Nesta seção, introduziremos uma última operação envolvendo vetores, o produto vetorial. Para tanto, será preciso fixar uma orientação no espaçoV3.
Dadas basesBeCdeV3, dizemos queBeCtêm amesma orientação, se det(𝑀
C B) >0. Caso contrário, isto é, se det(𝑀C B) <0, dizemos queBeCtêmorientações opostas.
Observação É relevante notar as seguintes consequências da definição acima.
• det(𝑀
C B)>0 se, e somente se, det(𝑀
B C)>0. Ou seja, a noção de bases de mesma orientação, ou de orientações opostas, não depende da ordem em que as bases foram apresentadas.
• A propriedade de ter a mesma orientação é transitiva, no sentido de que seB,CeDsão bases deV3tais que (B,C)é um par de bases de mesma orientação e(C,D)também é um par de bases de mesma orientação, então BeDtêm a mesma orientação. Isso segue, imediatamente, da Proposição 2.6.3.
• Também é consequência da Proposição 2.6.3 que seB,CeDsão bases deV3 tais queBeCtêm orientações opostas, eBeDtambém têm orientações opostas, entãoCeDtêm mesma orientação.
Diremos queV3 estáorientadose estiver fixada uma baseBemV3. Neste caso, dada uma outra baseCdeV3, diremos queCé umabase positivaseBeCtiverem a mesma orientação. Caso contrário, diremos queCé umabase negativa.
Por exemplo, seB= {𝑒#»1,𝑒#»2,𝑒#»3}é a base que dá a orientação deV3, entãoC ={𝑒#»3,𝑒#»2,𝑒#»1}é uma base negativa (pois𝑀
C B =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
, que tem determinante igual a−1), eD={𝑒#»3,𝑒#»1,𝑒#»2}é uma base positiva (pois𝑀
D B=
0 1 0 0 0 1 1 0 0
, que tem determinante igual a 1).
Observação Se o espaçoV3estiver orientado, existem infinitas bases ortonormais positivas (e infinitas bases ortonor-mais negativas). De fato, como vimos na Seção 2.3, existem infinitas bases ortonorortonor-mais emV3. SeC={#»𝑢 ,#»𝑣 ,𝑤#»}é uma delas eCnão é positiva, então{#»𝑣 ,#»𝑢 ,#»𝑤}será.
Definição ConsidereV3com uma orientação fixada. Dados#»𝑢 ,#»𝑣 ∈V3, definimos oproduto vetorialde#»𝑢 e#»𝑣 como sendo o vetor#»𝑢 ∧#»𝑣 que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) se{#»𝑢 ,#»𝑣}é LD, então #»𝑢 ∧#»𝑣 =#»0 ; (ii) se{#»𝑢 ,#»𝑣}é LI, então
(a) k#»𝑢 ∧#»𝑣k=k#»𝑢k k#»𝑣ksen(𝜃), em que𝜃denota a medida do ângulo entre#»𝑢 e#»𝑣; (b) #»𝑢 ∧#»𝑣 é ortogonal a #»𝑢 e a#»𝑣;
(c) {#»𝑢 ,#»𝑣 ,#»𝑢 ∧#»𝑣}é uma base positiva deV3.
Observação Essa definição do produto vetorial em termos geométricos é difícil de ser aplicada. Veremos, adiante, que, em termos de coordenadas em relação a uma base ortonormal positiva, existe uma fórmula útil para o produto vetorial. No entanto, algumas consequências podem ser obtidas já a partir da definição em termos geométricos:
• k#»𝑢 ∧#»𝑣k é igual à área do paralelogramo definido por #»𝑢 e #»𝑣. Mais precisamente, suponha{#»𝑢 ,#»𝑣}LI (caso contrário, eles não definem um paralelogramo) e sejam𝐴, 𝐵, 𝐶∈ E3tais que #»𝑢 = # »𝐴𝐵e #»𝑣 = 𝐴𝐶. Seja# » 𝐷 ∈E3 tal que# »
𝐴𝐷= #»𝑢 +#»𝑣. Então,𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷são os vértices de um paralelogramo, como na figura:
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
#»𝑢
#»𝑣 ℎ 𝜃
Denote porℎa altura do paralelogramo em relação ao lado𝐴𝐵. Então,ℎ=(𝐴𝐶)sen(𝜃)e a área do paralelogramo é dada por(𝐴𝐵)ℎ=(𝐴𝐵)(𝐴𝐶)sen(𝜃)=k#»𝑢k k#»𝑣ksen(𝜃)=k#»𝑢 ∧#»𝑣k.
