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CHAMADA
UNIDADE 2
TÓPICO 1 —
FÓRMULA DE BAYES
1 INTRODUÇÃO
Uma fórmula muito importante em Estatística e Probabilidade é a chamada Fórmula de Bayes, também conhecida como Teorema de Bayes, expressão deduzida por Thomas Bayes (1702-1961).
Como mencionado na Unidade 1, a estatística e a probabilidade exercem grande influência nos desenvolvimentos de física e ciências em geral, como na teoria cinética dos gases, em uma precisa conexão entre mecânica e termodinâmica (chamada de mecânica estatística), teoria quântica, teoria dos jogos etc. Especificamente, para a fórmula de Bayes, não é diferente. Com grandes aplicações em diversos ramos da ciência e da tecnologia, como inferência bayesiana (ramo da inferência estatística), bioestatística, análise de dados, Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (Markov Chain Monte Carlo) e cosmologia, a fórmula relaciona uma probabilidade a priori com uma probabilidade a posteriori.
A importância filosófica da fórmula está no fato de que informações prévias podem modificar a probabilidade de ocorrer um determinado evento futuro, dando contexto e subjetividade na forma de realizar um cálculo probabilístico.
Obviamente, a abordagem gerou (e gera, ainda hoje) muito criticismo, devido ao fato da perda da objetividade matemática.
Neste primeiro tópico da Unidade 2, começaremos introduzindo a chamada probabilidade condicional, para, então, posteriormente, estudar a fórmula de Bayes. Finalizaremos nossos estudos, abordando dois diferentes tipos de distribuições decorrentes da fórmula de Bayes, conhecidos como distribuição a priori e distribuição a posteriori.
Para conhecimento de quem foi Thomas Bayes e da importância dele, recomendamos a leitura do livro: PENA, S. D. Thomas Bayes: o ‘cara’! Ciência Hoje, v. 38, n. 228, p. 1, 2006.
DICAS
2 PROBABILIDADE CONDICIONAL
Para estudar a fórmula de Bayes é preciso estar a par da chamada probabilidade condicional. A probabilidade condicional envolve a intersecção de eventos do espaço amostral, como veremos a seguir. Antes de obter a fórmula, é preciso iniciar analisando uma situação simples, que temos visto na unidade anterior. Por exemplo, temos trabalhado o jogo de cartas de baralho no Tópico 3 da Unidade 1. Naquele caso específico, tínhamos nosso espaço amostral Ω, dado por:
Ω = {♣ , ♠ , ♢ , ♡ }
.Já sabemos, através dos nossos estudos prévios, que a probabilidade de acertar um determinado naipe, ao ser sorteada uma carta aleatoriamente, por exemplo, ♣, é de um quarto, ou seja:
Qual é a probabilidade de ocorrer o evento ♣, dada a informação adicional de que saiu um naipe de cor preta, e não vermelha? No caso, sabendo que o naipe sorteado foi de cor preta, devemos considerar B = {♣ , ♠}. A probabilidade de ter ocorrido o evento ♣ se torna, então:
Assim, podemos ver que a informação adicional associada (naipe de cor preta) influencia (condiciona) a probabilidade de ocorrência do evento aleatório ♣.
A partir daqui, usaremos a notação A/B para indicar que a ocorrência do fenômeno aleatória A está condicionada a uma ocorrência do fenômeno B. Assim, P(A/B) é a probabilidade de ocorrer A com a informação adicional da ocorrência de B.
ATENCAO
Podemos refazer o resultado P(♣/B) = 1/2 da seguinte maneira:
Encontramos a probabilidade da intersecção de ♣ e B = {♣ , ♠}, com divisão pela probabilidade de ocorrência do evento B, isto é:
Para mostrar que a fórmula anterior é válida, basta observar que a probabilidade de ocorrência da intersecção ♣ ∩ {♣, ♠} é de um quarto (pois temos somente um elemento que é, simultaneamente, naipe preto e de paus). Uma vez que a probabilidade de se encontrar um naipe preto é de um meio, é possível encontrar o valor de P(♣/B) pela fórmula anterior. Desse modo, teremos, então:
Logo, para essa situação específica, a fórmula se mostra válida.
