6.3 Proje¸ c˜ oes
6.3.1 Proje¸ c˜ ao Perspectiva
As t´ecnicas utilizadas em proje¸c˜ao perspectiva s˜ao derivadas daquelas utilizadas pelos artistas e dese- nhistas profissionais. Pode-se dizer que o olho do observador coloca-se no centro de proje¸c˜ao, e o plano que deve conter o objeto ou cena projetada transforma-se no plano de proje¸c˜ao. Dois segmentos de reta que saem do centro de proje¸c˜ao e atingem o objeto projetado no plano de proje¸c˜ao, s˜ao chamadas de projetantes (veja a Figura 6.7)
Figura 6.7: Linha AB e sua proje¸c˜ao A’B’: (a) perspectiva; (b) ortogonal.
Os desenhos em perspectiva s˜ao caracterizados pelo encurtamento perspectivo e pelos pontos de fuga. O encurtamento perspectivo, ´e a ilus˜ao de que os objetos e comprimentos s˜ao cada vez menores `a medida que sua distˆancia ao centro de proje¸c˜ao aumenta. Tem-se tamb´em a ilus˜ao de que conjuntos de linhas paralelas que n˜ao s˜ao paralelas ao plano de proje¸c˜ao, convergem para um ponto de fuga. Denominam-se
pontos de fuga principais, quando d´a-se a aparˆencia de haver uma intersec¸c˜ao entre um conjunto de retas pararelas com um dos eixos principais Ox, Oy ou Oz. O n´umero de pontos de fuga principais ´e
determinado pelo n´umero de eixos principais intersectados pelo plano de proje¸c˜ao. Por exemplo: se o plano de proje¸c˜ao intercepta apenas os eixo z (ent˜ao ´e perpendicular ao eixo z), somente o eixo z possui um ponto de fuga principal, pois linhas paralelas aos eixos x e y, s˜ao tamb´em paralelas ao plano de proje¸c˜ao, e dessa forma n˜ao ocorre a ilus˜ao de convergˆencia.
Proje¸c˜oes Perspectivas s˜ao categorizadas pelo seu n´umero de pontos de fuga principais, ou seja o n´umero de eixos que o plano de proje¸c˜ao intercepta. A Figura 6.8 mostra 2 proje¸c˜oes perspectivas (com um ponto de fuga) distintas de um cubo. Est´a claro que possui apenas um ponto de fuga? Somente as linhas paralelas ao eixo z convergem, e as linhas paralelas aos eixos x e y continuam paralelas!
Figura 6.8: Proje¸c˜oes de um cubo (com 1 ponto de fuga) sobre um plano cortando o eixo Z, apresentando o ponto de fuga.
Proje¸c˜oes perspectivas com 2 pontos de fuga (quando 2 eixos principais s˜ao interceptados pelo plano de proje¸c˜ao) s˜ao mais comumente usadas em arquitetura, engenharia, desenho publicit´ario e projeto industrial (ver Figura 6.9). J´a as proje¸c˜oes perspectivas com 3 pontos de fuga s˜ao bem menos utilizadas, pois adicionam muito pouco em termos de realismo comparativamente `as proje¸c˜oes com 2 pontos de fuga, e o custo de implementa¸c˜ao ´e bem maior (veja Figura 6.10).
Figura 6.9: Proje¸c˜oes perspectivas com 2 pontos de fuga ( o plano de proje¸c˜ao intercepta 2 eixos (x e z)).
Anomalias da Perspectiva
A proje¸c˜ao perspectiva introduz certas anomalias que aumentam o realismo em termos de profundidade, mas tamb´em alteram as medidas e formas reais do objetos.
1. Encurtamente perspectivo: Quanto mais distante um objeto est´a do centro de proje¸c˜ao, menor parece ser (o tamanho de sua proje¸c˜ao torna-se menor, como mostra a figura 6.11.
2. pontos de Fuga: As proje¸c˜oes de retas n˜ao paralelas ao plano de proje¸c˜ao, provocam a ilus˜ao de que se interceptam num ponto do horizonte.
3. Confus˜ao Visual: Os objetos situados atr´as do centro de proje¸c˜ao s˜ao projetados no plano de proje¸c˜ao de cima para baixo e de tr´as para a frente (ver Figura 6.12)
4. Distor¸c˜ao Topol´ogica: Consideremos o plano que cont´em o centro de proje¸c˜ao e que ´e paralelo do plano de proje¸c˜ao. Os pontos deste plano s˜ao projetados no infinito pela transforma¸c˜ao perspectiva.
