Nessa se¸c˜ao iremos definir um produto entre espa¸cos quadr´aticos, que ter´a por base o produto tensorial entre espa¸cos vetoriais. Consideraremos conhecido o conceito de produto tensorial e indicamos [Bha] como referˆencia.
Defini¸c˜ao 1.70. Sejam (V1, B1, q1) e (V2, B2, q2) doisF-espa¸cos quadr´aticos de dimens˜ao m e n, respectivamente. Tomemos um novo espa¸co vetorial V :=V1⊗V2 (⊗F =⊗), ou seja, o produto tensorial sobreF dos espa¸cos vetoriaisV1 eV2. ConsidereB :V×V −→F a ´unica aplica¸c˜ao bilinear sim´etrica tal que
B(v1⊗v2, v10 ⊗v20) = B1(v1, v01)·B2(v2, v02), onde vi, vi0 ∈Vi.
O par (V, B) ´e um F-espa¸co quadr´atico de dimens˜aom·n, chamado de produto de Kro-necker (ou produto tensorial)de (V1, B1) e (V2, B2). A fun¸c˜ao quadr´aticaq=qB associada a (V, B) satisfaz, para vi ∈Vi,
q(v1⊗v2) = B(v1⊗v2, v1⊗v2) =B1(v1, v1)·B2(v2, v2) =q1(v1)·q2(v2).
Denotaremos q por q1⊗q2 ou as vezes apenas por q1q2.
Como espa¸cos quadr´aticos s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita, ent˜ao podemos diagonaliza-los. Assim, veremos adiante o que ocorre com o produto de Kronecker entre dois espa¸cos diagonalizados.
Sejam (V1, B1) e (V2, B2) doisF-espa¸cos quadr´aticos, com dim(V1) =me dim(V2) = n. Sejam{e1, . . . , em}e{f1, . . . , fn}bases ordenadas fixadas deV1 eV2, respectivamente.
Definindo aij :=B1(ei, ej) e bij :=B2(fi, fj), ent˜aoM = [aij]m e N = [bij]n s˜ao matrizes sim´etricas associadas a q1 e q2 nas bases fixadas, respectivamente. Tomemos o produto de Kronecker V = V1 ⊗V2 e q = q1 ·q2. Pela teoria de produto tensorial, temos que o conjunto
β ={e1⊗f1, . . . , e1⊗fn, . . . , em⊗f1, . . . , em⊗fn}
´e uma base ordenada de V. A matriz sim´etrica associada a q na base β ´e dada por
que ´e precisamente o produto de Kronecker das matrizes M e N. Proposi¸c˜ao 1.71. Se a, b∈F, ent˜ao hai ⊗ hbi ∼=habi.
Demonstra¸c˜ao: Como hai est´a associada ao espa¸co (F, ax2) e hbi est´a associada ao espa¸co (F, bx2), ent˜ao suas respectivas matrizes sim´etricas associadas s˜ao [a] e [b]. Pelo produto de Kronecker de duas matrizes temos que [a]⊗[b] = [ab]. Implicando que [ab] ´e uma matriz sim´etrica associada a hai ⊗ hbi. Portanto hai ⊗ hbi ∼=habi. 2 O produto de Kronecker visto como opera¸c˜ao de formas quadr´aticas satisfaz as usuais comutatividade, associatividade, existˆencia de elemento neutro e distributividade em rela¸c˜ao a soma ortogonal, o que veremos no seguinte teorema.
Teorema 1.72. Sejam q, q1, q2 e q3 F-formas quadr´aticas. Ent˜ao:
(1) q1⊗q2 ∼=q2⊗q1;
(2) (q1⊗q2)⊗q3 ∼=q1⊗(q2⊗q3);
(3) h1i ⊗q ∼=q⊗ h1i ∼=q;
(4) q⊗(q1 ⊥q2)∼= (q⊗q1)⊥(q⊗q2).
Demonstra¸c˜ao: Estas propriedades seguem basicamente das propriedades do produto tensorial. Provaremos apenas o item (4), os demais casos s˜ao an´alogos. Sejaq⊗(q1 ⊥q2).