• No caso em que{#»𝑢 ,#»𝑣}é LI, o produto vetorial#»𝑢 ∧#»𝑣 não é o vetor nulo, pois, neste caso,𝜃≠0 e𝜃≠𝜋, o que garante que sen(𝜃) ≠0 e, portanto,k#»𝑢 ∧#»𝑣k ≠0. Assim, o produto vetorial fornece um teste de dependência linear: #»𝑢 ,#»𝑣 é LD se, e somente se, #»𝑢 ∧#»𝑣 =#»0.
Em particular, segue que#»𝑢 ∧#»𝑢 = #»0 , qualquer que seja#»𝑢 ∈V3.
Assim, temos, emV3dois produtos definidos: o produto escalar, que é um número real, e o produto vetorial, que é um vetor.
Vejamos como encontrar as coordenadas do produto vetorial.
Proposição 2.7.1Considere V3 com uma orientação fixada. Seja B uma base ortonormal positiva de V3 e sejam
#»𝑢 =(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3)B,#»𝑣 =(𝛽1, 𝛽2, 𝛽3)B ∈V3. Então,
#»𝑢 ∧#»𝑣 = 𝛼2𝛽3−𝛼3𝛽2, 𝛼3𝛽1−𝛼1𝛽3, 𝛼1𝛽2−𝛼2𝛽1
B. (2.11)
Demonstração Seja𝑤#»=(𝛾1, 𝛾2, 𝛾3)B ∈V3, o vetor cujas coordenadas são dadas por 𝛾1 =𝛼2𝛽3−𝛼3𝛽2, 𝛾2 =𝛼3𝛽1−𝛼1𝛽3, 𝛾3=𝛼1𝛽2−𝛼2𝛽1. Mostremos que𝑤#»=#»𝑢 ∧#»𝑣.
Primeiramente, note que se{#»𝑢 ,#»𝑣}é LD, então#»𝑢 =𝜆#»𝑣 ou#»𝑣 =𝜆#»𝑢, para algum𝜆∈R. Em qualquer caso, teremos 𝛾1=𝛾2=𝛾3=0 e, portanto,𝑤#»= #»0 .
Suponha, então, que{#»𝑢 ,#»𝑣}seja LI. Por um lado, temos 34
k𝑤#»k2=𝛾12+𝛾22+𝛾23 =(𝛼2𝛽3−𝛼3𝛽2)2+ (𝛼3𝛽1−𝛼1𝛽3)2+ (𝛼1𝛽2−𝛼2𝛽1)2. (2.12) Por outro lado,
k#»𝑢 ∧#»𝑣k2 =k#»𝑢k2k#»𝑣k2sen2(𝜃)=k#»𝑢k2k#»𝑣k2(1−cos2(𝜃))
=k#»𝑢k2k#»𝑣k2− k#»𝑢k2k#»𝑣k2cos2(𝜃)=k#»𝑢k2k#»𝑣k2− (#»𝑢 ·#»𝑣)2
=(𝛼21+𝛼22+𝛼32)(𝛽12+𝛽22+𝛽32) − (𝛼1𝛽1+𝛼2𝛽2+𝛼3𝛽3)2.
(2.13)
Comparando os lados direitos de (2.12) e (2.13), obtemos quek𝑤#»k=k#»𝑢 ∧#»𝑣k. Agora,
#»𝑢 ·𝑤#»=𝛼1𝛾1+𝛼2𝛾2+𝛼3𝛾3=det
𝛼1 𝛼2𝛼3 𝛼1 𝛼2𝛼3 𝛽1 𝛽2 𝛽3
=0.
A segunda igualdade acima pode ser verificada expandindo-se o determinante em cofatores ao longo da primeira linha.
Segue que#»𝑢 e𝑤#»são ortogonais. De maneira análoga, prova-se que #»𝑣 e𝑤#»também são ortogonais.
Finalmente, mostremos queC={#»𝑢 ,#»𝑣 ,𝑤#»}é uma base positiva deV3. Para tanto, basta verificar que esse conjunto é LI e que a matriz de mudança de base𝑀
C Btem determinante positivo. Para mostrar queCé LI, considere a matriz 𝐴=
𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛾1 𝛾2 𝛾3
.
Calculando o determinante de𝐴por expansão em cofatores ao longo da terceira linha, obtemos
det(𝐴)=𝛾1(𝛼2𝛽3−𝛼3𝛽2) −𝛾2(𝛼1𝛽3−𝛼3𝛽1) +𝛾3(𝛼1𝛽2−𝛼2𝛽1)=𝛾12+𝛾22+𝛾23 =k𝑤#»k2.
Como vimos acima quek𝑤#»k = k#»𝑢 ∧𝑤#»k e{#»𝑢 ,#»𝑣}é LI, segue que det(𝐴) = k#»𝑢 ∧#»𝑣k2 ≠0. Assim,Cé, de fato, uma base de V3. Para ver que C é positiva, é preciso mostrar que det(𝑀
C B) > 0. Agora, 𝑀
C B = 𝐴Ç. Portanto, det(𝑀
C B)=det(𝐴Ç)=det(𝐴)=k#»𝑢 ∧#»𝑣k2 >0. Logo,Cé, com efeito, uma base positiva deV3.
Conclui-se que #»𝑤 = #»𝑢 ∧ #»𝑣, pois esses dois vetores têm o mesmo comprimento, são paralelos e têm o mesmo
sentido.
Notação para o produto vetorial em forma de determinante
A fim de facilitar a memorização da expressão (2.11), utilizamos a seguinte notação expandida para o determinante.
Considere uma orientação fixada em V3, e seja B = {#»𝚤 ,#»𝚥 ,#»𝑘} uma base ortonormal positiva. Então, se #»𝑢 = (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3)Be#»𝑣 =(𝛽1, 𝛽2, 𝛽3)B, segue que
#»𝑢 ∧#»𝑣 =det
#»𝚤 #»𝚥 #»𝑘 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛽2 𝛽3
,
em que esse “determinante” é calculado por “expansão em cofatores ao longo da primeira linha”:
#»𝑢 ∧#»𝑣 =det 𝛼2𝛼3
𝛽2 𝛽3
#»𝚤 −det 𝛼1 𝛼3
𝛽1 𝛽3
#»𝚥 +det 𝛼1𝛼2
𝛽1 𝛽2 #»𝑘 .
Exemplo 2.7.2Considere uma orientação fixada em V3 e coordenadas dadas em relação a uma base ortonormal positiva. Calcule#»𝑢 ∧#»𝑣, em que#»𝑢 =(1,2,3)e#»𝑣 =(−1,1,2).
Solução:Usando a notação em forma de determinante,
#»𝑢 ∧#»𝑣 =det
#»𝚤 #»𝚥 #»𝑘 1 2 3
−1 1 2
=det 2 3
1 2
#»𝚤 −det
1 3
−1 2
#»𝚥 +det
1 2
−1 1
#»
𝑘 =(1,−5,3). ^
Observação É fácil verificar, usando, por exemplo, a notação em forma de determinante para o produto vetorial, que seV3tem uma orientação fixada e{#»𝚤 ,#»𝚥 ,#»𝑘}é uma base ortonormal positiva, então
#»𝚤 ∧#»𝚥 = #»𝑘 , #»𝚥 ∧#»𝚤 =−#»𝑘 ,
#»𝚥 ∧#»
𝑘 = #»𝚤 , #»
𝑘 ∧#»𝚥 =−#»𝚤 ,
#»𝑘 ∧#»𝚤 = #»𝚥 , #»𝚤 ∧#»𝑘 =−#»𝚥 .
Exemplo 2.7.3Calcule a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, em que # »𝐴𝐶 = (1,1,3)e𝐶 𝐵# »= (−1,1,0) e as coordenadas estão dadas em relação a uma base ortonormal positiva deV3. Determine a altura do triângulo𝐴𝐵𝐶em relação ao lado𝐵𝐶.
