ESH.
Jusqu’à présent nous avons étudié la propagation d’un front unidimensionnel
reliant les deux états stables du bistable. Afin de comprendre la dynamitpie
des fronts observés dans la réaction FIS (Lee et al. 1993), il s’avère néces.saire
de considérer des problèmes bidimensionnel. Parmi les résultats rapportes,
certains concernent une instabilité morphologique d’un front plan ayant subi
une déformation géométrique critique qui engendre la formation de structures
labyrinthes (Kuramoto 1980 et 1984). Considérons pour cela l’évolution d'une
ligne de niveau u{x,y) = 0 d’un front bidimensionnel représentée à la Hi^ure
(1.48). Il nous faut caractériser sa déformation dans le plan (x, y) au cours
du temps et calculer sa vitesse de propagation (Hagberg et Meron 1994 (bi < t
(c)).
Il s’avère pour cela plus facile de décrire la dynamique du front dans un
référentiel attaché à celui-ci, le vecteur position x s’écrit comme (Keener IMsii
Figure 1.48: Composante en activateur u{x,y) d’un front bidimensionnel, nous
représentons son évolution spatio- temporelle par la donnée de la position s sur
la courbe et la composante ^ de sa normale.
et 1986):
X = zlx + yly = R(s, t) + ,^N(s, t),
avec
R(s, t) = X(s, t)lx 4- K(s, t)ly
N{s,t) = Nj:{s,t)l^ + Ny{s,t)ly,
où
4xfTvf
=_____ ^
où l’opération de dérivation par rapport à s est représentée par la notation
indicielle. Nous pouvons écrire que
X=(X+^.V,)lx+(r+Ç.Vy)ly.
Afin d’effectuer le changement de coordonnées, nous devons calculer comment
se transforment les dérivées spatiales et temporelle. Les éléments de matrice
du changement de base sont doniu'*s par les expressions suivantes:
■V, 1
r.
ds
dx
x2 + r/i + ç/c
X.,
- y; 1
dy
^ _______________
Sy ^x] + Y}'
OÙ K désigne la courbure du front
k
(
s, t) = - y;x„
{XJ + Yj)m ■
Après calcul, nous obtenons les lois de transformations:
dt
dx
dy
1 1
+
1+^kX^ + Y,^M + nre
_---MX,Y„ Y,X„)]^
-^Jxj + Y} Ss ai
X.
+ Y,
A2 + y;21 + as yxfTïf
n 1 a X, d
A2 + r/1 + as ^xi^Y^dC
on Cm désigne la vitesse normale de propagation du front, en effet si N t-r T
désignent les vecteurs unitaires normal et tangent, nous avons que
- c,vN + aT
XtYs-Y,X,
<jxj + YJ
XtX, - Y,Y,
^JXJ + Y} '
L’opérateur Laplacien se transforme comme
1 2 3 ^ ^ ^ d
d?^dë^ iT^â^
_ A,A„ + y;y;, i i a i 2,
^ (1 + + v;2)2 + 2 A
2+ r/ as '' 1 + ^ ^ a.s '
R,
cn
Ct
Nous recherchons des solutions fronts de faible courbure {^k <§; 1) et pour
lesquelles |^ = |^ = 0. Remplaçons les diverses transformations dans les
équations de FHN cubique qui prennent la forme:
(Pu , .du ,
^ + (c« + -c)- + a-« -V
(fv
+ +
ôk)^ + e(7u - V - a)
d^
0
0.
Multiplions les équations (1.71. b) par le facteur A(s,t) = c‘s+u
(Pu
+ (Civ + «)du
dÇp ' ' "'dÇ, + u — U — V
~.(Pv , dv .. .
^dë ^ -v-a)
0
0,
avec ë = eA et 5 = 5A. Ce système se présente exactement sous une forme
identique aux équations (1.57) appliquées au modèle de FHN cubique pour
la propagation d’un front plan (/c = 0). La vitesse de propagation n’est plus
c mais + « et les paramètres originaux (c et 5) sont remplacés par des
valeurs effectives (ê, 5). Nous pouvons par conséquent utiliser toutes les re
lations dérivées au paragraphe précédent pour les fronts plans en substituant
c/v + « à c et {eetô) par leur valeur effective ( et donc aussi t] qui devient
fj = \f^ = Ar/). Nous obtenons une relation implicite pour la vitesse normale
du front en fonction de sa courbure:
hcv -H
k)7
CAf + « = —r--- - ■ ■ -
-I-qui s’écrit encore après simplification
3a
^Jïïë'
UrV -r ^:)7 3a
Cette équation peut être utilisée pour étudier la stabilité d’un front plan par
rapport à des perturbations transverses. Limitons nous à une relation linéaire
entre la vitesse et la courbure ("approximation ekonale”) valable pour /t petit:
c/v — cq — du,.