De maneira geral, a probabilidade de ocorrência do fenômeno A condicionada a uma ocorrência do fenômeno B é dada pela seguinte expressão matemática:
(1)
Usualmente, P(A/B) é, também, chamado de probabilidade a posteriori (do latim, caso genitivo de posterior, "do seguinte", "do depois" ou "do posterior") de A condicionada a B. Observe o exposto a seguir:
FIGURA 1 – INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS
FONTE: O autor
Para ilustrar a fórmula (1), é preciso considerar a probabilidade de um certo fenômeno aleatório ser calculada através da definição clássica de probabilidade.
Da Unidade 1 (equação (18)), devemos lembrar que a probabilidade é definida, classicamente, como:
Dessa forma, para casos nos quais podemos aplicar a definição clássica, a probabilidade condicional (1) pode ser reescrita como:
Assim, em casos nos quais podemos aplicar a definição clássica, basta contarmos o número de elementos da intersecção de A e B e dividirmos pelo número de elementos de B, como temos feito no exemplo das cartas de baralho.
No exemplo das cartas, usamos a definição clássica para calcular a probabilidade, uma vez que, naquele exemplo, n°(♣ ∩ {♣, ♠}) = 1 e n°({♣, ♠}) = 2, encontramos P(♣/B) = 1/2. Desse modo, podemos pensar na probabilidade condicional como a razão entre o “tamanho” da intersecção de A e B pelo
“tamanho” de B.
Lembrando os nossos estudos na Unidade 1, se A e B são mutualmente exclusivos, A ∩ B = Ø. Logo, nossa probabilidade condicional será nula. No exemplo das cartas de baralho, esse resultado significa que, sabendo que o naipe sorteado é de cor vermelha, a probabilidade de encontrar ♣ é nula, pois, no caso, n° (♠ ∩ {♢ ,♡}) = 0.
A seguir, analisaremos outro exemplo para fixar nosso conhecimento acerca da probabilidade condicional.
Supomos que, em um certo jogo de basquete, temos um público de doze mil pagantes. Do público total, dois mil e seiscentos são mulheres. O time “da casa”
fez um sorteio para premiar alguma torcedora com algum produto específico para o público feminino. No entanto, a quantidade de torcedores do time visitante é de quatro mil e quinhentos pagantes, sendo um total de oitocentas mulheres. Sabendo que o prêmio saiu para um torcedor do time da casa, qual a probabilidade de que o prêmio tenha saído para uma mulher? Antes de prosseguirmos, podemos construir um quadro para organizar as informações necessárias.
QUADRO 1 – DESCRIÇÃO DO SEXO DOS TORCEDORES
FONTE: O autor
Time Torcedores ambos os sexos Torcedores Torcedoras
Time da casa 7500 5700 1800
Time visitante 4500 3700 800
Para obtermos o resultado correto, podemos trabalhar a fórmula da probabilidade condicionada (1).
Consideramos que A está associado com a “quantidade de mulheres”, e, B, com a de “torcedores do time da casa”. Para encontrarmos P(A ∪ B), devemos saber qual a quantidade de mulheres que é torcedora do time da casa.
Do quadro anterior, vemos que:
n° (A ∩ B) = 1800
.Como, no caso, deve-se usar a definição clássica de probabilidade, isto é, P = n°/N°, encontramos:
Para acharmos o valor de P(B), devemos, novamente, aplicar a definição clássica de probabilidade. Lembrando que B está associado com os torcedores do time da casa:
n°(B) = 7500
.Logo, obtemos, para P(B), a seguinte probabilidade:
Desse modo, com os resultados, a probabilidade de ser sorteada uma mulher, sendo, ela, torcedora do time da casa, será de:
Como no caso trabalhado, podemos usar a definição clássica de probabilidade, assim, é possível encontrar o resultado anterior fazendo diretamente: P(A/B) = n°(A ∩ B)/n°(B) = 1800/7500 = 0,24. Logo, a probabilidade de ser mulher, condicionada a ser torcedora do time da casa, é de 24%.
