Procedimentos econométricos 54 

O primeiro passo para o desenvolvimento dos modelos VAR ou VEC é a verificação da estacionariedade das séries temporais, por meio dos testes de raiz unitária. Uma série é dita estacionária se, de forma geral, apresenta uma média constante e uma variância também constante. Dessa forma, choques sobre as variáveis acabam sendo temporários, já que os efeitos são dissipados ao longo do tempo, e as variáveis retornam ao seu equilíbrio inicial. No caso das séries não-estacionárias, estas não apresentam uma média de longo prazo e sua variância tende a aumentar com o passar do tempo (ENDERS, 1995).

Neste estudo são adotados os testes de estacionariedade de raiz unitária de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) e o teste de raiz unitária com quebra estrutural baseado em Lanne, Lütkepohl e Saikkonen (2002). No teste ADF, a ideia é estimar o modelo com variáveis auto-regressivas, de forma a encontrar os desvios de uma variável em relação à sua média para descolar sua distribuição em direção à zero (BUENO, 2008). Esse teste considera a existência de autocorrelação no termo de erro aleatório, e consiste na estimação de uma das três formas funcionais abaixo, utilizando-se mínimos quadrados ordinários (MQO).

(6)

(7)

(8)

Nestas expressões, os termos α e são os termos determinísticos de intercepto e tendência, respectivamente. Já o termo δ indica a presença ou não de raiz unitária na série yt ; e o termo p indica as defasagens da série. No primeiro modelo, há a presença de um intercepto e uma tendência linear; o segundo inclui um termo de intercepto; e o

terceiro segue um passeio aleatório puro, sem intercepto e sem tendência (ENDERS, 1995). Então, nos três modelos, deve-se testar a hipótese nula H0: δ=0 contra a hipótese alternativa H1: δ>0. Se a hipótese nula for rejeitada, a série é estacionária, ou seja, I(0) (ENDERS, 1995). Se a hipótese nula não for rejeitada, a série possui pelo menos uma raiz unitária. Neste caso, repete-se o processo do teste com a série diferenciada, para verificar se é I(1) ou até que o teste seja significativo.

Outro teste importante nas séries temporais é verificar se existe mudança ou quebra estrutural nas mesmas. Tais mudanças podem ocorrer por várias razões como alterações na política econômica, na estrutura da economia, mudanças climáticas, catástrofes entre outras. Diante da presença de quebra estrutural, os testes tradicionais de Dickey-Fuller (DF e ADF) para verificar presença de raiz unitária não são robustos e podem levar a conclusões errôneas sobre a estacionariedade das séries (LÜTKEPOHL e KRATZING, 2004).

O software J-Multi realiza o teste de raiz unitária com quebra estrutural baseado no teste proposto por Lanne, Lütkepohl e Saikkonen (2002). Estes autores assumem que a quebra estrutural é determinística conforme a expressão (9).

(9)

em que θ e são parâmetros desconhecidos; εt é o termo de erro gerado por um processo AR(p); e ft(θ)’ é a função de quebra adicionada ao termo determinístico.

O teste de raiz unitária conforme a expressão (9)18 é baseado primeiramente na estimação do termo determinístico por Mínimos Quadrados Generalizados (MQG) e, posteriormente subtraído da série original. Assumindo tendência linear e quebra estrutural, os parâmetros do modelo devem ser estimados pela minimização da soma dos quadrados generalizados dos erros do modelo em primeira diferença (LÜTKEPOHL & KRATZING, 2004). Ainda, para realizar o teste é importante definir a data da quebra estrutural e o número de defasagens do processo AR, pelos critérios de Akaike (AIC), de Schwarz (SC) e de Hanna-Quinn (HQ) (LANNE, LÜTKEPOHL e SAIKKONEN, 2002). De forma geral, esse é um teste exógeno que permite identificar uma quebra por vez nas séries. Ou seja, para operacionaliza-lo quando se supõe mais de uma quebra na série, deve-se repetir o teste com cada uma das possíveis quebras.

18

Com quebras estruturais no modelo é possível operacionalizá-lo incluindo variáveis dummies com o intuito de capturar o comportamento irregular das séries de acordo com as quebras existentes (CORRÊA e PORTUGAL, 1998). De acordo com Lütkepohl (2005), podem-se definir dois tipos principais de dummies. A primeira delas é a do tipo impulso, que assume sempre valor zero, com exceção do período específico que ocorre a quebra. Nesse instante específico, a dummy assume valor igual a 1. O segundo tipo é o step, que assume valor zero até a data anterior à quebra e depois assume o valor 1.

Após a análise da estacionariedade e da quebra estrutural nas séries temporais, é possível iniciar os procedimentos para a adoção do modelo VAR ou VEC. Se todas as séries forem I(0), o modelo a ser estimado será o VAR. No caso das séries serem não estacionárias, deve-se verificar a possibilidade de cointegração das mesmas. Para o teste de cointegração, algumas definições anteriores são necessárias sobre o modelo VAR, como a definição do número de defasagens nas séries e a verificação da autocorrelação.

