Programa¸c˜ ao Dinˆ amica

A programa¸c˜ao dinˆamica ´e uma t´ecnica computacional que aplica o conceito de tomada de decis˜ao, fornecendo a trajet´oria ´otima do sistema (KIRK, 2004). Essa t´ecnica segue o princ´ıpio de otimalidade, o qual indica que, independente do estado inicial, as decis˜oes restantes devem constituir uma trajet´oria ´otima a partir da decis˜ao inicial tomada (BELLMAN, 1962).

Para encontrar a fun¸c˜ao de controle que minimiza os crit´erios estabelecidos para o comportamento do sistema ´e definida a resposta para a¸c˜ao de controle ´otima de um sistema malha fechada como sendo

u∗(t) = f (x(t), t). (15)

Considera-se a vari´avel de estado para um sistema invariante no tempo repre- sentada pela seguinte equa¸c˜ao

ẋ(t) = a(x(t), u(t)), (16)

e deseja-se encontrar a a¸c˜ao de controle u∗ que minimize a fun¸c˜ao custo determinada por

J = h(x(tf)) +

∫︂ tf 0

g(x(t), u(t))dt, (17)

e assim cause uma trajet´oria ´otima na vari´avel de estado x∗. Sendo tf o tempo final de

minimiza¸c˜ao do per´ıodo analisado e da amostra final especificamente.

Primeiramente, com o intuito de utilizar o m´etodo de otimiza¸c˜ao computacio- nalmente ´e realizada uma aproxima¸c˜ao da equa¸c˜ao (16) de tempo cont´ınuo para discreto, tratando a varia¸c˜ao como incrementos igualit´_{arios no intervalo de 0 ⩽ t ⩽ t}f. Desse modo

´e obtida

x(t + ∆t)_{− x(t)}

∆t ≈ a(x(t), u(t)), (18)

a qual tamb´em pode ser representada pela equa¸c˜ao

x(k + 1) = aD(x(k), u(k)), (19)

ao utilizar uma nota¸c˜ao mais simplificada. Em que k ´e representado pela sequˆencia k = 0, 1, . . . , N _{− 1.}

Realizando uma aproxima¸c˜ao da lei de controle ´otima indicada em (17) da mesma forma que foi aplicada `as vari´aveis de estado, alterando de tempo cont´ınuo para discreto, ´e obtida a equa¸c˜ao

J _{≈ h(x(N)) + ∆t}

N −1

∑︂

k=0

g(x(k), u(k))dt, (20)

tamb´em denotada de forma simplificada por

J = h(x(N )) +

N −1

∑︂

k=0

gD(x(k), u(k))dt. (21)

A vari´avel N indica a quantidade m´axima de amostras. Fazendo uma an´alise recursiva na equa¸c˜ao (21), adotada por Kirk (2004) para o m´etodo de programa¸c˜ao dinˆamica, ´e poss´ıvel alcan¸car uma forma de representa¸c˜ao para as (N _{− K) amostras} de c´alculo que minimizam a fun¸c˜ao custo. Desse modo, aplicando o princ´ıpio de otimali- dade a equa¸c˜ao pode ser representada por

J_{N −K}∗ (x(N_{−K)) = min} u(N −K){gD(x(N−K), u(N−K))+J ∗ N −(K−1)(aD(x(N−K), u(N−K)))}, (22) para K variando de K = 1, 2, . . . , N .

Nota-se que a amostra N recebe o valor de custo indicado por

referente ao estado final de an´alise.

3.3.2.2 Formula¸c˜ao da fun¸c˜ao custo

Antes de aplicar o m´etodo de otimiza¸c˜ao ´e necess´ario primeiramente formular uma fun¸c˜ao custo que preencha os requisitos de cada modo de gerenciamento, al´em de atender as preferˆencias dos usu´arios. Dessa forma, foram desenvolvidas duas fun¸c˜oes custo para contemplar os modos ECO e V2G. A seguir s˜ao apresentadas as parcelas que comp˜oe as fun¸c˜oes custo que atendem `as caracter´ısticas espec´ıficas de cada modo.

