Capítulo II Geometria Analítica
6. Projecções Ortogonais e Produto Escalar de Vectores Vamos poder aprofundar o estudo da Geometria Analítica que fizémos no
décimo ano, graças ao recurso a um instrumento de grande utilidade para a resolução de vários problemas, em particular daqueles que fazem intervir a perpendicularidade e a determinação de ângulos.
O instrumento referido é o produto escalar, uma nova operação que envolve os vectores, para além da soma destes e do produto por um número real que já conhecemos.
Quando trabalharmos com a noção de produto escalar suporemos sempre fixada uma unidade de comprimento. Será cómodo começar por definir o produto escalar de dois vectores e no caso particular em que estes são doisÄ Ä? @ vectores de uma mesma recta , ou seja, pertencem a uma mesma recta vectorial< i
Ä
? † @ Ä Ä
<. Nesse caso o produto escalar é o número real definido do seguinte modo:
a) , se pelo menos um dos dois vectores é ;
b) , se os vectores são diferentes de e têm o mesmo senti
? † @ œ ! !
Ä Ä Ä
? † @ œ m? mm@ m !
Ä Ä Ä Ä Ä do;
c) Ä Ä? † @ œ m? mm@ mÄ Ä , se os vectores são diferentes de e têm sentidos opostos.Ä! Em qualquer dos casos, quando e são vectores duma mesma recta ,Ä? Ä@ < podemos escrever a igualdade
l? † @ l œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä .
Nota: A utilização do produto escalar não se limita às aplicações geométricas
que vamos estudar. Um outro exemplo muito importante, de utilização, no quadro da Física, é a noção de trabalho realizado por uma força cujo ponto de aplicação se desloca. Se fixarmos uma unidade de comprimento e uma unidade de força, a força pode ser representada por um vector e o deslocamento, se rectilíneo, por outro vector. No caso em que ambos os vectores têm a mesma direcção e sentido, o trabalho é, por definição, o produto dos comprimentos dos vectores, com a alteração de devermos multiplicar esse produto por ", no caso em que os dois vectores têm sentidos opostos. O significado desta alteração é intuitivo, se pensarmos na situação em que o facto de o deslocamento ter sentido oposto ao da força que exercemos se deve a alguém estar a fazer uma força
maior no sentido oposto; nesse caso, não estamos verdadeiramente a “produzir” trabalho mas sim a “estragar parcialmente” o trabalho que o outro está a fazer.
Vamos agora reparar numa forma alternativa de olhar para o produto escalar de vectores de uma mesma recta que permite, em particular, constatar de modo< muito simples algumas das suas propriedades. Para isso, escolhemos um dos dois vectores de norma , " /Ä da recta, que é, em particular, um vector director da recta, e lembramos que todos o vectores da recta se podem obter multiplicando o vector por um número real conveniente.Ä/
Figura 45
O facto de o vector director ter sido escolhido com norma implica que, seÄ/ "
? œ + / @ œ , / ? Ç +
Ä Ä e Ä Ä (ou seja, como estamos habituados a escrever, Ä e @ Ç , m? m œ l+l m@ m œ l,l
Ä ) então Ä e Ä . Além disso, no caso em que os vectores
? @ ! + ,
Ä e são ambos diferentes de , eles têm o mesmo sentido quando e Ä Ä tiverem o mesmo sinal, ou seja quando +, !, e sentidos opostos quando e + , tiverem sinais opostos, ou seja +, !. Podemos concluir daqui que, em cada um destes dois casos, tem-se Ä Ä? † @ œ +, e é claro que esta igualdade é ainda válida no caso em que algum dos vectores e é . Podemos assim enunciar oÄ? Ä@ Ä! resultado geral sobre o produto escalar de vectores da recta:
P10. Se /Ä é um vector director de norma da recta , então dados" < vectores e de , com Ä Ä? @ < Ä? œ + /Ä Ä e @ œ , /Ä, tem-se
? † @ œ +,
Ä Ä .
Dito de outro modo, o produto escalar de vectores da recta é o produto das respectivas coordenadas relativas a um vector director de norma . Uma vez que," como já estudámos anteriormente, a coordenada da soma de dois vectores é a soma das respectivas coordenadas e a coordenada do produto de um vector por um número real é o produto do número real pela coordenada do vector inicial, as propriedades que enunciamos em seguida, e que serão mais tarde generalizadas para vectores não obrigatoriamente colineares, resultam das correspondentes propriedades dos números reais.
