Elaborada na década de 1980 por (PEREIRA; PINTO, 1985), a PDDE permitiu promover a redução do número de estados calculados no problema de otimização fazendo uso da decomposição de Benders. Em compensação, além do custo futuro, é calculada também sua taxa de variação nas vizinhanças do estado em que foi calculado. Esta taxa de variação é conhecida matematicamente como a derivada do custo futuro (ONS, 2015).
Com a PDDE não é necessário discretizar o espaço de estados, a solução é obtida através de um processo iterativo que continuamente refina a função de custo futuro. Entretanto, a técnica exige a convexi- dade do problema (CYRILLO, 2015).
A estratégia operativa será aquela que promove o equilíbrio entre o valor da água (que é a derivada do custo futuro) e o custo da térmica (que é a derivada do custo imediato), ou seja, que minimiza o custo total, respeitando restrições, como o atendimento da carga e o balanço hídrico.
O algoritmo pode ser representado através de fluxograma, con- forme demonstrado na Figura 6.
O fluxograma está dividido em três blocos. O primeiro bloco contém a etapa em que são definidas as restrições de desigualdade e de igualdade, como por exemplo as restrições de carga, hídrica e operati- vas.
A restrição de desigualdade é linear multivariada, e formará seg- mentos lineares em torno dos estados interessantes, representando a aproximação inferior da função de custo futuro para cada estágio. Os coeficientes desses segmentos são as variáveis duais do problema de oti- mização. Cada segmento linear é denominada corte de Benders, e pode ser construída conforme equação descrita abaixo:
αt+1− αt≥ c ∗ vt+1− vt
!
(2.2) Onde:
- αt: custo futuro do estágio t;
- αt+1: custo futuro do estágio t + 1;
- vt: nível de armazenamento no estágio t;
- vt+1: nível de armazenamento no estágio t;
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Figura 6 – Fluxograma do algoritmo da PDDE
Quanto às restrições de igualdade, serão consideradas: atendi- mento à demanda, balanço hídrico e limites das variáveis operativas das usinas.
A restrição de atendimento à demanda garante que a geração seja compatível com o nivel de consumo de energia, e sendo inferior, acarreta déficit no atendimento da demanda. Pode ser representada por:
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GHt+P N U T
j=1 GTi,j+DEFt=Dt (2.3)
Onde:
- GHt: produção hidroelétrica no estágio t, produto entre produtibi-
lidade da usina (ρ), que para fins deste estudo será considerada cons- tante, e a vazão de água turbinada da usina1;
- GTt,j: geração térmica da planta j no estágio t;
- DEFt: energia não suprida, ou seja, déficit, no estágio t;
- Dt: demanda do sistema no estágio t;
- N U T : número de usinas térmicas no sistema.
A restrição de balanço hídrico garante que o volume final do re- servatório corresponda ao seu volume inicial, com acréscimo das afluên- cias e decréscimo das vazões vertida e turbinada. Pode ser representada conforme equação abaixo:
Vt+1= Vt+ AF Lt− Vturbt− Vvertt (2.4)
Onde:
- Vt+1: volume do reservatório no final do estágio t;
- Vt: volume do reservatório no início do estágio t;
- AF Lt: volume afluente no estágio t;
- Vturb: volume de água turbinado;
- Vvert: volume de água vertido2.
Por fim, tem-se as restrições operativas, que se referem aos limi- tes de armazenamento, turbinamento e geração térmica. Esses limites são:
- limites de armazenamento: 0 ≤ vi≤ viM ax
- limites de turbinamento: Vturb≤ vi; 0 ≤ Vvert≤ ∞;
- limites de geração térmica: 0 ≤ gtj ≤ gtjM ax
Onde:
- vi: volume do reservatório da usina i;
- viM ax: volume máximo do reservatório da usina i; 1Volume que pode passar pela turbina para gerar eletricidade.
2Vazão descarregada através dos vertedores e/ou válvulas de fundo de um apro-
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- gtj: geração térmica da usina j;
- gtjM ax: geração máxima térmica da usina j.
Após a definição das restrições, parte-se para o segundo bloco, de premissas.