Para finalizar o nosso exemplo, consideraremos que o time da casa esteve reservando 62,5% da capacidade do público total para os torcedores, como no exemplo que acabamos de trabalhar. No entanto, o time da casa quer, no mínimo, que a probabilidade de ser sorteada uma mulher, sendo sua torcedora, seja de 40%.
Então, quantos ingressos devem ser colocados para venda para o público geral, sabendo que foram colocados, para venda, três mil e quinhentos ingressos para as torcedoras do time da casa? No caso, temos que P(B) = 0,625 e P(A/B) = 0,4. Logo, a probabilidade de ser mulher e sua torcedora é de P(A ∩ B) = 0,25.
Uma vez que encontramos P(A ∩ B) e sabendo que n°(A ∩ B) = 3500, obtemos:
Assim, para que a probabilidade de ser uma mulher, condicionada a ser sua torcedora, seja de, no mínimo, 40%, a equipe da casa deve vender, no máximo, 14000 ingressos.
Seguindo nossos estudos, estudaremos, agora, a chamada Fórmula de Bayes.
3 FÓRMULA DE BAYES
Para obtermos a fórmula de Bayes, consideraremos a equação (1), realizando a seguinte manipulação:
P(A ∩ B) = P(B)P(A/B)
.Agora, consideraremos o caso P(B/A) em (1), repetindo a manipulação feita anteriormente, isto é:
P(B ∩ A) = P(A)P(B/A)
.Desde que a intersecção do evento A com B seja a mesma do evento B com A, ou seja, A ∩ B = B ∩ A, podemos igualar as fórmulas para, então, obter:
(2)
Como já havíamos mencionado, P(A/B) é dito a probabilidade a posteriori.
Nessa nomenclatura, costuma-se chamar, também, P(A) de probabilidade a priori (do latim, caso genitivo de prior, "de antes" ou "do anterior").
Considerando o complemento Aʿ de A, e Ω = A ∪ Aʿ, e sendo A e Aʿ mutualmente exclusivos, isto é, A ∩ Aʿ = Ø, podemos decompor P(B) da seguinte maneira (ver Unidade 1):
P(B) = P(B ∩ A)+ P(B ∩ A ʿ )
.Logo, substituindo o resultado anterior por P(A/B), encontramos:
Finalmente, lembrando que P(B ∩ A) = P(A)P(B/A), a última expressão fica:
(3)
A expressão (3) é conhecida como Fórmula de Bayes.
Para entendermos melhor a expressão matemática de Bayes, analisaremos o exemplo que segue.
Há dois dados, sendo, um deles, viciado, enquanto o outro não. A significa ser o evento aleatório “dado viciado V” e, B, o evento “face seis do dado 6”.
Suponhamos que a probabilidade do evento 6 ocorrer no dado viciado seja de um terço, isto é:
Sorteando, aleatoriamente, um dos dados, jogando-o e observando o evento 6, queremos saber: qual a probabilidade de termos sorteado o dado viciado uma vez observado o evento aleatório 6?
Para obtermos o resultado correto, devemos observar que P(V/6) indica a probabilidade de ter sorteado o dado viciado quando observado o evento 6, ou seja, justamente o que queremos encontrar. Observamos, ainda, que P(V) é a probabilidade de sortear o dado viciado, enquanto P(Vʿ) a de sortear o não viciado. Como o dado deve ser escolhido aleatoriamente:
Como última observação, notamos que a probabilidade de o evento 6 ocorrer, sendo, este, o dado não viciado, é de:
Agora, para encontrarmos o resultado, basta aplicar os valores anteriores na Fórmula de Bayes (3), ou seja:
Substituindo os valores, encontramos:
Desde que, observando o evento 6, as únicas opções são que um dos dois dados tenha sido sorteado, devemos ter P(V/6) + P(Vʿ/6) = 1.
