Aspectos quˆ anticos dos buracos negros
5.1 Radia¸ c˜ ao de Hawking
5.1.1 Processo de Emiss˜ ao de Radia¸ c˜ ao
Associado ao colapso gravitacional de um buraco negro, o espa¸co-tempo n˜ao pode estar sempre estacion´ario, raz˜ao pela qual espera-se a cria¸c˜ao de part´ıculas. Se o v´acuo absoluto realmente existisse, ele contrariaria o Princ´ıpio da Incerteza, de Werner Heisen-berg. Isso porque os campos eletromagn´eticos e gravitacionais seriam zero, o que equivale a dizer que a posi¸c˜ao e a velocidade de uma part´ıcula seriam iguais a zero, ou seja, ambas estariam determinadas, contrariando o postulado do Princ´ıpio da Incerteza. O v´acuo ´e cheio de part´ıculas potenciais, pares de mat´eria e antimat´eria virtuais, que est˜ao sendo constantemente criadas e destru´ıdas. Elas n˜ao existem como entidades observ´aveis, mas exercem press˜ao sobre outras part´ıculas, Efeito Casimir [24].
A cria¸c˜ao de pares virtuais de part´ıculas n˜ao viola a lei da conserva¸c˜ao da massa/energia porque elas existem em intervalos de tempo muito pequenos, muito menores do que o tempo de Planck (10−43s), de forma que n˜ao causam impacto nas leis macrosc´opicas. O v´acuo quˆantico ´e o estado mais baixo de energia, conhecido no universo (ao inv´es do que seria o Zero Absoluto). Posto que, o espa¸co-tempo exterior est´a est´atico, pode-se esperar ent˜ao que a cria¸c˜ao de part´ıculas seja um fenˆomeno transit´orio determinado pelos detalhes do colapso [53].
Um poss´ıvel fluxo de part´ıculas, em um dado momento, a frente no tempo ´e devido
`
a existˆencia de um horizonte e da independˆencia dos detalhes do colapso. H´a um tal fluxo de part´ıculas, e isso acaba por ser t´ermico - eis a Radia¸c˜ao Hawking.
Considerando-se apenas um campo escalar sem massa em um buraco negro do espa¸co-tempo de Schwarzschild denominado Φ. A frequˆencia positiva dos modos de sa´ıda de Φ tem o seguinte comportamento
Φω ∼ e−iωu. (5.8)
Pr´oximo `aI+, considere-se uma proxima¸c˜ao ´optica geom´etrica em que uma linha universo da part´ıcula ´e um raio nulo γ, de fase constante u e tra¸car-se-a este raio para tr´as no tempo de I+. Quanto mais a demora em intersectar I+, mais pr´oximo deve aproximar-se H+ no exterior do espa¸co-tempo antes de adentrar a estrela.
O parˆametro afim nesta geod´esica nula ´eU, ent˜ao, U =−. De forma equivalente, u = 1
k log (sobre γ e pr´oximo `a H+), (5.9)
assim,
Φω ∼ exp iω
k log
(pr´oximo aH+). (5.10) Estas oscila¸c˜oes aumentam cada vez mais r´apido `a medida que → 0, ent˜ao a aproxima¸c˜ao ´optica geom´etrica ´e justificada por sim. ´E necess´ario unir Φω em uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao deKlein Gordonpr´oxima deI−. Na aproxima¸c˜ao da ´optica geom´etrica, acaba-se por transportar paralelamente n e l de volta para I− ao longo da continua¸c˜ao de γH.
Seja o encontro desta continua¸c˜ao sobre I− em v = 0, a continua¸c˜ao do raio γ volta para I− e vai agora encontar I− em uma distˆancia afim ao longo de uma geod´esica nula de sa´ıda em I−.
O parˆametro afim das geod´esicas nulas de sa´ıda emI− ´ev (desdeds2 = du dv + r2 dΩ2 sobre I−), ent˜ao v =− em γ assim,
Φω ∼ exp iω
k log(−v)
, (5.11)
isto ´e, parav <0. Para v <0. um raio de sa´ıda nulo de I− passa porH+ e n˜ao alcan¸ca I+, ent˜ao Φω = Φω(v) em I−, em que
Φω(v) =
⎧⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎩
0 v > 0 expiω
k log(−v)
v < 0 .
(5.12)
Considerando aTransformada de Fourier, Φ˜ω =
∞
−∞
eiwvΦω(v)dv
= 0
−∞
exp
iwv + iw
k log(−v)
dv 5.1 Lema:
Φ˜ω(−ω) =−exp
−πω k
Φ˜ω(−ω) para ω >0 (5.13)
5.2 Prova:
Observando a figura 5.2, escolhe-se uma linha de corte 2 em v plano complexo para estar ao longo do eixo real.
2Uma linha de corte ´e uma curva (com fins possivelmente: aberto, fechado ou semi-aberto) no plano complexo em que uma fun¸c˜ao anal´ıtica com multiplas vari´aveis ´e descont´ınua. Por conveniˆencia, linhas de corte s˜ao muitas vezes tomadas como retas ou segmentos de reta [65].
Figura 5.2: Ilustra¸c˜ao representando a Linha de Corte no Plano-v Complexo.