O número de estágios temporais do horizonte de análise para o presente estudo serão de doze meses, enquanto que na otimização do planejamento para o caso real brasileiro, são sessenta. Tal simplificação é necessária para reduzir a complexidade do modelo em estudo.
Em seguida deve ser fixado o número de aberturas. A abertura corresponde à possibilidade de ocorrência de um cenário de afluência. No caso da otimização do planejamento para o caso real brasileiro, trabalha-se com vinte aberturas, ou seja, para cada estágio, existem vinte cenários de afluências. No presente estudo, serão consideradas três aberturas por estágio, sorteadas do histórico disponibilizado pelo ONS. Cabe destacar que na otimização do planejamento para o caso real brasileiro, de acordo com (MARCATO, 2002), a série histórica de vazões é ajustada por um modelo PAR(p) – Modelo Auto-Regressivo Periódico de ordem p, que é capaz de gerar as vazões incrementais sintéticas para as usinas pertencentes ao sistema.
Com a definição do número e das aberturas por estágio, é pos- sível construir as séries forward, que são caminhos aleatórios percor- ridos pelos estágios da matriz de aberturas. No caso real brasileiro, são duzentas séries percorridas na otimização forward. No estudo, por simplificação, serão trabalhadas trinta séries forward. Isso significa que para cada estágio, serão calculados trinta estados, e para cada estado serão considerados três cenários de afluência possíveis, sorteados alea- toriamente.
Com base nas séries forward, é possível gerar a árvore de cenários de afluências.
Também devem ser inseridos os parâmetros técnicos das usinas hidroelétricas e térmicas. Para as usinas hidroelétricas, serão conside- rados os dados de volume inicial e máximo do reservatório e potência máxima. Para as usinas térmicas, são considerados os dados de custo unitário de produção e potência máxima. O déficit de energia será equiparado à uma usina térmica para fins de simulação, tendo seu custo fixado de acordo com publicação anual do órgão regulador.
Definidas as restrições e as premissas, parte-se para o terceiro bloco, o algoritmo propriamente dito.
A construção dos estados se dá na etapa denominada forward. No primeiro estágio são obtidos o cenário de afluência da série e o nível
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de armazenamento inicial de cada reservatório. Na primeira simulação da etapa forward, devido à ausência de restrições de desigualdade re- fletindo o custo futuro, ocorre a maximização da geração hidrelétrica no cálculo do problema de otimização, com base na função objetivo de minimização de custo, sujeita às restrições de igualdade.
Após o cálculo do problema de otimização em um estágio, o nível do reservatório resultante será insumo para o próximo estágio. O processo é continuamente realizado até que se atinja o último estágio do horizonte de cálculo.
Ao atingir o último estágio, é calculada a restrição de desigual- dade. Essa restrição será incorporada no cálculo recursivo do problema, partindo então para a etapa backward. O percorrimento na árvore de cenários se dá recursivamente, partindo do último estágio, mas agora incorporando a restrição de desigualdade calculada em cada estágio temporal.
Por fim, será necessário estabelecer um critério de parada. Para isso, serão considerados dois parâmetros, os limites de custo inferior e o superior.
O limite de custo inferior (Zinf) é calculado pela média dos cus-
tos de cada série forward no primeiro estágio da etapa forward. O limite de custo superior (Zsup) é calculado pela média da soma
dos custos operacionais das séries forward, considerando todos os está- gios.
O critério de parada será estabelecido pelo encontro de ambos os limites em determinada faixa de tolerância.
O algoritmo também pode ser resumido conforme extraído de (MACEIRA et al., 2008). Em cada estágio t, as vazões apresentam um componente randômico, sendo que previamente à resolução do pro- blema, o modelo necessita estabelecer um conjunto de possíveis ocor- rências, representada por uma árvore de cenários, e onde o processo de otimização será aplicado. O processo de solução iterativa compreende duas etapas principais:
- simulação backward : Executa uma simulação recursiva de t = T até t = 2. Para cada estágio de tempo e para cada um dos cenários escolhidos, os problemas são resolvidos, considerando um estado inicial. Tem como objetivo produzir o corte de Benders a partir do problema dual, calculado para determinado estágio pela média dos cortes de cada abertura desse estágio. Esse corte corresponde à aproximação inferior da função de custo futuro para cada estágio, que é convexa e linear, e definida pelo máximo de cortes produzidos até a iteração corrente.