Para verificar que tal resultado é válido, é preciso fazer:
Logo, o resultado P(V/6) + P(Vʿ/6) = 1 é válido.
Agora, estudaremos uma generalização da fórmula de Bayes. Por exemplo, podemos considerar o exemplo anterior para um número genérico de dados divididos em grupos de diferentes “graus” com vícios. Assim, podemos dizer que existe um número ni de dados viciados de tal forma que P(6/Vi) assuma um valor qualquer, baseado em tal grau. Por exemplo, se, no exemplo anterior, adicionarmos dois dados viciados de tal maneira que:
qual a probabilidade de termos observado o mesmo dado do exemplo anterior, sendo P(6/V) = 1/3, quando sair a face 6?
Para o caso específico, teremos:
P(6) = P(6 ∩ V)+ P(6 ∩ V₁)+ P(6 ∩ V₂)
.Aqui, estamos denotando V₁ para o dado não viciado do exemplo anterior, e, V2, para os dados adicionados. Usando a equação (2) e lembrando que P(B ∩ A) = P(A)P(B/A), obtemos:
Suponhamos que temos um total de N dados repartidos em grupos com diferentes graus de vícios, como N = ∑ni. A probabilidade de sortearmos, do montante, um dado de um certo grupo com grau de vício Vi, é de:
Uma vez que temos quatro dados, agora, para serem sorteados:
Já para P(V2), devemos considerar que temos dois dados no montante de quatro:
Logo, aplicando os valores de probabilidade em P(V/6), encontramos:
Generalizando o resultado anterior, podemos encontrar a forma estendida da Fórmula de Bayes. Para isso, devemos considerar o espaço amostral repartido em várias repartições, como: Ω = Ui=1 Ai, sendo Ai ∩ Aj = Ø, como na representação a seguir:
FIGURA 2 – INTERSECÇÃO DE N EVENTOS, SENDO Ω = Ui=1 Ai E Ai ∩ Aj =Ø
FONTE: O autor
Uma vez que, neste caso:
P(B) = ∑P(B ∩ Ai)
,Substituindo a relação P(B ∩ Ai) = P(Ai)P(B/Ai), teremos:
(4)
A forma anterior é a fórmula de Bayes estendida.
No que segue, estudaremos a fórmula (4), e introduziremos os conceitos de distribuição a priori e a posteriori.
Para uma compreensão da fórmula de Bayes no chamado problema de Monty Hall, recomendamos a leitura do artigo encontrado no link a seguir: https://www.voitto.
com.br/blog/artigo/teorema-de-bayes. Uma discussão (podcast) também recomendada do teorema pode ser acessada em https://www.deviante.com.br/podcasts/scicast-377/.
DICAS
Na Unidade 1, nós estudamos diferentes tipos de distribuições de probabilidade. Aqui, analisaremos situações nas quais uma dada distribuição pode ser “moldada”, de acordo com algum conhecimento prévio do sistema que estamos analisando. Em conexão com a fórmula de Bayes, estudaremos, conceitualmente, as distribuições a priori e a posteriori.
Um exemplo usual para entender tais distribuições é considerar uma sacola com bolas coloridas. Vamos tirando, aleatoriamente, um número definido de bolas, sem reposição. Assim, suponha que temos quatro bolas em uma sacola com diferentes tipos de cores, e retiramos duas bolas consecutivamente, sem repormos as bolas retiradas. Ao retirarmos tais bolas, verificamos que elas são da cor verde. Uma pergunta que podemos fazer é: qual é a probabilidade de termos apenas duas bolas verdes na sacola?