Tomemos (V, q), (V1, q1), (V2, q2) F-espa¸cos quadr´aticos associados a q, q1, q2, respectiva-mente. Da teoria de produto tensorial, temos que V ⊗(V1 ⊕V2) ∼= V ⊗V1 ⊕V ⊗ V2 (isomorfismo de espa¸cos vetoriais) e assim v ⊗(v1, v2) = (v ⊗v1, v ⊗v2). Agora, pela Defini¸c˜ao1.70 e pela Observa¸c˜ao 1.33 temos que
q⊗(q1 ⊥q2)(v⊗(v1, v2)) = q(v)·(q1 ⊥q2)(v1, v2)
= q(v)(q1(v1) +q2(v2))
= q(v)·q1(v1) +q(v)·q2(v2)
= q⊗q1(v⊗v1) +q⊗q2(v⊗v2), para v ∈V e vi ∈Vi,
como desejado. 2
Os seguintes corol´arios nos apresentam uma forma muito eficiente de calcular o produto de Kronecker entre duas formas quadr´aticas diagonais.
Corol´ario 1.73. Sejam q = ha1, . . . , ani e q0 = hb1, . . . , bmi duas F-formas quadr´aticas diagonais. Ent˜ao
ha1, . . . , ani ⊗ hb1, . . . , bmi ∼=ha1b1, . . . , aibj, . . . , anbmi.
Demonstra¸c˜ao: Seja q⊗q0. Pelo Teorema 1.72 item (4) e pela Proposi¸c˜ao 1.71 temos que
q⊗q0 = ha1, . . . , ani ⊗ hb1, . . . , bmi
∼= (ha1i ⊥ · · · ⊥ hani)⊗ hb1i ⊥ · · · ⊥(ha1i ⊥ · · · ⊥ hani)⊗ hbmi
∼= ha1b1i ⊥ · · · ⊥ ha1bmi ⊥ · · · ⊥ hanb1i ⊥ · · · hanbmi
= ha1b1, . . . , aibj, . . . , anbm. . .i.
Portantoq⊗q0 ∼=ha1b1, . . . , aibj, . . . , anbmi. 2 Nota¸c˜ao 1.74. Se r ∈ Z∗+ e q ´e uma F-forma quadr´atica, ent˜ao denotaremos r·q (ou simplesmenterq) para a soma ortogonal deq r-vezes, ou seja,r·q=q⊥ · · · ⊥q(rvezes).
Corol´ario 1.75. Se q ´e uma F-forma quadr´atica regular, ent˜ao q⊗H∼= dim(q)·H. Demonstra¸c˜ao: Pelo Corol´ario 1.38 temos que existem elementos a1, . . . , an deF, tais que q ∼= ha1, . . . , ani e ai 6= 0, para i = 1, . . . , n. Provaremos por indu¸c˜ao sobre n. Se n= 1, ent˜aoq ∼=ha1i e assim
q⊗H = ha1i ⊗ h1,−1i ∼=ha1i ⊗ h1i ⊥ ha1i ⊗ h−1i ∼=ha1,−a1i= 1·H.
Provando queq⊗H∼= dim(q)·H, para o cason = 1. Suponha que esse resultado ´e v´alido para n−1. Seja q=ha1, . . . , ani. Assim
q⊗H= (ha1, . . . , an−1i ⊥ hani)⊗H.
Pelo Teorema 1.72 item (4) temos que q ⊗H ∼= ha1, . . . , an−1i ⊗H ⊥ hani ⊗H. Pela hip´otese de indu¸c˜ao e do caso n = 1, temos que q⊗H ∼= (dim(q)−1)·H ⊥ H. Logo
q⊗H∼= dim(q)·H. 2
Introdu¸ c˜ ao aos An´ eis de Witt
Nesse cap´ıtulo faremos uma breve introdu¸c˜ao ao anel de Witt e anel de Witt-Grothendieck e suas propriedades. Sem d´uvidas esses s˜ao uns dos mais importantes an´eis na ´area de formas quadr´aticas sobre corpos.
2.1 Defini¸ c˜ ao de W c (F ) e W (F )
Nessa se¸c˜ao faremos a constru¸c˜ao dos an´eis de Witt-Grothendieck e Witt.
Para isso, primeiramente precisamos de alguns resultados.