où maintenant Co(?7) désigne la vitesse du front plan qui satisfait l’équation
(1.69). L’instabilité morphologique apparaît lorsque d < 0 en effet, la déformation
de courbure positive se meut à une vitesse supérieure au front plan et inverse
ment pour une déformation de courbure négative, la propagation amplifiant
alors la déformation. Insérant l’expression (1.71) dans la relation (1.71) nous
obtenons à l’approximation linéaire en « :
d
a
Cq Ci3oj2(Co ~ Cqo)Q jj
Co 97^ (1.71)
où Coo =
Posant d = 0, nous pouvons déterminer analytiquement les seuils d'instabilités
morphologiques des fronts d’Ising et de Bloch pour le cas symétrique <i ~ 0
(coo = 0), le cas non symétrique se résout numériquement. Dans le n''i;iine
Ising, Co = 0 donc = -dn et l’instabilité se produit pour 5 > à\u aviH'
à su
8q^e _ J_
97^ 5[b
I l 72)
Pour les fronts de Bloch cette instabilité prend place lorsque ô > S\(b d'expression;
<V\te 37
Soulignons que les relations (1.70), (1.72) et (1.73) sont fonction de e, et rap
pelons que nous avons supposé dans notre calcul que e/<5 < 1. De plus si
nous voulons éviter la présence d’une bifurcation de Hopf il faut que e > 1
(cas a = 0). Il faut aussi mentionner que l’approximation ekonale n’est pas
du tout vérifiée pour la région des paramètres (e, <5) proche et au-delà de la
transition Ising-Bloch 5/s(e) (Hagberg 1994 (c)). La relation vitesse-courbure
n’est plus univoque, ce qui conduit à l’observation numérique (Elphick et al
1995) et expérimentale (Li et al. 1996) d’une goutte d’un ESH de taille os
cillante dans le temps. Celle-ci s’interprète comme une transition périodique
entre les deux fronts de Bloch Notre marche de manoeuvre pour mettre en
évidence l’instabilité morphologique est étroite. Néanmoins nous avons réalisé
dans le régime d’Ising quelques simulations numériques qui montrent le rôle
cette instabilité dans la nucléation de structures labyrinthes. Le système de
FHN cubique est intégré sur un réseau (128x128) avec comme condition initiale
une petite région carrée (20X20) en u+ plongée dans l’état u_ (figure(1.49).
Le code numérique utilise une méthode d’intégration ADI avec conditions aux
bords fiux nuis (des résultats similaires sont obtenus par méthode spectrale).
La bifurcation de Hopf est exclue (e = 2), nous nous plaçons loin dans le
régime d’Ising (5 = 10, Ôjb = 0.12, = 8.2).
Le carré initial donne lieu à un anneau, qui subit au cours du temps une in
stabilité morphologique selon les directions privilégiées imposées par les con
ditions initiales (les quatre coins du carré). Les harmoniques successives pren
nent place dans la dynamique et donne lieu à la formation d’une structure
labyrinthe de topologie identique à celle du départ (connexe dans ce cas ci).
En effet la fusion et la brisure de domaines sont exclus à cause de la répulsion
locale des fronts et ce pour autant que l'on tie s’approche pas de trop de la tran
sition Ising-Bloch. Lorsque la vitesse des fronts devient suffisamment grande
la répulsion ne permet plus d'éviter la fusion de domaines. Un autre choix
de condition initiale de topologie semblable à celle rencontrée pour la réaction
Figure 1.49: Nucléation d’une structure labyrinthe par instabilité morphologique,
le carré initiale laisse place à un anneau qui se déforme au cours du temps avec
apparition successive d’harmoniques conduisant à la formation d’un labyrinthe.
FIS en réacteur gel (Lee et al. 1993, Lee et swinney 1995, Li et al. 1996) a mis
en évidence la formation de ces mêmes structures labyrinthes (figure (1.50)
Ces structures présentent, tout comme les motifs en bandes de même symétrie,
une amplitude importante de l’ordre de la différence entre les deux ESH stables.