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1 até t = T, e resolve um conjunto de problemas lineares por estágio temporal. Em cada iteração, o objetivo é produzir possíveis planos de operação, com as restrições da programação linear estocástica. A soma dos custos calculados para cada estágio fornece o custo operaci- onal total. A média dos custos calculados para os cenários escolhidos formam o limite superior do custo ótimo ((Z_sup)). A função de custo futuro é um parâmetro conhecido para cada problema. Os níveis de re- servatórios calculados em cada estágio serão posteriormente utilizados como variável de estado na simulação backward, onde novos cortes serão calculados e incorporados na solução dos subproblemas.
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3 ALGORITMOS GENÉTICOS E APLICAÇÕES PARA PROBLEMAS SEQUENCIAIS MULTI-ESTÁGIO
Essa seção tem como finalidade apresentar algumas aplicações, exploradas em trabalhos anteriores, de algoritmos genéticos sobre pro- blemas com características similares ao problema analisado no presente estudo, por envolver programação dinâmica e algoritmos genéticos para a otimização de problemas.
Em (LEITE; CARNEIRO; CARVALHO, 2006), houve a substituição da técnica de otimização, da programação dinâmica por algoritmo gené- tico, sendo realizada uma análise da aplicação de algoritmos genéticos na otimização da operação de sistemas hidrotérmicos de potência, en- volvendo testes aplicados em dois conjuntos de usinas, com o objetivo de analisar a aplicabilidade da técnica em grandes sistemas. Os autores concluem que o algoritmo conseguiu captar de forma bem sucedida os diferentes comportamentos operativos das usinas.
Na linha de trabalhos que explorem a complementaridade entre programação dinâmica e algoritmos genéticos, (WIBIG, 2013) analisa a aplicação de métodos de otimização em processos de negócios nas organizações. O autor utiliza redes de Petri para definir o objeto da otimização, que no caso são os processos de negócios, e simular sua exe- cução. O algoritmo genético é aplicado sobre a rede no intuito de obter as soluções ótimas de Pareto, e a programação dinâmica é aplicada para reduzir o esforço computacional quando da alteração de um processo. O algoritmo genético gera as transições entre subprocessos, bem como o início e o fim de um processo. Sabendo da duração do subprocesso e tendo o conjunto de soluções ótimas, a aplicação da programação di- nâmica tem por objetivo dividir as grandes tarefas de otimização em tarefas menores, e reduzir o número de computações necessárias.
O autor conclui que o método proposto preenche a lacuna entre a dependência de conhecimento do analista de negócios para a mode- lagem adequada de um processo, e a carência de modelos matemáticos não ambíguos para modelagem de negócios. Conclui também que os al- goritmos genéticos podem resolver uma variedade de problemas devido à sua robustez e capacidade de escapar de ótimos locais, e que embora não possam ser utilizados para desenho ou reengenharia de processos, no modelo proposto podem ser usados para melhorias contínuas e adap- tações à novas condições ou mudanças. A vantagem da programação dinâmica consiste na possibilidade de analisar e aplicar inovações sem realizar um recálculo geral dos subprocessos desde o início, já que a im-
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plementação da mudança afeta somente os subprocessos afetados por tal mudança.
(ROSA, 2013) investiga a existência de uma configuração alterna- tiva para as faixas operativas do modelo computacional atualmente uti- lizado no setor elétrico (SUISHI), de forma que sua simulação apresente um custo ótimo. Para tanto, aborda o problema utilizando algoritmos genéticos, que segundo o autor, se mostrou eficiente ao apresentar re- sultados melhores do que a operação em paralelo.
