Para esse portfólio foram utilizadas as cotações de fechamento para o
cálculos dos retornos. O R Studio foi utilizado para calcular os portfólios.
library(fPortfolio) library(quantmod)
#Importação das cotações na internet sdate<-as.Date("2019-12-18")
edate<-as.Date("2021-03-25")
corretora6<-c("B3SA3.SA","BBAS3.SA","EZTC3.SA", "ITSA4.SA","LREN3.SA", "MGLU3.SA", "NTCO3.SA", "LCAM3.SA", "VALE3.SA","WEGE3.SA")
portfolio6<-na.omit(getSymbols(corretora6, from=sdate, to=edate)) #Cálculo dos retornos aritméticos mensais
B3SA3<-dailyReturn(Cl(B3SA3.SA)) BBAS3<-dailyReturn(Cl(BBAS3.SA)) EZTC3<-dailyReturn(Cl(EZTC3.SA)) ITSA4<-dailyReturn(Cl(ITSA4.SA)) LREN3<-dailyReturn(Cl(LREN3.SA)) MGLU3<-dailyReturn(Cl(MGLU3.SA)) NTCO3<-dailyReturn(Cl(NTCO3.SA)) LCAM3<-dailyReturn(Cl(LCAM3.SA)) VALE3<-dailyReturn(Cl(VALE3.SA)) WEGE3<-dailyReturn(Cl(WEGE3.SA))
rport<-cbind(B3SA3,BBAS3,EZTC3, ITSA4,LREN3, MGLU3, NTCO3, LCAM3, VALE3,WEGE3) [-1]
asset.names<-c("B3SA3","BBAS3","EZTC3", "ITSA4","LREN3", "MGLU3", "NTCO3", "LCAM3", "VALE3","WEGE3")
names(rport)=asset.names
rport6<-as.timeSeries(na.omit(rport))*100 head(rport6)
#Portfólio com pesos iguais - portfólio da corretora peso<-portfolioSpec()
nativos<-ncol(rport6)
setWeights(peso)<-rep(1/nativos,times=nativos)
port6<-feasiblePortfolio(data=rport6, spec=peso, constraints = "longOnly") port6 Title: MV Feasible Portfolio Estimator: covEstimator Solver: solveRquadprog Optimize: minRisk Constraints: Portfolio Weights:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 Covariance Risk Budgets:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.0959 0.1048 0.1268 0.0703 0.1012 0.1120 0.1099 0.1278 0.0746 0.0767
Target Returns and Risks: mean Cov CVaR VaR 0.0920 3.0167 8.0646 3.6665 #Portfólio de Risco Mínimo
port61<-minvariancePortfolio(rport6,spec=portfolioSpec(), constraints = "LongOnly" )
port61#portfolio com o menor risco Title:
MV Minimum Variance Portfolio Estimator: covEstimator Solver: solveRquadprog Optimize: minRisk
Constraints: LongOnly Portfolio Weights:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.0000 0.0000 0.0000 0.5678 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1928 0.2394 Covariance Risk Budgets:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.0000 0.0000 0.0000 0.5678 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1928 0.2394 Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR 0.0774 2.4549 6.1302 3.5915 #Portfolio de Máximo Retorno
port62<-tangencyPortfolio(rport6,spec=portfolioSpec(), constraints = "LongOnly") port62#portfolio com o maior retorno/menor risco
Title: MV Tangency Portfolio Estimator: covEstimator Solver: solveRquadprog Optimize: minRisk Constraints: LongOnly Portfolio Weights:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.4111 0.5889 Covariance Risk Budgets:
B3SA3 BBAS3 EZTC3 ITSA4 LREN3 MGLU3 NTCO3 LCAM3 VALE3 WEGE3 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3522 0.6478 Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR 0.2745 2.8779 7.2877 3.5946
#Comandos para a geração do gráfico frontier=portfolioFrontier(rport6)
frontierPlot(frontier,col=c("blue", "red"),pch=20, title=FALSE, xim=c(0,5), ylim=c(0,0.4))
title(main="Fronteira Eficiente de Markowitz", xlab="Risco", ylab="Retorno %") grid(col="black")
v1<-c(3.0167) v2<-c(0.0920)
points(v1,v2, pch=22,col="black",bg="yellow", cex=1.5) text(3.3,0.092,"Portfólio da Corretora 6")
v3<-c(2.4549) v4<-c(0.0774)
points(v3,v4, pch=20, col="black", bg="black", cex=2) text(2.8,0.077,"Portfólio de Risco Mínimo")
v5<-c(2.8779) v6<-c(0.2745)
points(v5,v6, pch=20, col="black", bg="orange", cex=2)#máximo retorno text(3.3,0.27, "Portfólio de Retorno Máximo")
9. Conclusões
A teoria de portfólio ótimo de Markowitz pressupõe que a distribuição conjunta dos retornos dos ativos é normal multivariada logo, a distribuição de probabilidade dos retornos dos portfólios têm distribuição normal. Com essa premissa, os retornos ficam determinados pela média e pela variância, representados estatisticamente por
.