Defini¸c˜ao 2.1. Definimos comoM(F) o conjunto de todas as classes de isometria (regu-lares) de formas quadr´aticas sobre o corpo F.
Relembramos que um semi-anel ´e uma estrutura alg´ebrica semelhante `a um anel, por´em sem a necessidade de existir um inverso aditivo para todos os elementos dessa estrutura, analogamente um mon´oide ´e uma estrutura alg´ebrica com uma opera¸c˜ao que satisfaz apenas as propriedades associativa e a existˆencia do elemento neutro. Podemos ver ⊥ e⊗ como opera¸c˜oes em M(F), e temos o seguinte resultado.
Lema 2.2. O conjuntoM(F), munido das opera¸c˜oes ⊥e ⊗, ´e um semi-anel comutativo, onde ⊥´e a soma ortogonal e ⊗ ´e o produto de Kronecker de F-formas quadr´aticas.
Demonstra¸c˜ao: Sejam f, q, g ∈ M(F). Sejam ha1, . . . , ani, hb1, . . . , bmi e hc1, . . . , cki as formas diagonais de f,q e g, respectivamente. Pela defini¸c˜ao de soma ortogonal e do Teorema da Equivalˆencia por Cadeia 1.69, ´e f´acil mostrar que ⊥ ´e uma opera¸c˜ao associativa, comutativa e admite o elemento neutro. Pelo Cancelamento de Witt 1.60, temos que (M(F),⊥) ´e um mon´oide com cancelamento. Pelo Teorema 1.72 temos que (M(F),⊗) ´e um mon´oide comutativo. Logo (M(F),⊥,⊗) ´e um semi-anel comutativo
com cancelamento. 2
Lema 2.3. A rela¸c˜ao ∼ em M(F)×M(F) dada por
(f, q)∼(f0, q0) se, e somente se, f ⊥q0 ∼=f0 ⊥q,
´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Demonstra¸c˜ao: Sejam (f, q),(f0, q0),(f00, q00)∈ M(F)×M(F). Assim, como f ⊥ q ∼= f ⊥q, temos que ∼´e reflexiva. Se (f, q)∼(f0, q0), ent˜aof ⊥q0 ∼=f0 ⊥q. Como ∼= ´e uma
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rela¸c˜ao de equivalˆencia, ent˜aof0 ⊥q∼=f ⊥q0, provando que∼´e sim´etrica. Suponha que (f, q)∼ (f0, q0) e (f0, q0)∼ (f00, q00), isso implica quef ⊥q0 ∼=f0 ⊥q e f0 ⊥q00 ∼=f00 ⊥q0. Pela comutatividade de soma ortogonal, temos que f ⊥ q0 ⊥ q00 ∼= f0 ⊥ q00 ⊥ q e f0 ⊥ q00 ⊥ q ∼= f00 ⊥ q0 ⊥ q. Assim, f ⊥ q0 ⊥ q00 ∼= f00 ⊥ q0 ⊥ q. Pelo Cancelamento de Witt1.60, temos que f ⊥q00 ∼=f00⊥q. Logo (f, q)∼(f00, q00) e portanto∼´e uma rela¸c˜ao
de equivalˆencia. 2
Dado o semi-anel M(F) e a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ podemos construir um novo conjunto Groth(M(F)) = M(F) × M(F)/ ∼. A classe de equivalˆencia de (f, q) em Groth(M(F)) denotaremos tamb´em por (f, q).
Proposi¸c˜ao 2.4. O ConjuntoGroth(M(F)) = M(F)×M(F)/∼ munido das opera¸c˜oes (f, q) + (f0, q0) = (f ⊥f0, q⊥q0) e
(f, q)·(f0, q0) = (f⊗f0 ⊥q⊗q0, q⊗f0 ⊥f⊗q0),
´e um anel comutativo.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente provemos que + est´a bem definida. De fato, se (f, q)∼ (f0, q0) e (f00, q00) ∼ (f000, q000), ent˜ao f ⊥ q0 ∼= f0 ⊥ q e f00 ⊥ q000 ∼= f000 ⊥ q00. Pela comutatividade da soma ortogonal temos que
(f ⊥f00)⊥(q0 ⊥q000)∼= (f0 ⊥f000)⊥(q⊥q00).
Implicando que (f ⊥f00, q⊥ q00)∼ (f0 ⊥f000, q0 ⊥ q000). Logo (f, q) + (f00, q00) = (f0, q0) + (f000, q000), portanto + est´a bem definida. O fato de + ser comutativa e associativa decorre diretamente do comutatividade e associatividade da soma ortogonal. Tomando o elemento (g, g) com g ∈ M(F), vemos que (f, q) + (g, g) = (f, q), para todo (f, q)∈Groth(M(F)).
De fato, como (f, q) + (g, g) = (f ⊥g, q⊥g) e pelo fato que (f ⊥g)⊥q ∼=f ⊥(q⊥g), ent˜ao (f ⊥g, q ⊥g) ∼(f, q) e assim (f, q) + (g, g) = (f, q), ou seja, (g, g) = 0Groth(M(F)). Se tomarmos (f, q), note que (f, q) + (q, f) = (f ⊥q, f ⊥q) = 0Groth(M(F)). Provando que (Groth(M(F)),+) ´e um grupo abeliano.
Agora provaremos que (·) est´a bem definida e satisfaz as propriedades: associativi-dade, comutativiassociativi-dade, distributiva em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao e existˆencia do elemento neutro.
De fato, tomando (f, q) ∼ (f0, q0) e (f00, q00) ∼ (f000, q000), temos que f ⊥ q0 ∼= f0 ⊥ q e f00 ⊥q000 ∼=f000 ⊥q00. Multiplicando a primeira congruˆencia porf00,q00, f000 eq000, somando essas novas congruˆencias e pelo Cancelamento de Witt 1.60, obtemos
(f⊗f00⊥q⊗q00)⊥(q0⊗f000 ⊥f0⊗q000)∼= (f0⊗f000 ⊥q0⊗q000)⊥(q⊗f00⊥f ⊗q00).
Implicando que (f, q)·(f00, q00) = (f0, q0)·(f000, q000). A associatividade e a comutatividade de (·) seguem do fato que (⊥) e (⊗) s˜ao associativas e comutativas em M(F), conforme Teorema 1.72. Para a existˆencia do elemento neutro, considere a classe (h1i,0M(F)) ∈ Groth(M(F)), assim
(f, q)·(h1i,0M(F)) = (f ⊗ h1i ⊥q⊗0M(F), q⊗ h1i ⊥f ⊗0M(F)) = (f, q).
Analogamente, (h1i,0M(F))·(f, q) = (f, q). A propriedade distributiva de (·) em rela¸c˜ao a (+) em Groth(M(F)) decorre do fato da (⊗) ser distributiva em rela¸c˜ao a (⊥), conforme Teorema1.72. Portanto (Groth(M(F)),+,·) ´e um anel comutativo. 2 Note que pela forma como Groth(M(F)) foi constru´ıdo ele ´e ´unico, a menos de isomorfismo.
Defini¸c˜ao 2.5. O anel comutativo Groth(M(F)) ser´a chamado de anel de Witt-Grothendieck de formas quadr´aticas sobre o corpoF e ser´a denotado por cW(F).
Note que se definirmos a fun¸c˜ao i : M(F) −→ cW(F) dada por i(q) = (q,0M(F)), ent˜ao i´e um morfismo injetor e pode ser visto como a inclus˜aoM(F)⊆cW(F).
Como (f, q) = i(f)−i(q), ent˜ao cW(F) ´e gerado por M(F). Assim todo elemento (f, q) decW(F) tem uma express˜ao formalf−q, ondef,qs˜ao formas quadr´aticas regulares, ou melhor, classes de isometrias dessas formas quadr´aticas. Isso segue do seguinte lema.
Lema 2.6. Sejam f e q duas formas quadr´aticas regulares, ent˜ao f =q em cW(F) se, e somente se, f ∼=q∈M(F).
Demonstra¸c˜ao: Suponha que f = q ∈ cW(F). Pela constru¸c˜ao de Wc(F) temos que (f,0) = (q,0). Implicando que f ∼= q ∈ M(F). Reciprocamente, se f ∼= q, ent˜ao f ⊥0M(F) ∼=q⊥0M(F). Assim (f,0) = (q,0), ou seja, f =q em Wc(F). 2 A seguir definiremos um ideal importante de cW(F) e veremos alguns resultados envolvendo o mesmo.
Como toda forma quadr´atica regular em M(F) tem como dimens˜ao um no inteiro positivo, podemos definir a fun¸c˜ao dim :M(F)−→Z, porq7→dim(q). ´E f´acil provar que essa fun¸c˜ao ´e um homomorfismo de semi-an´eis. Pela propriedade universal da constru¸c˜ao docW(F), podemos estender este homomorfismo e obter
dim : Wc(F) −→ Z
f −q −→ dim(f)−dim(q), que ´e um homomorfismo de an´eis.
Defini¸c˜ao 2.7. O n´ucleo do homomorfismo de an´eis dim ´e um ideal de Wc(F) que ser´a denotado porIFb e chamado de ideal fundamental de cW(F).
Lema 2.8. Seja IFb o ideal fundamental de Wc(F). Ent˜ao cW(F)
IFb
∼=Z
Demonstra¸c˜ao: Para mostrarmos esse resultado basta verificar que dim :cW(F)−→Z
´e sobrejetora, pois o 1o Teorema dos Isomorfismos nos garante o resultado. De fato, seja z ∈ Z. Caso z > 0, basta tomar um elemento q −0M(F) ∈ cW(F), com dim(q) = z. Implicando que dim(q− 0M(F)) = z − 0 = z. Para o caso em que z < 0, basta tomar 0M(F) − q. Por ´ultimo, se z = 0, tomemos h1i − h1i ∈ cW(F), implicando em dim(h1i − h1i) = 1−1 = 0. Portanto dim ´e um epimorfismo de an´eis. 2 Note que comoIFb ´e o n´ucleo do epimorfismo dim, ent˜ao dim(bIF) = 0, ou seja todo elemento deIFb tem dimens˜ao nula. Implicando que sef−q ∈IFb , ent˜ao dim(f) = dim(q).
Proposi¸c˜ao 2.9. Seja cW(F) o anel de Witt-Grothendieck associado ao corpo F. Ent˜ao o ideal IFb ´e gerado aditivamente por elementos da forma hai − h1i, ondea ∈F˙.
Demonstra¸c˜ao: Seja g ∈ IFb . Como g ∈ Wc(F), ent˜ao existem f, q ∈ M(F), tais que g = f −q e dim(f) = dim(q). Tomando as formas diagonais de f e q temos que f =ha1, . . . , ani e q=hb1, . . . , bni, com ai, bi 6= 0. Ent˜ao
f −q = ha1, . . . , ani − hb1, . . . , bni
= (ha1i+· · ·+hani)−(hb1i+· · ·+hbni)
= (ha1i+· · ·+hani)−(hb1i+· · ·+hbni) + 0
cW(F)
= (ha1i+· · ·+hani − h1i+· · ·+h1i) + (h1i+· · ·+h1i − hb1i+· · ·+hbni)
= Pn
i=1haii − h1i+Pn
j=1h1i − hbji
= Pn
i=1haii − h1i −Pn
j=1hbji − h1i.
PortantoIFb ´e gerado aditivamente por elementos da formahai − h1i, com a∈F˙. 2 At´e agora provamos alguns resultados importantes sobre IFb , um desses nos d´a in-forma¸c˜ao sobre o anel quociente decW(F) porIF, por´b em n˜ao conseguimos nada expressivo no quesito da varia¸c˜ao do corpo F, pois Wc(F)
IFb
∼=Z, que ´e invariante pela mudan¸ca de F. Assim, nos pr´oximos resultados buscaremos um novo ideal de Witt-Grothendieck que possamos obter mais informa¸c˜oes de an´eis quocientes de cW(F).
Defini¸c˜ao 2.10. SejaWc(F) o anel de Witt-Grothendieck associado a F. Definimos por ZH, o subconjunto decW(F) que consiste de todos os espa¸cos hiperb´olicos e seus “inversos aditivos”.
Proposi¸c˜ao 2.11. ZH´e um ideal de cW(F).
Demonstra¸c˜ao: Sejam mH, nH∈ZH. Se m=n, ent˜ao mH−nH=mH−mH= 0
Wc(F)= 0H∈ZH. Suponha que m > n. Caso n >0, ent˜ao
mH−nH = (m−n)H+nH−nH= (m−n)H+ 0
cW(F) = (m−n)H∈ZH. Caso m>0 e n <0, ent˜ao temos que
mH−nH= mH+ (−n)H= (m−n)H∈ZH. Caso m60, ent˜ao
mH−nH = (−n)H−(−m)H= (−n+m)H+ (−m)H−(−m)H
= (m−n)H∈ZH.
Analogamente, sem < n, temos quemH−nH∈ZH. LogoZH´e fechado para a diferen¸ca.
Seja mH∈ZH ef −q∈Wc(F) com dim(f) = r e dim(q) =s. Assim, (f−q)·mH = f ⊗mH⊥q⊗0−f⊗0⊥mH⊗q
= (rm)H−(sm)H∈ZH,
na pen´ultima igualdade foi usado o Corol´ario 1.75. Portanto, ZH´e ideal de cW(F). 2
Defini¸c˜ao 2.12. O anel quociente W(F) := Wc(F)
ZH ´e chamado de anel de Witt associado ao corpoF.
Notemos que como cW(F) ´e comutativo, ent˜ao W(F) ´e um anel comutativo. Esse anel ´e um dos entes mais importantes no estudo de formas quadr´aticas sobre corpos, que teve sua primeira apari¸c˜ao em 1937 em um artigo de Witt ([?].
Recordemos que na Decomposi¸c˜ao de Witt 1.61 temos que qualquer forma quadr´ a-tica q pode ser escrita na forma q∼= rad(q)⊥mH⊥qa. Como para definir M(F), toma-mos apenas as formas quadr´aticas regulares, ent˜aoq ∼= mH ⊥qa. Assim, tomando q em W(F), temos que q ∼= qa, ou seja, em W(F) estamos apenas interessados na parte ani-sotr´opica de seus elementos. Formalmente essa observa¸c˜ao segue na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.13. Seja F um corpo e W(F) o anel de Witt associado a F. Ent˜ao:
(1) Os elementos deW(F) est˜ao em correspondˆencia biun´ıvoca com as classes de isome-tria de todas as formas quadr´aticas anisotr´opicas;
(2) Duas F-formas quadr´aticas f e q representam o mesmo elemento em W(F) se, e somente se, fa∼=qa;
(3) Sejamf eq duasF-formas quadr´aticas. Sedim(f) = dim(q), ent˜ao f, q representam o mesmo elemento em W(F) se, e somente se, f ∼=q.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, notemos que como H representa o elemento 0W(F), ent˜ao hai+h−ai = ha,−ai = 0W(F), para todo a ∈ F˙. Obtendo que −hai = h−ai em W(F).
Afirmamos que todo elemento deW(F) ´e representado por um elemento da seguinte forma g = (g,0) +ZH. De fato, seja f −q +ZH ∈ W(F), onde f = ha1, . . . , ani e q=hb1, . . . , bmi. Pelas propriedades de Wc(F) e do fato que −hai=h−ai temos que
f−q+ZH = ha1, . . . , ani − hb1, . . . , bmi+ZH
= ha1, . . . , ani+h−b1, . . . ,−bmi+ZH
= ha1, . . . , an,−b1, . . . ,−bmi+ZH.
Separando as poss´ıveis partes hiperb´olicas em ha1, . . . , an,−b1, . . . ,−bmi pela Decom-posi¸c˜ao de Witt 1.61 temos que
f −q+ZH=hc1, . . . , cki+r·H+ZH=hc1, . . . , cki+ZH.
Tomandog =hc1, . . . , cki, obtemos que f −q+ZH=g+ZH, provando essa afirma¸c˜ao.
E mais, note que pela Decomposi¸c˜ao de Witt1.61 temos que hc1, . . . , cki´e anisotr´opica e
´e f´acil ver que g+ZH=gh+ga+ZH=ga+ZH,para todo g ∈M(F).
(1) SejaMa(F)⊆M(F) o conjunto das classes de equivalˆencia das F-formas quadr´aticas anisotr´opica mais o 0M(F). Pelo que j´a provamos podemos definir a seguinte fun¸c˜ao
φ : Ma(F) −→ W(F)
qa −→ φ(qa) = (qa,0) +ZH.
A fun¸c˜aoφ est´a bem definida, pois dados fa ∼=qa, temos que (fa,0) = (qa,0). Tomando f −q+ZH ∈ W(F), pelo que j´a provamos temos que f −q+ZH = g +ZH. Como g+ZH=ga+ZH, ent˜ao temos que φ(ga) =g+ZH, provando queφ´e sobrejetora. Sejam
fa, qa ∈ Ma(F), tais que φ(fa) = φ(qa). Assim fa+ZH = qa+ZH. Isso implica que fa−qa∈ZH, ou seja, existe m∈Z tal que fa−qa =m·H. Segue que fa =qa+m·H. Como fa e qa s˜ao anisotr´opicas, ent˜ao m = 0 e disso fa = qa ∈ Wc(F), ou seja fa ∼= qa, provando queφ ´e injetora e consequentemente bijetora.
(2) Decorre diretamente de (1).
(3) Sejamf, q∈M(F), tais que dim(f) = dim(q). Sef,qrepresentam o mesmo elemento em W(F), ent˜ao por (2) dessa proposi¸c˜ao temos que fa ∼= qa. Segue diretamente da Decomposi¸c˜ao de Witt1.61 que f ∼=q. Reciprocamente, se f ∼=q, ent˜aofa∼=qa e, assim por (2) dessa proposi¸c˜ao temos que f e q representam o mesmo elemento em W(F). 2 Defini¸c˜ao 2.14. A imagem do idealIFb de cW(F) sobre a proje¸c˜ao natural
i: Wc(F) −→ W(F) f −q −→ f−q+ZH
´e denotado pori(bIF) :=IF e ´e chamado deideal fundamental deW(F).
Um fato interessante que podemos abordar sobre os dois ideais deWc(F) que defini-mos nessa se¸c˜ao ´e que sua interse¸c˜ao ´e nula, ou seja, ZH∩IFb ={0cW(F)}. Para mostrar essa afirma¸c˜ao, basta tomar f −q nessa intersec¸c˜ao, por um lado dim(f) = dim(q) e por outro ladof−q =m·H. Segue que 0 = dim(f−q) = dim(m·H) = 2m, implicando que m= 0 e consequentemente f−q = 0
Wc(F).
A pr´oxima proposi¸c˜ao nos d´a uma forma de descobrir se uma F-forma quadr´atica f em W(F) pertence a IF apenas observando sua dimens˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.15. Uma F-forma quadr´atica f representa um elemento em IF ⊆W(F) se, e somente se, dim(f) ´e par.
Demonstra¸c˜ao: Suponha quef representa um elemento emIF. Ent˜ao existem formas quadr´aticasq,g, tais quef =q−g+mH. Comof ∈i(bIF) =IF, ent˜ao dim(q) = dim(g).
Assim,
dim(f) = dim(q−g+mH) = dim(mH) = 2m.
Logo dim(f) ´e par.
Reciprocamente, suponha que dim(f) = 2k, com k ∈ N. Assim, tomando a forma diagonal de f temos que f = ha1, . . . , ak, b1, . . . , bki, onde ai, bj ∈ F˙. Pela Pro-posi¸c˜ao 2.13 temos que f = ha1, . . . , ak,i − h−b1, . . . ,−bki. Como dim(ha1, . . . , ak,i) = dim(h−b1, . . . ,−bki), ent˜ao ha1, . . . , ak,i − h−b1, . . . ,−bki ∈cW(F). Assim, pela proje¸c˜ao
natural deWc(F) em W(F), logof ∈IF. 2
Observe que dado o epimorfismo de an´eis dim : W\(F) −→ Z, temos que dim(bIF)∼= 2Z. Assim, podemos induzir um novo epimorfismo
dim0 : cW(F)/ZH=W(F) −→ Z/2Z
f −→ dim0(f) = dim(f) + 2Z. Pela Proposi¸c˜ao2.15, ker(dim0) = IF. Vamos resumir no seguinte resultado.
Corol´ario 2.16. O epimorfismo dim0 define um isomorfismo W(F)/IF ∼=Z/2Z
Demonstra¸c˜ao: Segue das observa¸c˜oes acima. 2