Programação Linear

A Programação Linear (PL) é o instrumento de Pesquisa Operacional mais comumente empregado na resolução prática de problemas decisórios objetivos e de certa complexidade. Em linhas gerais, a programação linear consiste na descrição de um sistema organizado com auxílio de um modelo matemático, e através da resolução deste modelo, encontrar a melhor solução.

A Programação Linear visa fundamentalmente encontrar a melhor solução para problemas que tenham seus modelos representados por expressões lineares. A sua grande aplicabilidade e simplicidade devem-se a linearidade do modelo. A tarefa da PL consiste na maximização ou minimização de uma função linear, denominada Função objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome de Restrições do Modelo. As restrições determinam uma região a qual se dá o nome de Conjunto Viável, a melhor das soluções viáveis (soluções que pertencem ao Conjunto Viável), ou seja, aquela que maximiza ou minimiza a função objetivo, denomina-se Solução Ótima. O objetivo da Programação Linear é determinar a solução ótima (MARINS, 2011). O diagrama mostrado na Figura 4 observa-se as definições e interações entre estes componentes.

A otimização dos processos é importante em qualquer área de conhecimento, visto que a sua finalidade é solucionar problemas que afetam o desempenho de algum setor. No geral, a otimização possui duas vertentes: a maximização e a minimização (SOARES, 2011; ALMEIDA et al., 2013).

Figura 4- Componentes do modelo de programação linear.

Fonte: Moreira (2003).

Para um sistema poder ser traduzido em um modelo de Programação Linear, deve possuir as características mostradas por Soares (2011):

• Não Negatividade: “Deve ser sempre possível desenvolver dada atividade em

qualquer nível não negativo e qualquer proporção de um dado recurso deve sempre poder ser utilizado.

• Aditividade: Propriedade na qual o custo total é igual a soma das partes, ou seja,

das parcelas de cada atividade, exemplificado como f(x + y) = f(x) + f(y)

• Separabilidade: É possível identificar o custo específico de cada atividade;

• Linearidade: Neste quesito, o Problema de Alocação claramente se encaixa, pois

a relação entre a função objetivo e o custo é linear, de modo que, quanto maiores os custos das associações, maior será o resultado da expressão da função objetivo.

Função objetivo

Medida de efetividade como uma função matemática das variáveis de decisão. Maximiza ou minimiza uma medida de performance.

Restrições

Conjunto de equações lineares de igualdade ou desigualdade que as variáveis de decisão devem satisfazer.

Variáveis de decisão

Variáveis desconhecidas que serão determinadas pela solução do modelo. São variáveis contínuas e não-negativas.

Parâmetros

Constantes ou coeficientes previamente conhecidos.

Componentes Sujeito a

Na solução de problemas de otimização faz-se necessário o uso de modelagens e métodos aplicados à tomada de decisões e à resolução de problemas. Nesse contexto, a programação linear é uma técnica da pesquisa operacional importante, uma vez que ela mostra ao usuário qual a solução ótima para um dado problema, ou soluções que melhor se enquadre ao processo (ALMEIDA et al., 2013).

Em busca de soluções ótimas os softwares são projetados com ênfase na confiabilidade dos resultados e na melhoria constante da interface gráfica a ser apresentada ao usuário. A vantagem do modelo de programação linear está na eficiência dos algoritmos de solução existentes, disponibilizando alta capacidade de cálculo, e podendo ser facilmente implementado até mesmo através de planilhas e/ou com auxílio de microcomputadores. Portanto, a programação linear envolve o planejamento de atividades para obter um resultado ótimo, isto é, um resultado que atinja o melhor objetivo especificado (de acordo com o modelo matemático) entre todas as alternativas viáveis (ALMEIDA et al., 2013; TIBURCIO et al., 2015).

Um modelo é uma ferramenta para se chegar a uma visão bem estruturada da realidade, ou seja, é uma representação simplificada de situações reais. A modelagem na pesquisa operacional, em geral, é composta por dois processos. Primeiro, o sistema real, com grandes especificidades e um número elevado de variáveis, é abstraído num modelo conceitual, em que apenas uma fração dessas variáveis é considerada. Depois, esse modelo conceitual é abstraído num modelo matemático ou de simulação, que procura representar satisfatoriamente o sistema. A modelagem matemática pode ser considerada como a arte de transformar problemas reais em problemas matemáticos, resolvê-los e, então, interpretar suas soluções na linguagem do mundo real. Uma modelagem eficiente é capaz de fazer previsão, tomar decisões, explicar e entender os problemas do contexto real (FEIJÓ et al., 2013). Um modelo não é igual à realidade, mas suficientemente similar para que as conclusões obtidas através da sua análise e/ou operação, possam ser estendidas à realidade, auxiliando a tomada de decisão de forma eficiente, além disso, a utilização de modelos facilita o processo de análise de decisão, pois permite a experimentação o que significa que uma decisão pode ser melhor avaliada e testada antes de ser efetivamente utilizada (LIMA et al., 2015).