Para obtermos a resposta, devemos considerar a equação (4). Consideremos que Ai é o número de bolas verdes na sacola. Assim, A0 significa que não temos bolas verdes na sacola, A1 uma, e assim por diante, até A4. Já B indica o número de bolas verdes entre duas retiradas. Desde que temos observado duas bolas verdes após duas retiradas, B assume o valor B = 2. Desse modo, P(A2/B = 2) é a probabilidade de termos um total de duas bolas verdes após observarmos duas delas ao retirarmos duas bolas aleatoriamente. No entanto, podemos nos indagar a respeito dos valores dos P(Ai), isto é, das probabilidades de termos nenhuma bola verde, uma bola verde etc.
A priori, todas as quantidades são igualmente prováveis, ou seja:
4 DISTRIBUIÇÕES A PRIORI E A POSTERIORI
Por P(B = 2/A2), entende-se como a probabilidade de observarmos duas bolas verdes, sendo retiradas apenas duas bolas, caso tenhamos somente duas verdes no total de quatro. Matematicamente:
Agora, para encontrarmos o resultado final, basta sabermos os valores dos demais P(B = 2/Aj), que aparecem na somatória, em (4).
Devemos reparar que P(B = 2/A0) e P(B = 2/A1) são nulos. Desde que temos observado duas bolas verdes, é impossível que, na sacola, não tenha ou tenha apenas uma bola verde. Finalmente, basta encontrar as probabilidades P(B = 2/A3) e P(B = 2/A4). Para P(B = 2/A3):
Para P(B = 2/A4):
Aplicando os resultados anteriores na fórmula (4):
Logo, a probabilidade de que tenhamos apenas duas bolas verdes na sacola, após observarmos duas bolas verdes em duas retiradas aleatórias, é de um décimo.
Devemos notar que a informação adicional do sistema diminuiu nossa confiança, desde que P(A2) = 1/5 > P(A2/B = 2) = 1/10. Assim, no caso, podemos concluir que, nossa crença, de encontrar duas bolas verdes, é menor quando sabemos que, de duas retiradas, duas eram verdes. Tal situação ocorre porque a probabilidade a priori é maior do que a probabilidade a posteriori.
Podemos ampliar nossas análises para P(A3/B = 2), isto é, a probabilidade de termos três bolas verdes na sacola depois de retirarmos e observarmos duas verdes.
Procedendo, similarmente, como no caso anterior, encontraremos:
Ampliando, ainda, para P(A4/B = 2), verificamos que a possibilidade de termos quatro bolas verdes na sacola é de:
Com os resultados obtidos até aqui, podemos estabelecer uma distribuição a priori e uma distribuição a posteriori para o exemplo trabalhado.
Como temos visto, a probabilidade de encontrarmos qualquer quantidade de bolas verdes é, a priori, estabelecida pelos valores P(Ai) = 1/5.
Assim, o conjunto de valores P(Ai) fornece a distribuição a priori. Ainda, ao retirarmos duas bolas e observarmos que ambas são verdes, encontramos uma distribuição a posteriori, dada pelo seguinte conjunto de valores: P(A0/B = 2)
= P(A1/B = 2) = 0, P(A2/B = 2) = 1/10, P(A3/B = 2) = 3/10 e P(A4/B = 2) = 6/10.
Podemos representar, graficamente, as distribuições a priori e a posteriori obtidas no nosso exemplo:
GRÁFICO 1 – COMPARATIVO DAS DISTRIBUIÇÕES A PRIORI E A POSTERIORI
FONTE: O autor
Do gráfico, podemos notar que, com uma informação adicional, regida por uma verificação prévia, podemos “atualizar” a distribuição da probabilidade do sistema.
Podemos verificar que as duas distribuições contemplam o requerimento de distribuições ∑P = 1, uma vez que:
Para a distribuição a priori:
Para a distribuição a posteriori.
Agora, se, na mesma situação anterior, retirarmos apenas uma bola e verificarmos que ela é de cor verde, qual será a distribuição a priori e a posteriori?
No caso, ainda teremos a mesma distribuição a priori, uma vez que, novamente, para qualquer Ai: P(Ai) = 1/5.