Para ω > 0 gira-se o contorno ao eixo imagin´ario positivo e defina v = ix para obter
Φ˜ω(−ω) = −i ∞
0
exp
−ωx+iω
k log(xe−iπ/2)
dx
=−exp πω
2k
∞ 0
exp
−ωx+ iω
k log(x)
dx (5.14)
Sendoω >0, a integral converge. Quando ω <0 contorna-se o eixo imagin´ario negativo e define-se v =−ix para obter
Φ˜ω(−ω) = i ∞
0
exp
ωx+iω
k log(xeiπ/2)
d
= exp
−πω 2k
∞ 0
exp
ωx+iω
k log(x)
dx (5.15)
conclui-se ent˜ao que, 5.3 Corol´ario
Um modo da frequˆenciaω positiva sobreI+, finalmente ficam entre modos mistos positivos e negativos sobre I−. Pode-se identificar (para ω positivo)
Aωω = ˜Φω (ω) (5.16)
Aωω = ˜Φω (−ω) =−e−πω/kΦ˜ω (ω) (5.17)
como os coeficientes Bogoliubov 3, observa-se que,
Bij =−e−πωi/kAij. (5.18)
Mas, as equa¸c˜oes 5.16 e 5.17 devem satisfazer as rela¸c˜oes Bogoliubov, por exemplo,
δij = (AA†−BB†)ij
=
k
AikA∗jk − BikBjk∗
=
eπ(ωi+ωj)/k−1
k
BikBjk∗ . (5.19)
Considerando-sei=j para se obter
(BB†)ii = 1
e2πωi/k−1, (5.20)
´
e necess´ario o inverso dos coeficientes de Bogoliubov correspondente a um modo positivo sobre a frequˆenciaI− em correspondˆencia positiva, mista e modos de frequˆencia negativos sobre I+. Como visto anteriormente em B, o inverso do coeficiente ´e
B =−b. (5.21)
O final de part´ıculas atrav´es de I+ dado um v´acuo, ´e
Ni I+ = ((B)† (B))ii = (B∗ B)ii= (B B)∗ii. (5.22) Mas, (B B)ii´e tamb´em real, assim,
Ni I+ = 1
e2πωi/k−1. (5.23)
Esta ´e a distribui¸c˜ao de Planck para radia¸c˜ao de corpo negro na temperatura de Hawking TH = k
2π. (5.24)
Conclui-se que, o buraco negro dissipa sua energia a esta temperatura. Da Lei de Stephan-Boltzmann4
dE
dt −σATH4 (5.25)
3Coeficientes de Bogoliubov: (Transforma¸c˜oes de Bogoliubov) Conectam as informa¸c˜oes do raio que vem da regi˜ao plana do infinito passado e que passa por uma regi˜ao curva e segue para a regi˜ao plana do infinito futuro.
4A Lei de Stephan-Boltzmann afirma que a energia total irradiada por unidade de ´area de superf´ıcie de um corpo negro por unidade de tempoj∗ ´e diretamente proporcional `a quarta potˆencia da temperatura termodinˆamica do corpo negroT :j∗=σT4.
σ = π2k2B
603c2 (5.26)
em que A ´e a ´area do buraco negro, sendo
E = M c2 (5.27)
A =
M G c2
2
(5.28) kB TH ∼ c3
GM (5.29)
ter-se que,
dM
dt ∼ c4
G2M2 (5.30)
que resulta em um tempo de vida τ ∼
G2 c4
M3. (5.31)
Basicamente, o processo de emiss˜ao de radia¸c˜ao pode ser entendido imaginando-se que a radia¸c˜ao do par part´ıcula-antipart´ıcula ´e emitida na superf´ıcie do horizonte de eventos, assim, n˜ao prov´em essa radia¸c˜ao diretamente do buraco negro, mas, ´e o resultado de part´ıculas virtuais sob o efeito da a¸c˜ao gravitacional do buraco negro [38, 59].
Flutua¸c˜oes quˆanticas causam um par de part´ıcula-antipart´ıcula que aparecem pr´ o-ximas ao horizonte de eventos de um buraco negro, enquanto uma das part´ıculas do par cai no buraco negro, a outra escapa, evitando assim sua aniquila¸c˜ao. Objetivando a preserva¸c˜ao do total de energia, a part´ıcula que caiu no buraco negro assume uma energia negativa relativamente a um observador externo do buraco negro. Por interm´edio desse processo, o buraco negro perde massa, bem como, parecer´a a um observador externo que o buraco negro acaba de emitir uma part´ıcula [66, 67].
Constitui isso na explica¸c˜ao heur´ıstica que melhor corresponde ao c´alculo usual.
Um observador externo (no futuro) e distante do buraco negro n˜ao pode ver o que h´a dentro dele, ent˜ao possui informa¸c˜oes incompletas sobre o estado e observa-se ent˜ao um estado com entropia, um estado t´ermico, supondo-se assim que o buraco negro n˜ao ´e eterno. Aparentemente a computa¸c˜ao original de Stephen Hawking ao lidar com este caso foi posteriormente dilu´ıda `a sua explica¸c˜ao, assumindo que o buraco negro estaria l´a eternamente, a fim de simplificar os c´alculos.
Assim, fazendo-se uma transforma¸c˜ao de Bogoliubov para o v´acuo que come¸ca num estado em que existem pares de part´ıculas e antipart´ıculas, ent˜ao este ´e possivelmente o elo entre a matem´atica e a explica¸c˜ao heur´ıstica.