O modelo de programação linear que será utilizado neste trabalho para identificar a localização ótima de pontos de coletas de medicamentos na cidade de

Fortaleza, que envolve variáveis inteiras e binárias xij e yi do tipo (0,1). Existem 119

bairros em Fortaleza (n=119) e deseja-se instalar uma determinada quantidade de coletores de medicamentos nestes bairros (m=1, 2, 3 etc.) de forma a minimizar os custos de alocação e de transportes entre os bairros e estes pontos de coletas de medicamentos. Inicialmente definiremos as variáveis e os parâmetros do modelo de PL a ser utilizado: á = 1 é 0 á Variáveis de alocação: = 1 é ; = 0 á , é: ã

Uma vez definido as variáveis de decisão do modelo de PL, passamos a descrever os coeficientes tecnológicos do modelo:

Sejam ainda: = 119 ú = 119 ú = ú = çã = â

A formulação compacta do modelo de alocação capacitada como um modelo de PLI Programação Linear Inteira assume a forma (ANDERSEN, 1998; DANTZING, 1963):

=1 =1 + =1 : =1 = 1 = 1,… =1 ≤ = 1,… , ( ) =1 = : ( ) ∈ 0,1 = 1,… , , ∈ 0,1 = 1,… , = 1, … , ( )

A equação (A) indica a função objetivo com duas componentes: a distância total a ser percorrida entre os bairros e os pontos de coleta e a outra componentes dos custos fixos que assumimos todos iguais a 1.

A equação (B) assegura que cada bairro j deve ser atendido por um e somente um ponto de coleta. Já as restrições (C) indicam que cada ponto de coleta pode receber medicamentos de vários bairros. A equação (D) assegura a quantidade de pontos de coleta que o gestor público está disposto a instalar. As demais restrições configuram a integralidade das variáveis serem {0 ou 1}.

A solução numérica do modelo acima de PLI é obtida através do algoritmo Simplex voltado para variáveis inteiras.

É importante destacar que a solução do modelo pode ser obtida através de diversos softwares, tais como o LINDO, o SOLVER e o LINGO.

O software LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) foi adotado neste trabalho para resolução de modelos matemáticos de programação linear inteira. Suas versões disponíveis variam de acordo com a quantidade de restrições e variáveis, sendo a de maior extensão nomeada Extended (PRADO, 2007).

Outro software utilizado com frequência na PL é o SOLVER, executado a partir do Excel. Ele trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a fórmula na célula de destino. Ele ajusta os valores nas células variáveis que você especificar para produzir o resultado especificado por você na formula da célula de destino. Depois de montadas as fórmulas na planilha do Excel são necessárias indicar as funções objetivo, variáveis de decisão e restrições do modelo (ALMEIDA et al., 2013).

O SOLVER tem se revelado muito conveniente para a resolução de pequenos e médios problemas de PL, visto que o Excel está disponível em praticamente todo computador. A problemática desse software é o fato dele não apresentar relatórios de erros relativos aos dados de entrada do modelo, o que o difere do LINDO®.

LINGO® é uma outra ferramenta abrangente projetada para tornar a construção e resolução de modelos lineares e não lineares de forma mais rápida, mais fácil e mais eficiente. Ele trabalha casos de otimização utilizando a programação linear, ou não-linear e funciona de forma similar aos softwares citados acima, ou seja, é preciso entrar com o modelo matemático e inserir as informações necessárias (função objetivo, variável de decisão e restrição do modelo). Feito isso, é só executar a ferramenta „solve‟ e caso tenha sido inserido tudo de forma correta, o software abrirá uma janela com os resultados da modelagem (ALMEIDA et al., 2013; TIBURCIO et al., 2015). Uma das vantagens da utilização do software LINGO é que o operador não precisa especificar ou carregar um solver separadamente, porque ele lê sua formulação e seleciona automaticamente o mais apropriado entre seu vasto conjunto de solvers, o que garante que o software tem uma maior capacidade de resolução de problemas variados. O LINGO possui uma interface de fácil acesso com o usuário e a linguagem utilizada não requer conhecimento avançado de informática (FEIJÓ et al., 2013).