Para estabelecermos a distribuição a posteriori, devemos, antes, encontrar os valores de P(B = 1/Aj). De maneira similar, para as análises que fizemos para o caso anterior, encontramos os seguintes valores:
P(B = 1/A0) = 0
,P(B = 1/A1) = 1/4
,P(B = 1/A2) = 1/2
,P(B = 1/A3) = 3/4
eP(B = 1/A4) = 1
.Com os resultados, podemos, então, encontrar nossa distribuição a posteriori, descrita pelo conjunto de valores P(Ai/B = 1). Para P(A0/B = 1), temos:
P(A0/B = 1) = 0
,Desde que é impossível não termos nenhuma bola se já verificamos a existência de, pelo menos, uma.
Para os valores não nulos, encontramos:
Novamente, podemos verificar que a nossa distribuição a posteriori contempla o requerimento ∑P = 1, pois:
Segue um comparativo entre essa distribuição posteriori com a obtida no exemplo anterior, além da distribuição a priori:
GRÁFICO 2 – COMPARATIVO DAS DISTRIBUIÇÕES A PRIORI, A POSTERIORI B = 1 E A POSTERIORI B = 2
FONTE: O autor
Observando o gráfico, podemos notar que nossa distribuição a posteriori já é diferente do que a do caso trabalhado anteriormente. Podemos concluir que a distribuição de probabilidade de um sistema pode ser moldada de acordo com algum conhecimento prévio.
Em geral, a distribuição binomial também pode ser tratada no contexto de distribuições a priori e a posteriori. Assim, para finalizar o tópico, novamente, consideraremos o caminho aleatório:
É preciso considerar o caso a partir do qual não sabemos da probabilidade de o marinheiro andar para frente ou para trás, isto é, somos completamente ignorantes acerca do valor de P>.
A priori, podemos pensar que a probabilidade de o marinheiro andar para frente ou para trás seja a mesma, ou seja, P> = 1/2. Desse modo, obtemos a expressão para o caminho aleatório:
Assim, depois de o marinheiro caminhar X = 4 passos, a distribuição será:
Substituindo, então, os valores ΔX = –4, –2, 0, 2, 4, encontramos a distribuição a seguir:
GRÁFICO 3 – DISTRIBUIÇÃO A PRIORI DO ANDAR DO MARINHEIRO
FONTE: O autor
No entanto, por alguma razão, se soubermos que a probabilidade de encontrarmos o marinheiro na posição ΔX = 3, depois de X = 3 passos, seja a de P(3) = 8/27, a distribuição de probabilidade deve assumir uma forma diferente.
Desde que P(3) = 8/27 para ΔX = 3 e X = 3, teremos:
Logo, encontramos que a probabilidade de o marinheiro andar para frente é de P> = 2/3. Assim, podemos reconstruir nossa distribuição para X = 4. Substituindo os valores P> = 2/3 e ΔX = –4, –2, 0, 2, 4, obtemos a seguinte distribuição:
GRÁFICO 4 – DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI DO ANDAR DO MARINHEIRO
FONTE: O autor
Logo, vemos que o conhecimento prévio de uma informação em X = 3 influenciou diretamente na forma final da distribuição da probabilidade em X = 4.
Uma vez que, neste caso, a probabilidade se relaciona como o fator de normalização pela relação:
podemos reescrever a probabilidade a posteriori proporcional a um produto entre a probabilidade e outra função:
Em geral, tal função é entendida como uma função de verossimilhança L, sendo, a relação entre as probabilidades a priori e a posteriori, dada pela relação de proporcionalidade:
P
posteriori∝ L
Ppriori. Para a fórmula de Bayes (4), a relação é dada por:P(Ai/B) ∝ P(Ai)P(B/Ai)
.No caso, a função da verossimilhança será L = P(B/Ai), uma vez que P(Ai/B) é a probabilidade a posteriori e, P(Ai), a probabilidade a priori.