– Estado no tempo final (ECO/V2G): De modo a estabelecer um valor final para a vari´avel de estado de carga (SOC), e assim permitir um ponto de partida para o m´etodo de programa¸c˜ao dinˆamica, ´e proposta a express˜ao

Esoc(tf) = γ(︁∆SOCf,EVE,V 2GEbat,EVE,V 2G)︁ , (24)

Em (24), Esoc representa o erro entre o SOC calculado e o SOCf de referˆencia

para a ´ultima amostra de conex˜ao do ve´ıculo, em que

∆SOCf,EVE,V 2G =(︁SOCf,EVE,V 2G − SOCEVE,V 2G(tf)

)︁2

. (25)

O ganho γ representa o peso estipulado para o estado final; ∆SOCf,EVE,V 2G re-

presenta o erro entre o valor final de SOC de referˆencia escolhido pelo usu´ario (SOCf,EVE,V 2G)

e a amostra final calculada (SOCEVE,V 2G(tf)); e Ebat,EVE,V 2G ´e a capacidade m´axima de

cada ve´ıculo conectado para um dos dois modos.

– Equil´ıbrio de potˆencia no PCC (ECO/V2G): Para ponderar o equil´ıbrio de potˆencia no PCC e verificar a troca de energia entre a fonte PV, as cargas e os EV garantindo o equil´ıbrio do sistema ´e formulada a parcela representada por

Rpcc = δ rG(tm)

[︄

P_{EVE,V 2G}∗ (tm) + Pˆnet(tm) + PˆEVM(tm)

]︄

∆t (26)

adotando um referencial de carga para os EV. Em que

Pˆnet(tm) = PˆL(tm)− PˆP V(tm) (27)

PˆEVM(tm) =

∑︂

M ode ∈ M∗

sendo que _M∗ representa todos os ve´ıculos em todos os modos, com exce¸c˜ao do ve´ıculo atual.

Em (26), δ ⩾ 1 ´e o peso relacionado `a influˆencia de Rpcc na fun¸c˜ao custo; rG(tm)

´e o pre¸co de compra de energia da rede el´etrica para o per´ıodo de tempo tm ∈ [ti, tf]; a

vari´avel P_EV∗ representa a potˆencia de carregamento ´otima. As vari´aveis PˆL e PˆP V s˜ao,

respectivamente, as potˆencias de demanda e de gera¸c˜ao futuras recebidas do m´odulo de predi¸c˜ao. A equa¸c˜ao (28) tem o mesmo sentido da equa¸c˜ao (10), entretanto utilizando a nota¸c˜ao da estrutura de aquisi¸c˜ao, e estabelece a influˆencia de todos os modos dos ve´ıculos restantes conectados. A vari´avel PˆEVM estabelece a influˆencia dos outros modos no c´alculo

da a¸c˜ao de controle, assim a demanda provocada pelo carregamento tamb´em ´e levada em conta na fun¸c˜ao custo. O perfil de carregamento ´e calculado at´e a desconex˜ao para todos os ve´ıculos, independente do instante atual, desse modo s˜ao necess´arias as vari´aveis de previs˜ao. Como forma de buscar equalizar as unidades das parcelas que formam as fun¸c˜oes custo ´e multiplicado ∆t para obter a unidade de Rpcc em pre¸co de energia.

– Excedente de gera¸c˜ao (ECO/V2G): Com o intuito de utilizar o carregamento do modo ECO durante o excedente de gera¸c˜ao PV ´e adicionado um peso vari´avel α `a a¸c˜ao de controle P<sub>EVE</sub>∗ na parcela de equil´ıbrio de potˆencia no PCC. Quando ocorre excedente ´e aplicado um valor menor `a vari´avel α e as fun¸c˜oes custo priorizam o carregamento dos EV para ambos os modos ECO e V2G. Assim, o comportamento dessa parcela ´e resumido por meio da express˜ao

α = ⎧ ⎨

⎩

α0 , se Pnet(tm) + PEVM(tm) ⩽ 0

1 , caso contr´ario,

(29)

em que 0 < α0 < 1 deve ser escolhido com intuito de aumentar a taxa de carregamento

quando a gera¸c˜ao PV superar PL+ PEVM.