P11. Sejam ?Ä Ä Ä, e vectores duma mesma recta e @ A < > −‘. Tem-se então:
a) Ä Ä? † @ œ @ † ?Ä Ä (propriedade comutativa);
b) Ð? @ Ñ † A œ ? † A @ † AÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä (propriedade distributiva à esquerda);
c) Ä Ä? † Ð@ AÑ œ ? † @ ? † AÄ Ä Ä Ä Ä (propriedade distributiva à direita);
d) Ð> ? Ñ † @ œ > Ð? † @ Ñ œ ? † Ð> @Ä Ä Ä Ä Ä Ä (propriedade associativa mista)Ñ.
Exercício 51. Dados dois vectores ?Ä Ä e de uma recta , relacione o produto@ < escalar Ð# ? Ñ † Ð$ @ ÑÄ Ä com o produto escalar Ä Ä? † @.
æ æ æ æ
Para podermos generalizar o produto escalar de vectores ao caso em que estes não são necessariamente colineares temos necessidade de examinar a noção de projecção ortogonal de um vector sobre uma recta (ou, o que é o mesmo,< sobre a recta vectorial associada Äi<). Ao fazê-lo obteremos, sem qualquer esfor- ço suplementar, outra noção também importante, a de projecção ortogonal de um vector sobre um plano (ou, o que é o mesmo, sobre o plano vectorial associado! i
Ä !).
Recordemos que dois vectores e , diferentes de , se dizem Ä Ä? @ Ä! ortogonais se o respectivo ângulo é de ° e que, por extensão, se considera que o vector é*! Ä! ortogonal a qualquer vector. A partir desta noção é natural apresentar as definições seguintes:
Diz-se que um vector é Ä? ortogonal a uma recta , ou, o que é o< mesmo, que ele é ortogonal à recta vectorial iÄ< associada a , quando < Ä? é ortogonal a todos os vectores Ä Ä@ −i<.
Diz-se que um vector é Ä? ortogonal a um plano ! , ou, o que é o mesmo, que ele é ortogonal ao plano vectorial iÄ! associado a , quando! ?
Ä é ortogonal a todos os vectores Ä@ −Äi . !
Uma circunstância feliz é que, quando queremos verificar que um vector é ortogonal a uma recta vectorial ou a um plano vectorial não precisamos verificar que ele é ortogonal a todos os vectores dessa recta ou desse plano:
P12. Para ter a certeza que um vector ?Ä é ortogonal a uma recta vectorial Äi<, basta sabermos que ele é ortogonal a algum vector director da recta .<
é ortogonal a um plano vectorial Para ter a certeza que um vector ?Ä
i Ä
!, basta sabermos que ele é ortogonal a cada um dos dois vectores de algum referencial vectorial do plano .!
A justificação da primeira afirmação é clara: Se o vector ?Ä é ortogonal ao vector director da recta , então ele é ortogonal ao vector e também a todosÄ@ < Ä! os outros vectores de Äi<, uma vez que estes têm a mesma direcção que .Ä@
A justificação da segunda afirmação entronca nas propriedades da perpen- dicularidade entre uma recta e um plano que estudámos no décimo ano. Com efeito, podemos afastar já o caso evidente em que Ä? œ !Ä e fixar um ponto noS plano . Podemos então considerar o ponto do espaço tal que ! E Ä? œ SEÄ e os pontos e do plano tais que os vectores do referencial sejam F G ! SFÄ e SGÄ. Por hipótese a recta SE é perpendicular às rectas concorrentes SF e SG do plano o que, como sabemos, garante que a recta ! SE é perpendicular ao plano !, e portanto também perpendicular a todas as rectas do plano . Decorre daqui! que, para cada ponto do plano , distinto de , a recta \ ! S SE é perpendicular à recta S\, e portanto o vector Ä? œ SEÄ é ortogonal ao vector S\Ä. Uma vez que este último facto é também verdadeiro para S œ \, concluímos finalmente que ?
Ä é ortogonal a todos os vectores de Äi . !
Figura 46
Duas questões naturais são o que será o conjunto dos vectores ?Ä ortogonais a uma dada recta e o que será o conjunto dos vectores ortogonais a um dado< Ä? plano . As respostas, que entroncam mais uma vez no que estudámos no! décimo ano, não são difíceis de encontrar:
1) Se fixarmos a nossa atenção num ponto da recta , já sabemos que as rectasS < perpendiculares a que passam por são exactamente as rectas do plano < S ! perpendicular a que passa por e daqui podemos concluir que um vector < S S\Ä é ortogonal à recta vectorial Äi< se, e só se, é um vector do plano .!