A função da verossimilhança é base de uma área muito importante da estatística, conhecida como Inferência Bayesiana, a qual, neste curso, não trabalharemos, mas o leitor poderá, com essa introdução básica, pesquisar mais a respeito do assunto.
Neste tópico, você aprendeu que:
• Muitas vezes, o cálculo de probabilidade pode estar condicionado a alguma informação prévia.
• Existem as chamadas probabilidades a priori e a posteriori.
• O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento baseado em um conhecimento a priori que pode estar relacionado. Tal teorema mostra como atualizar as probabilidades, tendo em vista novas evidências.
• A fórmula de Bayes relaciona, matematicamente, uma probabilidade a priori e uma a posteriori.
• Uma distribuição a priori é a distribuição da probabilidade estabelecida sem qualquer informação prévia do sistema.
• Uma distribuição a posteriori é a distribuição de probabilidade estabelecida depois de acessar algumas informações acerca do sistema.
RESUMO DO TÓPICO 1
AUTOATIVIDADE
1 Na probabilidade, a dita probabilidade condicional é obtida quando a forma de procedermos com certo cálculo probabilístico é guiada pelo conhecimento de certas informações complementares. Considerando um jogo de dados que consiste em uma sequência de três jogadas, e sabendo que, após as três jogadas, observou-se que a soma gerou o número oito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as sentenças falsas:
( ) Para qualquer resultado que pode ser obtido somando as três jogadas, a probabilidade de serem sorteados dois números ímpares é de 83,3%.
( ) Sabendo, previamente, que dois dados forneceram números ímpares, a probabilidade de o resultado ser consequência da soma composta pelos números um, três e quatro é de 40%.
( ) Sabendo, previamente, que todos os dados forneceram números pares, a probabilidade de o resultado ser consequência da soma da sequência dos números dois-quatro-dois é de 25%.
( ) Sabendo, previamente, que dois dados forneceram números ímpares, a probabilidade de o resultado ser consequência da soma da sequência dos números seis-um-seis é de 6,6%.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – F – V.
b) ( ) V – V – V – F.
c) ( ) F – V – F – V.
d) ( ) V – V – F – V.
2 Como temos estudado, vimos que, explicitamente, a probabilidade condicional é dada pela seguinte fórmula
sendo, P(A/B), a probabilidade de A condicionada a B, P(B), a probabilidade da ocorrência de B, e, P (A ∩ B), a probabilidade da intersecção de A e B. Um exemplo é considerar uma cidade de 200000 habitantes, com a divisão de classes sociais representada a seguir:
A classe de grupos étnicos da mesma cidade está dividida, como poderemos ver a seguir:
Classe Social A B C
Porcentagem da População 6 54 40
Grupo Étnico D E F
Porcentagem da População 30 44 26
assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Sendo P(C/E) = 0, a quantidade de pessoas da classe C que pertence ao grupo étnico E é de 41600 cidadãos.
b) ( ) Sendo P(A/F) = 0,4, a quantidade de pessoas da classe A que pertence à classe F é de 18400 cidadãos.
c) ( ) Sendo P(B/A) = 0,3, a quantidade de pessoas da classe B que pertence à classe A é de 3600 cidadãos.
d) ( ) Sendo P(D/C) = 0,2, a quantidade de pessoas do grupo étnico D que pertence à classe C é de 16000 cidadãos.
e) ( ) Sendo P(E/B) = 0,4, a quantidade de pessoas do grupo étnico E que pertence à classe B é de 34000 cidadãos.
3 A fórmula generalizada de Bayes é dada pela seguinte expressão matemática
sendo, P(Ai/B), a probabilidade de Ai condicionada a B.
Com base na fórmula, considere dez dados, sendo, um deles, não viciado. Já para os dados viciados, dois deles têm probabilidade de 20% de ser sorteado o número um, três deles, de 25% e, quatro deles, de 50%.
Com a fórmula generalizada de Bayes e os itens a seguir:
Com a fórmula generalizada de Bayes e os itens a seguir: