Um processo estoc´astico ´e um fen´omeno estat´ıstico que evolui no tempo de acordo com leis probabil´ısticas. O processo estoc´astico ´e a extens˜ao do conceito de vari´avel aleat´oria.
Defini¸c˜ao 1 Um processo estoc´astico ´e qualquer cole¸c˜ao ou fam´ılia de vari´aveis aleat´orias definidas por {Y (t), t ∈ T }, em que Y (t) ´e uma vari´avel aleat´oria (ou conjunto de vari´avei aleat´orias) com contradom´ınio S, denominado por espa¸co de estados. T ´e um conjunto de ´ındices ordenados representado o tempo e ´e denominado por espa¸co de parˆametros (Alpuim, 2003).
Formalmente, define-se uma s´erie temporal como o conjunto de observa¸c˜oes de um processo estoc´astico {Y (t), t ∈ T }, nos instantes t1, t2, . . . , tn. As observa¸c˜oes s˜ao
observadas em intervalos de tempo regulares, considerando-se o t inteiro (i.e., t = 0, ±1, ±2, . . .). Sendo que, para T = Z ou T = N o processo ´e de tempo discreto. Para T = R ou T = R+ o processo ´e de tempo cont´ınuo.
Existem duas formas de caracterizar um processo estoc´astico. Uma das formas ´e especificar a distribui¸c˜ao de probabilidade conjunta das suas n vari´aveis aleat´orias (Y (t1), . . . , Y (tn)) para todos os inteiros n e pontos t1, . . . , tn. Mas esta maneira de
caracterizar o processo estoc´astico ´e de extrema dificuldade e, na pr´atica, n˜ao vi´avel. A alternativa passa pela caracteriza¸c˜ao do processo estoc´astico a partir das fun- ¸c˜oes determin´ısticas a ele associadas. Estas fun¸c˜oes determin´ısticas s˜ao particular- mente importantes para a caracteriza¸c˜ao do comportamento do processo, ou seja, os
momentos do processo. Em particular, descrever o primeiro (valor m´edio) e segundo momentos (fun¸c˜ao de autocovariˆancia) designados por
– µ(t) = E[Y (t)], para t = 0, ±1, ±2, . . . ,
– γ(t1, t2) = E[(Y (t1) − µ(t1))(Y (t2) − µ(t2))], t = 0, ±1, ±2, . . ..
A variˆancia σ2(t) = V ar[Y (t)] para t = 0, ±1, ±2, . . ., ´e um caso particular da fun¸c˜ao autocovariˆancia quando t1 = t2.
Na inferˆencia estat´ıstica sobre a estrutura de um processo estoc´astico, baseada nos valores observados ´e usual assumir-se algumas suposi¸c˜oes. A mais importante das suposi¸c˜oes ´e a estacionariedade. Os processos estoc´asticos dividem-se em estaci- on´arios e n˜ao estacion´arios.
3.2.1
Processos estacion´arios
A ideia mais simples de estacionariedade ´e a de que a lei de probabilidade subja- cente ao comportamento do processo n˜ao se altera ao longo do tempo. Um processo estacion´ario ´e um processo estoc´astico, em que os valores da vari´avel aleat´oria se distribuem no tempo, em torno de um valor m´edio constante e a independˆencia entre os valores observados em diferentes instantes t ´e assumida. Neste tipo de processos a m´edia e a variˆancia s˜ao constantes, n˜ao sendo, assim, necess´ario o conhecimento do valor na origem da s´erie (Alpuim, 2003).
Para um processo estacion´ario {Y (t), t ∈ T } com variˆancia finita, ∀t ∈ T
Definem-se dois tipos de estacionariedade. Estacionariedade forte ou estrita- mente estacion´ario e estacionariedade fraca ou de segunda ordem (Shumway e Stoffer (2017)).