Conforme Markowitz, a maximização do retorno esperado, representado pela média dos retornos, equivale ao problema dual de minimização da variância. Nesse caso, se a premissa de normalidade dos retornos é válida, o modelo tem boa acurácia e o portfólio sugerido pelo modelo tem aplicação prática imediata.
O que ocorre se os retornos não seguem uma distribuição normal? Nesse caso o modelo deve ser visto com cautela pois existem outras variáveis não computadas no modelo que explicam o retorno e o risco, ou seja, o portfólio sugerido pelo modelo não é necessariamente o portfólio ótimo. Mesmo assim, o modelo não deixa de ser útil desde que se tenham outras informações que possam validar o modelo. Vale a observação do prêmio Nobel de economia, Eugene Fama , a seguir: 12
"The usefulness of the portfolio model depends not on whether the normality assumption which underlies it is an exact description of the world (we know it is not), but on whether the model yields usuful insights into the essencial ingredients of a rational portfolio decision. Likewise, the usefulness of the model for securities prices depends on how well is describes observed relationships betwen average returns and risk. If the model does well on this score, we
E(R) ∼ N(μ, σ
2)
Fama, Eugene F. Foundations of Finance. Basic Books, Inc. USA, 1976.
can live with the small observed departures from normality in monthly returns, at least until better models come along." 13
A utilidade da teoria de Markowitz foi comprovada de forma empírica, na prática testando os portfólios sugeridos por diversas corretoras. O modelo média/variância se mostrou superior aos modelos propostos pelas corretoras. Existem ganhos significativos de retornos e de reduções de riscos com a aplicação da teoria de Markowitz na estruturação de portfólios.
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7. MARKOWITZ, Harry. Portfolio Selection. The Journal of Finance, Vol. 7, n.1, Mar., 1952. 8. MARKOWITZ, Harry M. Foundations of Portfolio Theory. Nobel Lecture, December, 1990. 9. MORETTIN, Pedro A. Econometria Financeira. São Paulo, Blucher, 2008.
10. R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing,Vienna, Áustria, 2019. https://www.R-project.org/.
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12. SIMONSEN, Mário Henrique. Capítulo IX: A Teoria da Escolha Envolvendo Risco, in: Dinâmica Macroeconômica. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1983.
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14. WURTZ, Diethelm, SETZ, Tobias, CHALABI, Yohan, LAM, Longhow, ELLIS, Andrew. Basic R for Finance, 2010.
15. WURTZ, Diethelm, SETZ, Tobias, CHALABI, Yohan ,CHEN, William, ELLIS, Andrew. Portfolio Optimization with R/Rmetrics. R/Rmetrics Workshop Singapore 2010.
DISCLAIMER
As carteiras analisadas e as ações citadas no presente artigo não são recomendações para investimentos mas, apenas para fins de exemplificações práticas
”A utilidade do modelo de portfólio não depende se o pressuposto de normalidade subjacente é uma descrição exata do mundo
13
(sabemos que não), mas se o modelo produz resultados úteis dentro de um contexto de decisão racional de portfólio. Da mesma forma, a utilidade do modelo de precificação de títulos depende da sua boa descrição das relações observadas entre os retornos médios e o risco. Se o modelo se comporta bem nessa pontuação, podemos conviver com os pequenos desvios observados em relação à normalidade dos retornos mensais, pelo menos até que modelos melhores apareçam.” Tradução livre dos autores.
da teoria de Markowitz. Os autores não se responsabilizam por eventuais perdas de recursos financeiros ou patrimoniais de pessoas ou empresas que utilizem, no todo ou em parte, as informações constantes neste artigo.