< perpendicular a passando por e portanto um vector ! S S\Ä é perpendicular ao plano vectorial Äi! (ou seja, ortogonal a todos os vectores SEÄ, com no planoE !) se, e só se, é um vector da recta .<
Podemos assim destacar as seguintes conclusões:
P13. O conjunto dos vectores ?Ä do espaço que são ortogonais a uma recta vectorial Äi< é o plano vectorial Äi!, onde é um plano perpendi-! cular à recta .<6
do espaço que são ortogonais a um plano O conjunto dos vectores ?Ä
vectorial Äi! é a recta vectorial Äi<, onde é uma recta perpendicular ao< plano .!7
No caso em que estamos a estudar apenas a geometria de um certo plano ", a propriedade anterior adapta-se facilmente:
P14. Se é uma recta do plano < ", o conjunto dos vectores do planoÄ? " que são ortogonais à recta vectorial Äi< é a recta vectorial Äi=, onde é= uma recta do plano ortogonal à recta ." <
A justificação desta propriedade pode ser feita por adaptação directa da justificação 1) que antecedeu P13, ou, alternativamente, utilizando P13 e toman- do para a intersecção dos planos e .= ! "
Estamos agora em condições de definir o que é a projecção ortogonal de um vector sobre uma recta vectorial Ä? Äi< e sobre um plano vectorial Äi!:
P15. Sejam e < ! uma recta e um plano perpendiculares entre si. Qualquer vector do espaço pode então escrever-se de maneira únicaÄ@ como uma soma Ä@ œ @ @Äw Äww, com Ä@ −w Ä e Ä@ −ww Ä (ou seja, Ä@ww orto-
<
i i!
gonal a Äi<). Diz-se então que o vector é a Ä@w projecção ortogonal do vector Ä@ sobre a recta vectorialÄi< e que o vector Ä@ww é a projecção ortogonal do vector Ä@ sobre o plano vectorialÄi!.
A propriedade precedente merece uma justificação, que decorrerá do método de construír a projecção ortogonal que indicamos em seguida.
Seja o ponto comum à recta e ao plano perpendicular a S < ! <. Consideremos o ponto tal que \ Ä œ S\@ Ä.
6Esta afirmação pode parecer estranha, uma vez que existem muitos planos perpendicula- res a . No entanto, estes são todos paralelos entre si e têm portanto o mesmo plano< vectorial associado.
7Esta afirmação pode parecer estranha, uma vez que existem muitas rectas perpendicula- res a . No entanto, estas são todas paralelas entre si e têm portanto a mesma recta! vectorial associada.
Figura 47
Procurar um vector Ä@ −w Ä e um vector Ä@ww tais que Ä@ œ @ @Äw Äww corresponde a <
i
procurar um ponto da recta para o qual E < Ä@ œ SE @ œ E\w Ä e Äww Ä.
Figura 48
Mas nós queremos, além disso, que o vector Ä@ww pertença a Äi , isto é, seja !
ortogonal a Äi<, e isso vai-nos determinar univocamente o ponto , e portanto osE vectores e Ä Ä@w @ww. Mais precisamente, duas situações são possíveis:
a) Se o vector já pertencesse a Ä@ Äi<, ou seja, se o ponto também estivesse na\ recta , o ponto não podia deixar de ser o próprio , uma vez que não existe< E \ nenhum vector de Äi< ortogonal a Äi<, além do vector 0 . A decomposiçãoÄ procurada seria, neste caso, Ä@ œ @ !Ä Ä, onde efectivamente Ä@ −Äi< e éÄ! ortogonal a Äi<.
b) No caso em que o vector não pertence a Ä@ Äi<, e portanto o ponto não está\ na recta , a condição de < Ä@ww ser ortogonal a Ä corresponde à exigência de que a
< i
recta E\ deve ser perpendicular à recta , por outras palavras, deve ser o pé< E da perpendicular à recta que passa por (repare-se que, neste caso, toda a< \ construção se passa num plano, a saber aquele que contém a recta e o ponto< exterior ).\
P16. Dados uma recta e um plano < ! ortogonais entre si e um vector
@ @
Ä do espaço, as projecções ortogonais de sobre Ä Äi e sobre Äi podem
< !
ser construídas do seguinte modo:
a) Se Ä@ −Äi<, então a primeira é o próprio vector e a segunda é ;Ä@ Ä!
b) Se Ä Ä@ Âi<, escolhe-se um ponto na recta , determina-se o ponto S < \ tal que Ä@ œ S\Ä, considera-se o ponto , pé da perpendicular à recta E < que passa por e as projecções ortogonais são então respectivamente os\ vectores SE E\Ä e .Ä
Figura 49