Mais leur nucléation est fondamentalement différente. Les structures de fronts
apparaissent comme une réponse à des perturbations d’amplitude finie. [)ar
exemple initiées par un éclair lumineux dans la réaction FIS (Lee 1993). Elh's
se développent localement en envahissent ensuite l’espace disponible à l'image
de la croissance d’un cristal. .Mors que les structures de Turing émergent spon
tanément et simultanément partout dans le système lorsqu’un paramètre de
contrôle excède une valeur criticpie. .Votons aussi que ces fronts se comportent
différemment de ceux rencontrés dans le domaine d’excitabilité qui s'anidhdent
lors d’une collision ainsi que des ondes solitaires qui n’interagissent pas lors
Figure 1.50: Simulation numérique du modèle de FHN cubique pour e = 2, 5 = 10.
Une structure labyrinthe est obtenue par instabilité morphologique d’une condition
initiale sous forme de domaine déformé.
tels que la réplication de gouttes (Lee et al. 1993, 1994, 1995) et le chaos de
spirales ont trouvé interprétation en termes de bifurcation de fronts (Hagberg
et Meron 1994 (a), (b), (c)).
1.11.4 Réaction de complexion et instabilité morphologique.
Dans les réacteurs gel l’activateur peut, dans certaines circonstances, former
lors d’une réaction réversible de complexion avec la matrice du gel, un com
plexe non-réactif immobilisé qui réduit le coefficient de diffusion effectif de cer
activateur ( Lengyel et Epstein 1992). Physiquement, l’effet d’un tel complexe
est de modifier le rapport des échelles de temps de l’activateur et l’inhibiteur
etd’augmenter dans une même proportion le rapport des coefficients de diffusion.
Cette réaction se manifeste donc par le biais d’un coefficient cr qui multiplie
l’équation d’évolution de l’inhibiteur. Quel est l’influence de la formation de
cecomplexe sur les diverses bifurcations de fronts? Pour cette discussion, il nous
apparaît utile de modifier quelque peu le modèle de FHN cubique que nous
avons utilisé jusqu’ici. En effet, il n’est pas possible de contrôler l’apparition,
en fonction de 7, de la bifurcation de Hopf, celle-ci est présente pour toute la
branche triviale dès que e < 1 (a = 0). Introduisons pour cela un paramètre
supplémentaire r qui pâli à cet inconvénient.
du O _2
= ru — U — V + \7 U
at
dv
dt ae{'yu — v — a) + v .
(1.74)
Pour le cas a = 0, les ESH sont uq = 0 et — 7, les seuils des
bifurcations de Hopf et de la bifurcation fourchette sont donnés, en fonction
de r, par:
Gt
37 — cre
2
7-Notons bien entendu que le seuil de Turing n’est pas affecté par la complcxioii.
Pour les fronts, nous pouvons appliquer les mêmes méthodes de perturbations
singulières et obtenons l’expression de la vitesse de propagation:
T m —
rn± =
(2r + l)c7 (2r -I- l)a
\Jc^ 4- \fïrc^
c = 0 pour 5 > ôiB
c = ±y=^i/7^(4r(l + r) + 1) - Srrj'^q^
= ±2qayJe{ôiB - 6) pour ô < Ô[B,
avec:
^[B —
7^(2r + l)'
Srq^a'^e
nous voyons que le seuil Ôib ~ cr~^ diminue quand a augmente,
instabilité morphologique le coefficient d s’exprime sous la forme:
(1.75)
Pour r
d
a.
L + aô{i--)
a a
. cq - Coor2(co - Coo)'^rq^
CO ^ (2r + l)V -1],
à nouveau cette relation se résout dans le cas a = 0 et nous fournit les seiiiLs
d’instabilités morphologiques:
Smi
Srq^e
72 (2r + 1)2 ( 1.7tii
_ (2r+ 1)7 _
nous voyons que seul le seuil de Bloch est modifié par le complexant, bii
conséquence pour les systèmes RD qui présentent des fronts dans lesquels 1< >'
espèces activatrice et inhibitrice sont en phases {(u+,u+) d’un côté et (u_. ' 1
de l’autre) il est impossible d’éloigner, par une réaction de complexion, le >fuil
de Turing de celui de l’instabilité morphologique d’un front d’Ising.
No documento
A pessoa com insuficiência renal crónica: programa de reabilitação funcional intradialítico
(páginas 52-113)