Solução:Seja𝐷o ponto tal que # »
𝐴𝐷=𝐶 𝐵, conforme a figura:# »
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
ℎ
Sabemos que a área do paralelogramo𝐴𝐶 𝐵𝐷é dada por# » 𝐴𝐶∧# »
𝐴𝐷=# » 𝐴𝐶∧# »
𝐶 𝐵. Logo, a área do triângulo𝐴𝐵𝐶 é dada por 12# »𝐴𝐶∧𝐶 𝐵# ». Agora,
# » 𝐴𝐶∧# »
𝐶 𝐵=det
#»𝚤 #»𝚥 #»𝑘 1 1 3
−1 1 0
=(−3,−3,2). Logo, a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a 12p
(−3)2+ (−3)2+22 = 1
2
√22. Se ℎ denota a altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶 em relação ao lado 𝐵𝐶, então a área de 𝐴𝐵𝐶 também pode ser dada por 12𝐵𝐶# »ℎ. Como 𝐵𝐶# » = 𝐶 𝐵# » = p(−1)2+12+02 =√
2, segue que 12√
22= 12√
2ℎ. Portanto,ℎ=√ 11. ^
A seguir vemos como o produto vetorial comporta-se em relação a outras operações definidas no espaço do vetores.
Proposição 2.7.4Considere fixada uma orientação emV3. Sejam#»𝑢 ,𝑢#»1,𝑢#»2,#»𝑣 ,𝑣#»1,𝑣#»2 ∈V3e𝜆∈R. Então, (i) #»𝑢 ∧ (𝑣#»1+𝑣#»2)= #»𝑢 ∧𝑣#»1+#»𝑢 ∧𝑣#»2;
(ii)(𝑢#»1+𝑢#»2) ∧#»𝑣 =𝑢#»1∧#»𝑣 +𝑢#»2∧#»𝑣; (iii)(𝜆#»𝑢) ∧#»𝑣 = #»𝑢 ∧ (𝜆#»𝑣)=𝜆(#»𝑢 ∧#»𝑣); (iv) #»𝑢 ∧#»𝑣 =−(#»𝑣 ∧#»𝑢).
Demonstração Para a demonstração dessas propriedades, basta considerar uma base ortonormal positivaB e co-ordenadas em relação a essa base. Assim, por exemplo, se #»𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)B,𝑣#»1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)B e𝑣#»2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)B, então
36
#»𝑢 ∧ (𝑣#»1+𝑣#»2)= 𝑦(𝑧1+𝑧2) −𝑧(𝑦1+𝑦2), 𝑧(𝑥1+𝑥2) −𝑥(𝑧1+𝑧2), 𝑥(𝑦1+𝑦2) −𝑦(𝑥1+𝑥2)
=(𝑦𝑧1−𝑧𝑦1, 𝑧𝑥1−𝑥𝑧1, 𝑥𝑦1−𝑦𝑥1) + (𝑦𝑧2−𝑧𝑦2, 𝑧𝑥2−𝑥𝑧2, 𝑥𝑦2−𝑦𝑥2),
o que demonstra (i). As demais propriedades podem ser mostradas de modo análogo.
Observação Como vimos, no item (iv) proposição acima, o produto vetorial não é comutativo, isto é, a ordem em que os vetores aparecem importa.
Também vale notar que o produto vetorial não é uma operação associativa, isto é, em uma sequ˜encia de três vetores, distribuições diferentes de parênteses podem resultar em vetores diferentes. Por exemplo, se{#»𝚤 ,#»𝚥 ,#»𝑘}é uma base ortonormal positiva, então(#»𝚥 ∧#»𝚥) ∧#»𝚤 = #»0 ∧#»𝚤 = #»0 , ao passo que #»𝚥 ∧ (#»𝚥 ∧#»𝚤)=#»𝚥 ∧ (−#»𝑘)=−(#»𝚥 ∧#»𝑘)=−#»𝚤. Exercícios Lista 2 - Álgebra Linear I: Exs. 7–23.