrica (cujo terceiro momen- to central existe), a assimetria é zero.
(e)
(e) Encontre a assimetria da distribuição com densidade f ( x) = xe–x quando x > 0 e f ( x) = 0 nos demais casos. Esboce f ( x). (f)(f) Calcule a assimetria de algumas simples distribuições discretas
de sua escolha. (g)
(g) Encontre uma distribuição discreta assimétrica com 3 valores possíveis, média 0 e assimetria 0.
196
196 Parte G • Probabilidade, Estatística
24.7 Distribuições Binomial, de Poisson e
Hipergeométrica
Estas são as três mais importantes distribuiçõesdiscretasdiscretas, com inúmeras aplicações.
Distribuição Binomial
A distribuição binomialdistribuição binomial ocorre em jogos de azar (p. ex., no jogo de dados, que será visto a seguir etc.), nas inspeções de qualidade (p. ex., na contagem do número de defeitos), nas pesquisas de opinião (p. ex., na con- tagem do número de empregados favoráveis a certas alterações de escala etc.), em medicina (p. ex., no registro do número de pacientes curados por uma nova remédio), e assim por diante. As condições de sua ocorrência são as seguintes.
Estamos interessados no número de vezes que um evento A ocorre emn tentativas independentes. Em cada tentativa, o evento A tem a mesma probabilidadeP( A) = p. Então, em uma tentativa, a probabilidade de A não ocorrer éq = 1 – p. Emn tentativas, a variável aleatória que nos interessa é
X = Número de vezes em que um evento A ocorre em n tentativas.
X pode assumir os valores 0, 1,••• ,n e desejamos determinar as probabilidades correspondentes. Ora, X = x
significa que A ocorre em x tentativas e não ocorre emn – x tentativas. Podemos representar isso do seguinte modo. (1) B B • • • B. n x vezes A A • • • A x vezes
Aqui, B = Ac é o complementar deA, significando que A não ocorre (Seção 24.2). Suponhamos agora que as tentativas sejam independentes, isto é, que elas não exerçam influência umas sobre as outras. Logo, (1) tem a probabilidade (veja a Seção 24.3 sobre eventos independentes)
(1*)
qq • • • q
p x qn x. n x vezes pp • • • p x vezesOra, (1) é apenas uma ordem de arranjo de x As e den – x Bs. Utilizemos agora o Teorema (1b) da Seção 24.4, que fornece o número de permutações den objetos (osn resultados dasn tentativas) consistindo em 2 classes, a classe 1 contendo osn1 = x As e a classe 2 contendo osn –n1 =n – x Bs. Esse número é
. n x n!
x! (n x)!
Dessa forma, (1*) multiplicada por esse coeficiente binomial fornece a probabilidadeP( X = x) de X = x, isto é, da obtenção de A precisamente x vezes emn tentativas. Logo, X tem a função de probabilidade
(2)
(2) ƒ( x)
n pxqn xx ( x 0, 1,••• ,n)
e f ( x) = 0 nos demais casos. A distribuição de X com a função de probabilidade (2) é chamada de distribuiçãodistribuição binomial
binomial oudistribuição de Bernoulli. A ocorrência de A é chamada desucesso (independentemente do que A venha de fato a representar, podendo, por exemplo, significar que você perdeu seu avião ou seu relógio) e a não- ocorrência de A é chamada de fracasso. A Fig. 516 mostra típicos exemplos. Os valores numéricos podem ser obtidos da Tabela A5 no Apêndice 5 ou de seu programa de computador.
A média da distribuição binomial é (veja o Projeto de Equipe 16) (3)
(3) mnp
e a variância é (veja o Projeto de Equipe 16) (4)
Capítulo 24: Análise de Dados. Teoria da Probabilidade 197197
Para ocaso simétricocaso simétrico de chances iguais de sucesso e fracasso ( p =q = 1/2), isso fornece a médian/2, a variância n/4 e a função de probabilidade (2*) (2*) ƒ( x) n 1 2 n x
( x 0, 1,••• ,n). EXEMPLO 1EXEMPLO 1 Distribuição Binomial Distribuição Binomial
Calcule a probabilidade da ocorrência de pelos menos duas faces“Seis” em 4 lançamentos de um dado honesto. Solução.