Figura 6.10: Proje¸c˜oes perspectivas com 3 pontos de fuga ( o plano de proje¸c˜ao intercepta os 3 eixos).
Em particular, um segmento de reta que une um ponto situado `a frente do observador a um ponto situado atr´as dele e efetivamente projetado segundo uma linha quebrada de comprimento infinito.
Figura 6.11: A esfera B ´e bem maior que a esfera A, por´em ambas aparecem com o mesmo tamanho quando projetadas no plano de vis˜ao.
Desenvolvimento Matem´atico para Proje¸c˜oes Perspectivas
Para obter uma proje¸c˜ao perspectiva de um objeto 3D, s˜ao transformados os pontos ao longo dos pro- jetores que se encontram no centro de proje¸c˜ao. Suponha que o centro de proje¸c˜ao est´a posicionado em zprp, um ponto no eixo zv, e que o plano de proje¸c˜ao, normal ao eixo z, est´a posicionado em zvp, como mostra a Figura 6.13. Precisamos determinar as coordenadas (xp, yp, zp), que s˜ao as coordenadas
do ponto P = (x, y, z) projetado no plano de proje¸c˜ao. Podemos escrever as equa¸c˜oes que descrevem as coordenadas (x0, y0, z0) de qualquer ponto ao longo da linha de proje¸c˜ao perspectiva como:
x0 = x − xu y0= y − yu
z = z − (z − zprp)u (6.6)
O parˆametro u assume valores no intervalo [0, 1] quando u = 0, estamos em P = (x, y, z), e quando u = 1 temos exatamente o centro de proje¸c˜ao (0, 0, zprp). As proje¸c˜oes perspectiva e paralela tamb´em
podem, assim como as transforma¸c˜oes geom´etricas b´asica, ser definidas atrav´es de matrizes 4x4, o que ´e interessante para a composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes juntamente com a proje¸c˜ao. No plano de observa¸c˜ao, sabemos que z0 = zvp, e podemos resolver a equa¸c˜ao de z’ para obter o valor do parˆametro u nessa posi¸c˜ao
ao longo da linha de proje¸c˜ao:
u = Zvp− z Zprp− z
Figura 6.12: Confus˜ao visual da perpectiva (objeto atr´as do centro de proje¸c˜ao).
Figura 6.13: Proje¸c˜ao em perspectiva de um ponto P=(x, y, z) na posi¸c˜ao (xp, yp, zp) sobre o plano de proje¸c˜ao [Hearn and Baker, 1994].
Substituindo esse valor de u nas equa¸c˜oes de z0e y0, obtemos as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao perspectiva:
xp= x Zvp− z Zprp− z = x d p Zprp− z yp= y Zvp− z Zprp− z = y d p Zprp− z (6.8) Usando coordenadas homogˆeneas pode-se escrever a transforma¸c˜ao na forma matricial:
xh yh zh h = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −zvp dp −zvp z prp dp 0 0 −1 dp − zprp dp · x y z 1 (6.9)
Nesta representa¸c˜ao o fator homogˆeneo ´e
h = zprp− z dp
(6.10) E as coordenadas do ponto projetado no plano de observa¸c˜ao s˜ao obtidas a partir das coordenadas homogˆeneas dividindo-se por h:
xp= xh h yp= yh h (6.11)
Observa-se que o valor original da coordenada z precisa ser mantido nas coordenadas de proje¸c˜ao para uso por algoritmos de remo¸c˜ao de linhas ocultas. Em geral, o centro da proje¸c˜ao n˜ao precisa ser
posicionado ao longo do eixo zv, e as equa¸c˜oes acima podem ser generalizadas para considerar o centro
em um ponto qualquer. Existem v´arios casos especiais a serem considerados para as equa¸c˜oes acima. Por exemplo, se o plano de proje¸c˜ao coincide com o plano uv, i.e., zvp= 0, ent˜ao dp= zprp. Em alguns
pacotes gr´aficos ´e assumido que o centro de proje¸c˜ao coincide com a origem do sistema de coordenadas de observa¸c˜ao, i.e., nesse caso zprp= 0.