Programa¸ c˜ ao Quadr´ atica

Nos algoritmos de programa¸c˜ao quadr´atica, as fun¸c˜oes objetivo s˜ao quadr´aticas e as restri¸c˜oes s˜ao lineares. Reid e Hasdorf [20] em 1973 empregaram o algoritmo de Wolfe para solu¸c˜ao do problema de despa- cho econˆomico com restri¸c˜oes de igualdade e desigualdade de potˆencia ativa e reativa e tens˜ao, sem a necessidade de fatores de penalidade ou determina¸c˜ao do passo do gradiente. O m´etodo de Wolfe exige o acr´escimo de restri¸c˜oes de n˜ao negatividade para todas as vari´aveis do problema. O m´etodo proposto por Reid e Hasdorf utiliza a formula¸c˜ao em coordenadas retangulares para representa¸c˜ao das equa¸c˜oes do fluxo de potˆencia, sendo considerados apenas at´e o termo com derivada de primeira ordem da expans˜ao em s´erie de Taylor para transformar essas equa¸c˜oes quadr´aticas em lineares para resolver o problema pelo m´etodo simplex.

Em [21], Wollenberg e Stadlin apresentam um algoritmo de otimi- za¸c˜ao do despacho econˆomico e prop˜oem a inclus˜ao de despacho de potˆencia reativa e restri¸c˜oes de contingˆencia. O m´etodo proposto ´e ca- paz de lidar com os componentes pr´aticos de um sistema de potˆencia e a rotina de otimiza¸c˜ao ´e utilizada no fluxo de potˆencia sem intercˆambio de ´areas. O m´etodo ´e conhecido como um trabalho pioneiro em algo- ritmo de decomposi¸c˜ao em problemas de despacho econˆomico. Mostra- se tamb´em que n˜ao h´a diferen¸cas de convergˆencia e ponto de otimali- dade quando s˜ao utilizadas diferentes barras como referˆencia.

Uma t´ecnica de otimiza¸c˜ao de fluxo de potˆencia para sistemas de grande porte com uso de esparsidade ´e apresentada em [11]. A otimiza¸c˜ao ´e baseada na substitui¸c˜ao do problema original por um sequˆencia de subproblemas linearmente restritos usando uma fun¸c˜ao objetivo do tipo Lagrangeano aumentado. No algoritmo apresentado, a solu¸c˜ao converge quadraticamente nas restri¸c˜oes n˜ao lineares do fluxo de potˆencia, ao inv´es de serem for¸cadas a satisfazer as restri¸c˜oes por

meio do processo iterativo. O algoritmo ´e implementado e resultados para sistemas de 118 e 597 barras s˜ao apresentados.

Em 1989, a referˆencia [22] apresentou resultados onde constata-se que o uso da matriz Hessiana nos problemas de FPO torna os m´etodos mais robustos quanto `as diferentes condi¸c˜oes iniciais e que os proble- mas desacoplados de FPO apresentam solu¸c˜ao muito pr´oxima ao pro- blema sem desacoplamento. Tamb´em ´e demonstrado que a diferen¸ca de solu¸c˜oes entre o uso de vari´aveis discretas para os transformadores com comuta¸c˜ao sob carga e o uso dessas vari´aveis como cont´ınuas, e conse- quente aproxima¸c˜ao para o valor discreto mais pr´oximo, s˜ao m´ınimas e podem ser desprezadas. Os testes para demonstra¸c˜ao das propostas dos autores foram realizados em um sistema de 1549 barras, sob v´arias condi¸c˜oes de carregamento.

2.2.3 Newton

Em 1974, foi publicado em [23] um modelo de fluxo de potˆencia ´

otimo utilizando multiplicadores de Lagrange no m´etodo de Newton, com a substitui¸c˜ao da matriz Jacobiana pela matriz Hessiana. Foram considerados tanto as restri¸c˜oes de igualdade de balan¸co de potˆencia quanto os limites de tens˜ao, gera¸c˜ao de potˆencia ativa e reativa e fluxos nas linhas de transmiss˜ao por meio de altera¸c˜ao na fun¸c˜ao objetivo ori- ginal, com a inclus˜ao de fatores de penalidade associados `as restri¸c˜oes de desigualdade. Tamb´em foi apresentado um fator de acelera¸c˜ao para as vari´aveis de controle e o algoritmo foi implementado minimizando-se custos e perdas, sendo apresentados resultados para um sistema teste de 5 barras.

Tamb´em em 1974, a referˆencia [24] apresentou uma t´ecnica de despacho econˆomico para aloca¸c˜ao de gera¸c˜ao em sistemas de potˆencia por meio do uso da matriz Jacobiana, que foi utilizada para o c´alculo das perdas incrementais. O autor destaca que seu m´etodo apresenta convergˆencia mais simples e r´apida em compara¸c˜ao com os anterior- mente existentes, sendo adequado para execu¸c˜ao em tempo real. Es- tudos de contingˆencias s˜ao realizados e o m´etodo apresentado ´e com- parado ao m´etodo da matriz B, sendo os resultados apresentados para sistemas de 9 e 118 barras.

Baseada no m´etodo de Newton, uma nova aproxima¸c˜ao do pro- blema de fluxo de potˆencia ´otimo ´e apresentada em [12]. O programa resolve uma aproxima¸c˜ao quadr´atica dos multiplicadores de Lagrange a cada itera¸c˜ao e faz uso de t´ecnicas de esparsidade. Al´em disso, a

convergˆencia super linear para as condi¸c˜oes de otimalidade de Karush- Kunh-Tucker tornam esse m´etodo adequado para grandes sistemas.

Um problema de despacho econˆomico com restri¸c˜oes de segu- ran¸ca ´e tratado em [25]. A inclus˜ao dessas restri¸c˜oes visa evitar que um sistema se distancie de seu estado normal de opera¸c˜ao durante a ocorrˆencia de uma grande perturba¸c˜ao. Segundo os autores, as res- tri¸c˜oes de seguran¸ca usadas at´e ent˜ao eram conservadoras, pois n˜ao consideravam a capacidade corretiva do sistema ap´os a ocorrˆencia de uma interrup¸c˜ao, tais como redespacho de gera¸c˜ao e chaveamentos. As restri¸c˜oes de seguran¸ca representam a¸c˜oes de controle preventivo e uma forma autom´atica de ajuste dos controles ´e utilizada. O modelo de fluxo de potˆencia linearizado foi baseado na decomposi¸c˜ao de Benders, al´em de t´ecnica de detec¸c˜ao de inviabilidade. Resultados num´ericos s˜ao apresentados para o sistema de 118 barras, em que s˜ao considera- das contingˆencias em quatro circuitos do sistema.