Defini¸c˜ao 2 Um processo estacion´ario {Y (t), t ∈ T } diz-se estritamente estacion´a- rio (ou fortemente estacion´ario) se a distribui¸c˜ao conjunta de (Y (t1), ..., Y (tn)) ´e
igual `a distribui¸c˜ao conjunta de (Y (t1+ δ), ..., Y (tn+ δ)) qualquer que seja o n-´uplo
(t1, ..., tn) e para qualquer δ, i.e.,
F(Y (t1),...,Y (tn))(y1, ..., yn) = F(Y (t1+δ),...,Y (tn+δ))(y1, ..., yn), em todos os pontos (y1, ..., yn). (3.3) A condi¸c˜ao de estacionaridade restrita implica o conhecimento de todas as distri- bui¸c˜oes marginais, o que torna a verifica¸c˜ao muito dif´ıcil na pr´atica, al´em disso, n˜ao ´e aplic´avel `a maioria das s´eries temporais (Alpuim, 2003). Desta forma, ´e usual aplicar
a defini¸c˜ao mais simples que imp˜oe condi¸c˜oes apenas nos dois primeiros momentos da s´erie temporal (estacionaridade de segunda ordem).
Defini¸c˜ao 3 Um processo Y (t), t ∈ T diz-se estacion´ario de segunda ordem (ou fracamente estacion´ario) se todos os momentos at´e `a segunda ordem de (Y (t1), ..., Y (tn)) existem e s˜ao iguais aos momentos correspondentes at´e `a segunda
ordem de (Y (t1 + δ), ..., Y (tn+ δ)). Desta forma, um processo Y (t) ´e fracamente
estacion´ario (de segunda ordem) se:
1. µ(t) = µ, o valor m´edio n˜ao depende de t; 2. σ2(t) = σ2, a variˆancia n˜ao depende de t;
3. Cov[Y (t1), Y (t2)] = γ(|t2− t1|), a covariˆancia depende apenas do desfaza-
mento t2− t1.
Um processo estritamente estacion´ario, com variˆancia finita ´e tamb´em um pro- cesso estacion´ario de segunda ordem. A rec´ıproca pode n˜ao se verificar.
3.2.2
Fun¸c˜oes de autocovariˆancia, autocorrela¸c˜ao e autocor-
rela¸c˜ao parcial
A fun¸c˜ao de autocovariˆancia ´e a fun¸c˜ao de covariˆancia entre realiza¸c˜oes de um processo estoc´astico observadas em diferentes horizontes de tempo e desfasadas em k unidades de tempo (lag).
Defini¸c˜ao 4 A fun¸c˜ao de autocovariˆancia, para um processo estacion´ario, ´e defi- nida por
γk= Cov[Yt, Yt+k] = E[(Yt− µ)(Yt+k− µ)].
Se o processo ´e de tempo cont´ınuo, γk ´e definida para k ∈ R, se processo ´e de
tempo discreto γk ´e definida para k ∈ Z.
O estimador da fun¸c˜ao de autocovariˆancia para um processo estacion´ario de segunda ordem ´e dado por
ˆ γk = 1 n n−k X t=1 (Yt− ¯Y )(Yt−k− ¯Y ).
Quanto maior o valor de k, maior o desvio entre o valor estimado ˆγk e o valor da
fun¸c˜ao γk. Desta forma, deve-se estimar ˆγk apenas para os primeiros n4 valores de k
A fun¸c˜ao de autocovariˆancia deve respeitar as seguintes propriedades: 1. γ0 = Cov[Yt, Yt] = V ar[Yt] = σ2;
2. γk= γ−k;
3. |Yk| ≤ γ0 como consequˆencia da desigualdade de Cauchy-Schwarz, |E[XY ]| ≤
pE(X2)E(Y2);
4. ´E semidefinida positiva, Pn
i=1
Pn
j=1αiαjγ(|ti− tj|) ≥ 0 , onde α1, ..., αn repre-
sentam um conjunto de n´umeros reais e t1, ..., tn os instantes de tempo.
A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao mede a correla¸c˜ao entre realiza¸c˜oes de um processo estoc´astico observadas em diferentes horizontes de tempo e desfasadas em k unidades de tempo (lag). Desta forma, interpreta-se ρk como uma medida da semelhan¸ca
entre cada realiza¸c˜ao e a mesma realiza¸c˜ao deslocada k unidades de tempo iguais (Murteira et al., 2000).