(ASANO et al., 2011) mostra a aplicabilidade e potencialidade dos algoritmos genéticos no planejamento da operação de sistemas hidro- térmicos de potência. Em seu trabalho, foram realizados vários testes relacionados à definição do tamanho de uma população eficiente, busca de uma solução inicial mais adequada ao problema e à ponderação dos operadores genéticos. O objetivo principal do trabalho consistiu em investigar a aplicação da técnica no planejamento energético de curto prazo, sendo exaustivamente avaliado através de testes com usinas per- tencentes ao Sistema Sudeste brasileiro. Estes testes abrangeram desde usinas isoladas, sistemas com usinas em cascata simples, sistema com várias usinas com cascatas em paralelo, até um complexo sistema de grande porte abrangendo trinta e cinco usinas interligadas hidraulica- mente, adotando-se distintas vazões afluentes, o que vem a mostrar a pertinência e a consistência da abordagem. O autor também pontua que os bons resultados obtidos na aplicação dos algoritmos genéticos mostraram o grande potencial da técnica, que conseguiu captar as di- ferentes características de operação das usinas, sem a necessidade de simplicar a formulação original do problema.
(KAZAY, 2001) aplica algoritmos genéticos no problema de otimi- zação do planejamento da expansão elétrica. Primeiramente, destaca o maior número de aplicações da computação evolucionária no domínio da otimização. E justifica a utilização dos algoritmos genéticos, que por não trabalharem com uma única solução apenas, mas com uma população de soluções candidatas ao final da convergência, consiste em importante fonte de flexibilidade em problemas reais.
O algoritmo de solução baseia-se na decomposição do problema da expansão nos subproblemas de investimento e de análises de de- sempenho financeiro e operativo, associadas a esse investimento, que podem ser eficientemente resolvidos através de técnicas de decompo- sição da programação matemática. O subproblema de investimento é um problema de programação inteira mista de múltiplos estágios, cuja solução fornece uma estratégia candidata de investimentos para todo o período de planejamento. Esse subproblema é resolvido no MOD-
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PIN1 por um algoritmo de "Branch and Bound"2. O subproblema de operação aborda a operação cronológica das hidrelétricas, o despacho térmico e o intercâmbio de energia entre áreas interligadas. O sistema MODPIN dispõe de duas opções para a resolução do subproblema de operação. Uma utiliza um algoritmo de fluxo em rede determinístico com representação agregada dos reservatórios e a outra utiliza progra- mação dinâmica estocástica, também com representação agregada dos reservatórios. A integração entre os subproblemas de investimento, de operação e financeiro é feita por intermédio da técnica de decomposição de Benders.
As comparações entre a qualidade dos resultados obtidos pelos métodos genético e "Branch and Bound" foram realizadas baseadas essencialmente no valor do custo mínimo do plano de expansão. Consi- derando esse quesito, o genético obteve um plano de expansão de menor custo e com menos iterações.
Além da questão quantitativa, o autor ressalta que o fato de que o algoritmo genético possui função de aptidão variável (custo de operação estimado), onde essa função a cada geração e iteração de Benders varia de forma dependente dos indivíduos que constituem as soluções viá- veis do problema. Essa característica de adaptação permitiu observar o problema mestre de uma forma singular e elaborar uma estruturação de dados mais eficiente na busca por soluções viáveis. Com relação à desvantagem do algoritmo genético, o autor pontua a eventual dificul- dade do algoritmo em manter um bom desempenho em problemas de diferentes tamanhos. Os casos rodados tiveram dimensão crescente e observou-se que, mantendo os mesmos parâmetros, o algoritmo genético apresentava resultados até 5% abaixo do melhor resultado encontrado pelo "Branch and Bound". Ao se fazer o refinamento dos parâmetros, esses resultados melhoraram substancialmente, embora destaque que a experimentação exaustiva dos parâmetros é uma forma de se otimizar um problema em particular mas não necessariamente contribui para a compreensão de como o algoritmo genético de fato obtém bons resulta- dos. A busca por melhores soluções deve estar sempre contextualizada dentro de seus objetivos mais amplos que, em última instância, seriam a confirmação da ferramenta utilizada.
(LABADIE, 2004) realiza uma revisão do estado da arte da otimi-
1Modelo de expansão sob incertezas desenvolvido pelo CEPEL e pela PSR (Power
Systems Research).
