Programação inteira nos modelos de gestão florestal

Uma das técnicas de optimização mais usadas nos modelos de gestão florestal complexos tem sido a programação linear e, por isso, foi tema exposto e desenvolvido em livros de referência de estudos florestais (e.g. [Davis e Johnson, 2001] ou [Buongiorno e Gilless, 1987]).

[Johnson e Scheurman, 1977] mostraram que a maioria dos problemas de escalonamento de gestão florestal podem ser descritos por duas formulações alternativas de programação linear designadas por Modelo I ou Modelo II.

As formulações dos dois modelos diferenciam-se pelo modo como as variáveis de decisão são definidas. No caso do Modelo I, as variáveis de decisão representam o número de hectares de um dado povoamento que são geridos de acordo com uma determinada prescrição, enquanto, no Modelo II, as variáveis de decisão correspondem ao número de hectares regenerados num dado período e que ou são cortados noutro período ou constam no inventário final. Neste modelo, são incorporadas restrições que garantem que a área regenerada é igual à área realizada [Davis e Johnson, 2001].

O Modelo I pode ser descrito na sua forma mais simples do seguinte modo:    =  X =1  X =1  (6.1)  X =1 =   ∈ I  ≥ 0  ∈ I,  ∈ K em que,

 = número de hectares do povoamento  geridos segundo a prescrição  com

 ∈ I = {1  } e  ∈ K= {1  } ;

 = valor actual líquido, por hectare, resultante de gerir o povoamento  segundo a pres-

crição  com  ∈ I e  ∈ K;

 = área do povoamento  com  ∈ I

As restrições exigem que toda a área da floresta é gerida por alguma prescrição.

No caso do Modelo II, a sua formulação mais simples poderá ser apresentada de acordo com as seguintes equações:    =  X =1 −_X = +  X =  (6.2)

6.1 Programação inteira 127  X =1 +  =  para todo o  −_X = =  X =+ +   = 1     ≥ 0 em que,

= número de hectares regenerados no período  e cortados no período ;

 = valor actual líquido por hectare, resultante de regenerar um povoamento no período 

e cortá-lo no período ;

 = número de períodos do horizonte de planeamento;

 = período no qual o povoamento mais velho é regenerado (pode ser negativo em termos do horizonte de planeamento);

 = idade mínima de corte (em termos de número de períodos de planeamento);  = número de hectares no inventário final que foram regenerados no período ;

 = valor actual líquido por hectare, resultante de um povoamento que está em inventário

final e que foi regenerado no período ;

 = número de hectares do período 1 que foram regenerados no período 

O primeiro conjunto de restrições garante que o número de hectares regenerados num dado período  ou são cortados num outro período  ou constam no inventário final. O segundo grupo de restrições exige que a área cortada num determinado período  é regenerada nesse mesmo período e pode depois ou ser cortada novamente ou constar no inventário final.

O Modelo I tem, em geral, mais variáveis de decisão do que o Modelo II, pois é necessário definir prescrições para todos os povoamentos iniciais e, normalmente, o número de prescrições possíveis cresce exponencialmente com o número de períodos. Por outro lado, o Modelo II tem mais restrições devido à imposição de igualar a área realizada à área regenerada. Em qualquer um dos modelos, podem ser acrescentadas restrições que impõem, por exemplo, regularidade de volume ao longo dos períodos do horizonte de planeamento considerado, um determinado nível no inventário final, regulação em termos de área ou limitações orçamentais [Davis e Johnson, 2001]. [Reed e Errico, 1986] desenvolveram um modelo de programação linear para planear os cortes de madeira - Modelo III - forma mais geral do Modelo II de programação linear de [Johnson e Scheurman, 1977], pois, para incluírem perdas esperadas para a floresta, como con- sequência dos incêndios, assumem uma fracção conhecida para a floresta ardida em cada ano.

A floresta é organizada por classes de idade e os cortes são contabilizados por área e classe de idade. Em cada período, em cada classe de idade, é contabilizada uma proporção de árvores mortas pelos fogos, sendo essa proporção adicionada, no período seguinte, à classe de idades mais jovem. Segundo eles, o planeamento à escala da paisagem com a presença de risco de incêndio, conduz a menores quantidades de madeira cortada ao longo do horizonte de planeamento do que no caso determinístico, o que também pode acontecer no caso da gestão ao nível do povoamento, onde os volumes de corte são mais elevados mais cedo.

Se, por exemplo, no Modelo I as variáveis de decisão, em vez de considerarem o número de hectares geridos por uma prescrição, passarem a considerar se um determinado povoamento é gerido por uma prescrição específica, o problema passa a ser de programação inteira mista. As restrições de adjacência, várias vezes consideradas em modelos de gestão florestais (e.g. [Torres-Rojo e Brodie, 1990], [Falcão e Borges, 2002], [Caro et al., 2003], [Martins et al., 2005], [Constantino et al., 2008]), que restringem os cortes em povoamentos contíguos em alguns perío- dos do horizonte de planeamento, estão, normalmente, associadas a problemas de programação inteira, onde as variáveis binárias permitem ou não a adopção de uma dada prescrição para um determinado povoamento.

Deste modo, a grande diferença entre os modelos de programação linear e os modelos de pro- gramação inteira, nos problemas de gestão florestal, é que, enquanto os modelos de programação linear utilizam variáveis que permitem afectar a um povoamento várias prescrições, atribuindo a cada prescrição parte da área do povoamento e desconhecendo-se a localização específica dessas áreas, os modelo de programação inteira são usados quando é necessário ter em conta conside- rações espaciais, nomeadamente, em termos de adjacências ou de interacções com os vizinhos, como acontece, por exemplo, no caso em que se incorpora o risco de incêndio nos modelos de gestão à escala da paisagem. Para incluir essas considerações espaciais, estes modelos utilizam variáveis binárias que obrigam a afectação de apenas uma prescrição para um dado povoamento. Os modelos de programação inteira são uma ferramenta poderosa que permitem modelar o escalonamento de cortes ou outros tratamentos florestais, em problemas práticos de opti- mização combinatória, de uma forma eficiente. Com o recurso a implementações simples e a solvers adequados, estes permitem muitas vezes determinar de forma eficiente a solução óptima [Zhang et al., 2009].