Defini¸c˜ao 5 A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (FAC), para um processo estacion´ario, ´e definida por ρk = Corr[Yt, Yt+ k] = Cov[Yt, Yt+k] pV ar[Yt]V ar[Yt+k] = Cov[Yt, Yt+k] V ar[Yt] = γk γ0 .
O estimador da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao para um processo estacion´ario de se- gunda ordem ´e representado pela seguinte express˜ao
ˆ ρk = ˆ γk ˆ γ0 = Pn−k t=1(Yt− ¯Y )(Yt+k− ¯Y ) Pn t=1(Yt− ¯Y )2 .
A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao deve respeitar as seguintes propriedades:
1. ρ0 = Corr[Yt, Yt] = 1;
2. ρk= ρ−k;
3. |ρk| ≤ 1, como consequˆencia da desigualdade de Cauchy-Schwarz, |E[XY ]| ≤
pE(X2)E(Y2);
4. ´E semidefinida positiva, Pn
i=1
Pn
j=1αiαjρ(|ti− tj|) ≥ 0 , onde α1, ..., αn repre-
Defini¸c˜ao 6 A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parcial (FACP), para um processo estaci- on´ario ou conjunto de autocorrela¸c˜oes parciais de desfasamento (lag) k ´e dado por {φkk : k = 1, 2, . . .} onde φkk= Corr[Yt, Yt+k|Yt+1, Yt+2, . . . , Yt+k−1] = |P∗ k| |Pk| ,
e Pk∗ ´e a matriz k × k de autocorrela¸c˜oes onde a ´ultima coluna ´e substitu´ıda por [ρ1 ρ2 . . . ρk]T. A matriz Pk ´e dada por
Pk = 1 ρ1 ρ2 · · · ρk−1 ρ1 1 ρ1 · · · ρk−2 ρ2 ρ1 1 · · · ρk−3 .. . ... ... . .. ... ρk−1 ρk−2 · · · ρ1 1 .
obtendo-se as seguintes propriedades: 1. φ11= ρ1; 2. φ22= ρ2−ρ21 1−ρ2 1 ; 3. φ33= ρ3(1−ρ21)+ρ1(ρ21+ρ22−2ρ2) (1−ρ2)(1+ρ2−2ρ21) .
O correlograma te´orico ´e a representa¸c˜ao gr´afica de ρkem fun¸c˜ao de k. A an´alise
do correlograma ´e uma ferramenta de extrema utilidade na identifica¸c˜ao de v´arias carater´ısticas de uma s´erie temporal e constitui um auxiliar importante na escolha do modelo que lhe ´e mais adequado. O aumento de k traduz-se no decr´escimo de ρk e, consequentemente, de γk , ou seja, excetuando casos especiais, o aumento de k
implica o decr´escimo de γk e de ρk, isto ´e
k → +∞, ρk → 0 e ρk → +∞.
3.2.3
Ru´ıdo Branco
Defini¸c˜ao 7 O processo estacion´ario designado de ru´ıdo branco, {εt, t ∈ Z}, o qual
´e definido como a sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, de m´edia e variˆancia constantes. Desta forma, um processo estoc´astico ´e um ru´ıdo branco se satisfaz as condi¸c˜oes:
2. V ar(εt) = σε2;
3. Cov(εt, εt+k) = γk = 0, k = ±1, ±2, . . . .
Como a m´edia e a fun¸c˜ao de autocovariˆancia n˜ao dependem do tempo, o processo ´e estacion´ario de segunda ordem.
Adicionalmente, se as vari´aveis aleat´orias seguem uma distribui¸c˜ao Normal, i.e., εt ∼ N (µε, σε2), ent˜ao o processo εt ´e designado por ru´ıdo branco Gaussiano. Este
processo ´e muito ´util na constru¸c˜ao de modelos estoc´asticos, embora dificilmente se observe em s´eries reais. Um bom modelo de previs˜ao dever´a produzir erros de previ- s˜ao com comportamento semelhante ao de um ru´ıdo branco, dada a imprevisibilidade inerente ao ru´ıdo branco.
Figura 3.1: Simula¸c˜ao de um ru´ıdo branco e repectivas FAC e FACP emp´ıricas.
Na Figura 3.1 encontra-se representada uma trajet´oria de um processo de ru´ıdo branco e as respectivas FAC e FACP estimadas.