– Degrada¸c˜ao da bateria (V2G): Por raz˜ao do modo V2G permitir o descarregamento do ve´ıculo, um dos aspectos que deve ser levado em conta ´e a degrada¸c˜ao estimada para a bateria, por ser um entrave ao lucro do usu´ario. H´a trˆes principais agentes que podem comprometer a bateria: a temperatura, o n´umero de ciclos e profundidade de descarga (DOD) (HOKE et al., 2011; HOKE et al., 2014). Neste trabalho s˜ao abordados os efeitos da temperatura e da DOD por contribu´ırem de forma mais influente na degrada¸c˜ao, como apontado por Hoke et al. (2011), Hoke et al. (2014). Este trabalho leva em considera¸c˜ao a amplitude da potˆencia de carregamento, a qual tem rela¸c˜ao direta com a amplitude de

corrente na bateria, relacionando-se com a temperatura. Assim, a parcela que relaciona a degrada¸c˜ao originada pela temperatura ´e dada pela express˜ao

Rdeg =

rDEbati,j

L(tm)

∆t (30)

em que rD ´e o pre¸co do kWh da bateria de L´ıtio; e L ´e o tempo de vida da bateria

(TSIROPOULOS et al., 2018).

O c´alculo de L(Tamb, tm) da equa¸c˜ao (30) ´e calculado com base na influˆencia

da potˆencia de carregamento na temperatura, como ´e mostrado na express˜ao

L(Tamb, tm) = ae

b

Tamb+ 1000RthPEVV 2G∗ (tm) ₍₃₁₎

sendo a e b constantes obtidas por meio da curva de ciclos pelo tempo de carregamento para um DOD de 50%, disponibilizada em Hoke et al. (2011) e Hoke et al. (2014). A temperatura ambiente ´e representada por Tamb e a resistˆencia t´ermica por Rth. Por meio

dessa an´alise evidencia-se que quanto maior a temperatura exercida sobre a bateria menor ser´a o valor da vida ´util estimada L resultando em uma grande influˆencia da temperatura no carregamento.

O termo referente `a degrada¸c˜ao por DOD ´e utilizada somente quando ocorre o descarregamento e ´e retratada pela express˜ao

Edeg,soc = ε (∆SOCdodEbatV 2G) , (32)

sendo que

∆SOCdod= SOCpossible− SOCEVV 2G(tm). (33)

A vari´avel ε indica o peso desta parcela; ∆SOCdod representa a diferen¸ca

entre os valores de SOC poss´ıveis testados durante a otimiza¸c˜ao (SOCpossible) e o valor

SOC calculado (SOCEVV 2G(tm)) conforme a a¸c˜ao de controle aplicada dentre os valores

poss´ıveis de potˆencia (P evpossible). Os n´ıveis quantizados da vari´avel de estado SOCpossible

fazem parte do m´etodo de programa¸c˜ao dinˆamica, juntamente com os n´ıveis de controle quantizados P evpossible, ambos s˜ao testados verificando todas as possibilidades em busca

da a¸c˜ao de controle m´ınima que resulte na trajet´oria ´otima do estado. O objetivo desta parcela ´e ponderar a descarga da bateria, incluindo na fun¸c˜ao custo a diferen¸ca de SOC resultante.

– Limita¸c˜ao da varia¸c˜ao de potˆencia (V2G): Outro aspecto que ´e incorporado na fun¸c˜ao do modo V2G ´e a limita¸c˜ao da varia¸c˜ao de potˆencia de carregamento, com o intuito de evitar altera¸c˜oes bruscas da a¸c˜ao de controle. A limita¸c˜ao da potˆencia de car- regamento normalizada pela m´axima potˆencia disponibilizada pelo carregador ´e retratada pela express˜ao E0,∆PEV = β0 (︃ P_{EVV 2G}∗ (tm) Pnom )︃2 (34) sendo que o ganho β0estabelece o peso para a m´axima varia¸c˜ao; e Pnoma m´axima potˆencia

de carregamento.

– Venda de energia para rede (V2G): Uma das alternativas mais interessantes ´e a possibilidade de fornecer energia el´etrica para a rede a partir da energia acumulada no sistema de armazenamento dos EV, e dessa forma ´e a principal caracter´ıstica incorporada ao modo V2G. Assim, o fator de custo que inclui a venda de energia para a rede externa e busca beneficiar o usu´ario pode ser estabelecido pela express˜ao

RV 2G = rEV(tm)

P_{EVV 2G}∗ (tm)

ηEV

∆t. (35)

A vari´avel rEV representa o pre¸co de venda da energia considerado fixo para

este trabalho; e ηEV ´e a eficiˆencia dos conversores. A unidade desse termo ´e dada em

valor de pre¸co, assim como nas parcelas Equil´ıbrio de potˆencia no PCC e Degrada¸c˜ao da bateria. O lucro deve superar a diferen¸ca dos custo de carregamento/descarregamento, incluindo as perdas, para que a venda possa ser vi´avel.