Solução. p =P( A) =P(“Seis”) = 1/6,q = 5/6,n = 4. O evento“Pelo menos duas faces ‘Seis’” ocorre se obtivermos 2 ou 3 ou 4 faces
“Seis”. Logo, a resposta é
P ƒ(2) ƒ(3) ƒ(4) 2 2 3 4 (6 25 4 5 1 ) 17113,2%. 1296 1 64 1 6 4 4 5 6 1 6 4 3 5 6 1 6 4 2
Distribuição de Poisson
A distribuição discreta para um número infinito de valores possíveis e para a função de probabilidade (5) (5) ƒ( x) m x x! e m ( x 0, 1, •••)
é chamada de distribuição de Poissondistribuição de Poisson, que recebeu esse nome em homenagem a S. D. Poisson (Seção 18.5). A Fig. 517 mostra (5) para alguns valores dem. Pode-se provar que essa distribuição é obtida como um caso limite da distribuição binomial, se fizermos p→ 0 en→∞ de forma que a médiam =np aproxima-se de um valor
finito. (Por exemplo,m =np pode ser mantida constante.) A distribuição de Poisson tem médiam e a variância (veja o Projeto de Equipe 16)
(6)
(6) s 2m.
A Fig. 517 dá a impressão de que, com o aumento da média, a dispersão da distribuição aumenta, ilustrando assim a fórmula (6), e que a distribuição vai se tornando mais e mais simétrica (aproximadamente).
5 0 0,5 5 0 0 5 0 5 0 5 0 p = 0,1 p = 0,2 p = 0,5 p = 0,8 p = 0,9 Fig. 516.
Fig. 516. Função de probabilidade (2) da distribuição binomial paran = 5 e vários valores de p
5 0 0,5 5 0 0 5 0 5 10 = 5 = 2 = 1 = 0,5 µ µ µ µ Fig. 517.
198
198 Parte G • Probabilidade, Estatística
EXEMPLO 2
EXEMPLO 2 Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson
Se a probabilidade de se produzir um parafuso defeituoso é p = 0,01, qual é a probabilidade de que um lote de 100 parafusos contenha mais que 2 defeituosos?
Solução.
Solução. O evento complementar é Ac:não mais que 2 parafusos defeituosos. Para essa probabilidade, obtemos da distribuição binomial
com médiam =np = 1, o valor [veja (2)]
P( Ac ) 0,99100 0,01 0,9999 0,012 0,9998 . 100 2 100 1 100 0
Como p é muito pequena, podemos aproximá-la pela distribuição de Poisson, muito mais conveniente, de médiam =np = 100 0,01 = 1,
obtendo [veja (5)] P( Ac ) e 1 1 1 91,97%. 1 2
Portanto,P( A) = 8,03%. Mostre que a distribuição binomial forneceP( A) = 7,94%, de modo que a aproximação de Poisson é bastante boa.
EXEMPLO 3
EXEMPLO 3 Problemas de Estacionamento. DistProblemas de Estacionamento. Distribuição de Poissonribuição de Poisson
Se, em média, 2 carros entram em um certo pátio de estacionamento por minuto, qual é a probabilidade de que, durante um minuto qualquer dado, 4 ou mais carros entrem no estacionamento?
Solução.
Solução. Para entender que a distribuição de Poisson é um modelo dessa situação, imaginemos o minuto sendo dividido em um número muito grande de breves intervalos de tempo, consideremos que p é a probabilidade (constante) de que um carro entre no estacionamento durante qualquer um desses breves intervalos, e suponhamos que os eventos ocorrendo durante esses intervalos sejam independentes. Então, estamos lidando com uma distribuição binomial com umn muito grande e um p muito pequeno, uma situação que pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson com
mnp 2,
visto que, em média, 2 carros entram no estacionamento. O evento complementar do evento “4 carros ou mais durante um dado minuto” é “3 carros ou menos entram no estacionamento” e tem a probabilidade
ƒ(0) ƒ(1) ƒ(2) ƒ(3) e 2 0,857. 23 3! 22 2! 21 1! 20 0!Resposta: 14,3%. (Por que consideramos esse complementar?)