Programação dinâmica

Segundo Goldbarg e Luna (2005), a programação dinâmica (PD) é uma técnica utilizada para a aplicação de processos de decisão multiestágios, sendo a descrição deste último como aquele que pode ser desdobrado segundo certo número de etapas sequenciais ou estágios.

Decisões são as alternativas incluídas na conclusão de um estágio; e a condição do processo dentro de cada estágio é denominada estado. Cada estágio inclui a tomada de uma decisão que pode ou não alterar o estado do processo.

Mais uma vez, a otimização do perfil longitudinal foi considerado por Haith (1966). Este autor utilizou a PD e baseou-se no princípio de que – para uma certa vazão, condições topográficas e características do terreno – o custo de um trecho

37

depende exclusivamente da quantidade de energia utilizada neste último. O problema consistia em repartir os recursos disponíveis, ou seja, a diferença de cota entre o ponto mais alto e o mais baixo da rede, de forma a minimizar o custo total.

Este modelo, devido à forma simplificada de sua formulação, não permite a sua utilização no dimensionamento de casos práticos. Ademais, o escoamento foi admitido como seção cheia (plena) e a rede não possuía trechos secundários, hipóteses que se afastavam bastante da realidade prática.

Walsh e Brown (1973), baseando-se nos conceitos apresentados por Haith (1966), desenvolveram um modelo que considera funções de custo mais precisas e admitiram que o escoamento ocorresse em seções parcialmente cheias. Estes autores apresentaram dois exemplos que serviram de base aos testes do programa de computador por eles elaborado. O primeiro correspondia a uma rede hipotética de pequena dimensão, e o segundo representava uma rede com dimensões práticas, incluindo 110 poços de visita.

Para ambos os exemplos, os autores compararam os custos obtidos pelo modelo proposto e pela prática de projeto convencional na época. Concluíram que foram obtidas soluções mais econômicas no primeiro caso, apesar de não serem citadas informações sobre tempo e memória computacional.

A utilização da PD foi difundida por Argaman, Shamir e Spivak (1973), que procuraram otimizar o traçado e o perfil de redes coletoras de esgotos sanitários. No modelo computacional elaborado por estes autores, a função objetivo era composta pelos custos de escavação, tubulação e poços de visita. O modelo foi testado em redes hipotéticas e uma real, compostas de 36 (trinta e seis) poços de visita cada. A deficiência do método, segundo os autores, foi o grande espaço de memória e o longo tempo de processamento requerido para a época, quando o modelo era aplicado em redes de maiores dimensões.

Estes autores sugeriram que redes grandes fossem subdivididas em outras menores e que, para o problema de tempo, fossem avaliadas novas técnicas de programação ou que fossem empregados computadores com alto desempenho de cálculo.

38

A PD também foi aplicada para otimizar os custos de interceptores de esgotos de configuração predefinida por Merrit e Bogan (1973), por meio de um modelo computacional baseado em programação dinâmica discreta, na qual as variáveis de decisão eram os diâmetros e as respectivas cotas do coletor. O limite do programa era de, no máximo, 200 poços de visita. Afirmaram, após análises dos custos resultantes, que a aplicação do modelo em redes coletoras de esgotos sanitários pode gerar uma economia de 5 a 10% em relação ao custo obtido pelo processo convencional.

Mays e Yen (1975) elaboraram dois modelos computacionais para otimizar redes coletoras de esgotos, utilizando a programação dinâmica e a programação dinâmica diferencial discreta (PDDD). Apresentaram a metodologia seguida na utilização da programação dinâmica convencional para uma rede sem trechos secundários.

A partir deste ponto, generalizaram para o caso de uma rede com configuração ramificada, decompondo o sistema em vários subsistemas, cada um deles com se fosse uma rede sem trechos secundários (designados pelos autores de “non-serial approach”).

Com as aplicações destes modelos, os autores compararam as reduções de custos, tempo de processamento e memória requerida, tirando como conclusão ser a PDDD a mais desejável, apresentando uma redução do tempo de cálculo em até 30% em relação à PD, sendo as diferenças de custos e de memória de menor significância.

Braga (1982) utilizou-se dos modelos de Mays e Yen (1975) com o intuito de dimensionar uma rede hipotética e uma real no município de Ibiúna/SP. Segundo este autor, demonstrou-se a aplicabilidade com eficiência para redes de grandes dimensões com o uso de junções fictícias e subdivisão de bacias. A função objetivo aplicada incluiu os custos referentes à tubulação, poços de visita, tubos de queda e movimentos de terra.

Apesar de o modelo ter sido validado em redes reais, obtendo bons resultados, o mesmo ficou restrito às redes de pequeno e médio porte, de no máximo 191 trechos, com a subdivisão da rede em três sub-bacias.

39

Ainda houve outras limitações como: a não verificação do atendimento da condição de remanso antes de se definir qualquer alternativa econômica para um dado trecho da rede; o cálculo hidráulico não era realizado de forma direta, mas pela interpolação das vazões, áreas e lâminas de escoamento conhecidas; o número de diâmetros comerciais era limitado a seis.

Kulkarni e Khanna (1985) apresentaram um algoritmo de otimização aplicando programação dinâmica, que analisava o perfil dos sistemas de esgotos sanitários por gravidade que necessitavam ou não de bombeamento.

A função objetivo que devia ser minimizada levou em conta os custos de movimentos de terra, tubulações, poços de visita e bombeamento (bombas, acessórios e energia elétrica).

Estes autores tentaram sanar o problema de capacidade de armazenamento de dados da época fazendo uso do conceito de custo efetivo proposto por Gupta, Mehndiratta e Khanna (1983), e subdividindo a rede em sub- bacias. Utilizou-se uma rede composta por 607 trechos, sendo necessário subdividi-la em 3 zonas, mostrando, desta forma, as dificuldades computacionais com relação a redes de grande porte.

Pereira e Câmara (1998) empregaram uma metodologia que otimizava,

simultaneamente, a configuração e o perfil de redes de esgoto. Para o traçado, os artífices utilizaram o algoritmo genético em conjunto com regras heurísticas; já para o perfil, a programação dinâmica foi adotada.