2Técnica de otimização surgida a partir da década de 1950, onde são realizadas
partições no espaço das soluções, com a prova da otimalidade da solução utilizando- se de limites calculados ao longo da enumeração das soluções candidatas.(FILHO D.; LOPES, 2003)
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zação do gerenciamento de reservatórios hídricos. Dentre as razões para a existência observada de uma lacuna entre desenvolvimentos teóricos no campo da otimização e implementações no mundo real, o autor pon- tua a complexidade matemática envolvida nos modelos de otimização, o que dificulta o seu entendimento, e a dificuldade de alguns modelos em incorporar variáveis relacionadas à risco e incerteza.
É citado que uma das técnicas favoritas de otimização para mo- delos de sistemas de reservatórios é o método simplex, que requer que a linearização das variáveis, e possui como vantagens a habilidade de resolver problemas de larga escala e a convergência para soluções glo- balmente ótimas. Nos casos de problemas de minimização, existe a restrição de que as funções devem ser convexas.
Em contraste com os procedimentos algoritmicos, em que proces- sos de convergência até a solução são aplicados em informações quan- titativas, existem os métodos de programação heurística, baseados em regras, experiências e analogias entre informações qualitativas e quan- titativas. Ao contrário da maioria dos algoritmos de otimização, alguns programas heurísticos não podem garantir soluções ótimas locais, mas muitas vezes são capazes de alcançar soluções ótimas para problemas onde métodos algorítmicos tradicionais não conseguiriam convergir em ótimos locais. A vantagem significativa dos algoritmos genéticos é que podem ser relacionados diretamente com modelos de simulação sem exi- gir a simplficação de premissas no modelo. O algoritmo genético ajusta as populações para liberar regras estruturais baseadas nas predições dos impactos das regras providas pelo modelo de simulação. Análise de frequencia pode ser realizadas durante a simulação, resultando em distribuições de probabilidade e várias medidas de risco que pode ser incluidas na função objetivo. O autor cita aplicações em que os algo- ritmos genéticos se mostraram superiores não pela eficiência computa- cional, mas pela habilidade de resolver problemas não lineares e não convexos. A flexibilidade também é apontada como um fator favorável, na medida em que algoritmos genéticos, diferentemente dos algoritmos de otimização que geram soluções únicas, podem produzir populações de soluções.
Uma desvantagem citada dos algoritmos genéticos é a dificul- dade de considerar explicitamente as restrições, especialmente as de desigualdade, que acabam sendo indiretamente consideradas através de penalizações na função fitness, embora existam estratégias evolu- cionárias que consigam explicitar essas restrições, mas em geral são aplicações específicas para um problema e devem ser modificados para cada aplicação.
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Dentre as conclusões do autor, é citado que dentre os fatores de sucesso na implementação de modelos de otimização de sistemas de re- servatórios, constam a melhoria na ligação com modelos de simulação, e que nesse campo métodos de programação heurística são particula- mente importantes. A habilidade dos algoritmos genéticos em se ligar direamente com modelos de simulação é uma grande vantagem. Em ge- ral, desafios encontrados nos métodos de otimização estocástica podem ser superados com a aplicação de técnicas heurísticas.
As aplicações de diferentes autores destacadas na presente se- ção demonstram o sucesso da aplicação de algoritmos genéticos para a solução de problemas sequenciais de larga escala. A próxima seção detalhará a aplicação realizada no presente estudo, que diferentemente de alguns dos estudos investigados, não se propõe à substituir total- mente a programação dinâmica atualmente empregada, mas auxiliar uma etapa específica do algoritmo de programação, no caso, a seleção de estados.
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4 A APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS SOBRE A SELEÇÃO DE ESTADOS
Este capítulo apresenta a conceituação de algoritmos genéticos, a simulação do problema de otimização por Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE), a aplicação de ferramental oriundo de algoritmos genéticos sobre esse problema, e apresenta os resultados das simulações comparando custo total de operação, número de iterações e função de custo futuro.
A simulação aqui apresentada do cálculo da função de custo fu-