Procura-se definir o número de defasagens p do modelo, de forma a se obter “resíduos brancos” em todas as variáveis endógenas (BUENO, 2008). Para tanto, os métodos mais utilizados na seleção das defasagens são os critérios de informação de Akaike (AIC), de Schwarz (SC) e de Hannan-Quinn (HQ), que apresentam as seguintes formas: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = T AIC ln 2 2 ^ σ (10) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = T T SC ln ln 2 ^ σ (11) T T n HQ 2 2 ^ _2ln ln ) ( = σ + (12) em que 2 ^

σ é a soma dos quadrados dos resíduos de processo auto-regressivo de ordem p; e T e o tamanho da amostra. Apesar da importância dos três testes, Enders (1995) recomenda o uso do critério de SC, que segundo ele é o mais parcimonioso.

Definida as defasagens pelos critérios anteriormente citados, é preciso proceder ao teste de verificação da autocorrelação nos resíduos do modelo. Na presença de autocorrelação, os coeficientes estimados por MQO não são eficientes e as usuais estatísticas t, F e X2 não podem ser legitimamente utilizadas (GUJARATI, 2006). Um

teste comum para se verificar a autocorrelação é o teste de Breusch-Godfrey, também conhecido como LM. A estatística do teste é definida pela expressão (13) (BUENO, 2008):

LM = T [n – tr (ƩuƩr-1)] →X2hn2 (13)

A hipótese nula do teste é de que não há autocorrelação no modelo. Na presença de autocorrelação, um procedimento utilizado para corrigi-la é aumentar o número de defasagens do modelo até que as séries não apresentem mais o problema.

A partir dos dois requisitos necessários para a definição correta das defasagens do modelo, é possível então, proceder ao teste para verificar se as séries são cointegradas, caso sejam não estacionárias.

O teste utilizado para verificar se as séries não estacionárias são cointegradas é o teste de Johansen, que parte de uma análise multivariada para identificar se as variáveis apresentam um mesmo comportamento de longo prazo. A ideia do teste parte da expressão (5), anteriormente apresentada, que expressa o VAR reparametrizado e busca definir o posto da matriz π e, assim, estimar os vetores de cointegração contidos na matriz (BUENO, 2008). A metodologia do teste ainda permite a estimação do modelo VEC simultaneamente aos vetores de cointegração.

Ao considerar r o rank da matriz π, se π possuir raízes características diferentes de zero três situações podem ocorrer: se r = n, yt é estacionário; se r = 0, não há cointegração e yt é não estacionária; e se 0 < r < n, existem as matrizes α e (n x r) e combinações lineares que tornam a matriz yt estacionária, consequentemente existem n vetores de cointegração.

Para se identificar o número de vetores de cointegração, Johansen sugere dois testes que estimam uma função de máxima verossimilhança com restrição (ENDERS, 2005). O teste do traço assume como hipótese nula a existência de r* vetores de cointegração contra a hipótese alternativa de r > r* vetores, sendo a estatística do teste dada pela expressão (14):

A ideia do teste é buscar o número máximo de vetores de cointegração. O posto da matriz π é igual ao número de suas raízes características diferentes de zero. Se não existe cointegração, então os autovalores obtidos serão próximos a zero e se isso acontece, a estatística do traço resulta em valores pequenos, de forma que não se pode rejeitar a hipótese nula (BUENO, 2008). Por outro lado, rejeitando a hipótese nula, significa que há mais de um vetor de cointegração.

O segundo teste é o de máximo autovalor que busca verificar o número exato de vetores de cointegração. A hipótese nula é de que existem r* vetores de cointegração, contra a hipótese alternativa de que existem r* + 1 vetores de cointegração. A estatística do teste é definida pela expressão (15).

(15)

Caso a hipótese nula do teste seja rejeitada, significa que há mais de um vetor de cointegração; caso H0 não seja rejeitada, significa que existem r* vetores de cointegração.

Uma observação importante em relação à cointegração se refere à ordem de integração das séries. Na definição inicial de Engle e Granger (1987), estipulou-se que todas as variáveis deveriam ter a mesma ordem para que pudessem ser cointegradas. No entanto, em um modelo em que o número de variáveis endógenas é maior que dois, nem todas as variáveis precisam ter a mesma ordem de integração, para existir cointegração (BUENO, 2008). Há a necessidade de existir no modelo pelo menos duas variáveis integradas de mesma ordem, na ordem máxima de integração entre todas as variáveis, para existir cointegração. Essa definição é importante porque permite estudar casos mais diversos, não englobados na definição de Engle e Granger, como por exemplo, o caso de existir variáveis I(1) e variáveis I(0) em um mesmo modelo.

Então, a partir do teste de cointegração, define-se se as séries são cointegradas e quais são os vetores de cointegração. Nesse sentido, é possível estimar a expressão (5), definir o VEC e resolver o problema da perda de informações relativas ao longo prazo. Desse procedimento, também são encontrados os vetores de correção do erro, através da série de erros (ut) que faz a ligação entre os valores de curto prazo com os de longo

prazo19. Estabelecido o modelo VEC, é possível avaliar a função de impulso resposta e a decomposição da variância.