Projeto de Controle Conjunto

Este exemplo foi inspirado em (Xie & Wang, 2005) e consiste no sistema (4.1)-(4.2) definido pelas matrizes A1 = " −5 0 0 8 # , A2= " 3 0 0 −2 # , B = " 0 4 # (4.63) H1 = " 2 2 # , H2 = " 1 1 # , b1= " 1 5 # , b2= " 0 4 # , F = " 1 0 # (4.64) sendo B1= B2= B, E1= E2= I, F1 = F2= F e G1 = G2 = [1 1]0. Perceba que ambas as matri-

zes A1e A2s˜ao inst´aveis e n˜ao existe combina¸c˜ao convexa Aλ∀λ ∈ Λ est´avel. Consequentemente,

n˜ao ´e poss´ıvel usar as condi¸c˜oes dos Teoremas 4.3 ou 4.5 nem as condi¸c˜oes propostas em (Hetel & Fridman, 2013) e (Trofino et al., 2012b) para garantir estabilidade assint´otica global. Al´em disso, os pares (A1, B1) e (A2, B2) n˜ao s˜ao control´aveis. Primeiramente, determinamos o conjunto de

pontos de equil´ıbrio ating´ıveis (4.4) e escolhemos o ponto de equil´ıbrio xe= [0.5 − 1.5]0 associado

4.6. Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo

45 matriciais K1 = h 0.8328 −5.3264 i , K2= h 0.9857 −5.1345 i (4.65) Por outro lado, resolvendo as condi¸c˜oes do Teorema 4.6, obtivemos ρ = 5.2900 e

K1 = h 0.7943 −4.8723 i , K2= h 0.7754 −4.7977 i (4.66) que s˜ao importantes para a implementa¸c˜ao da lei de controle (4.3). Usando os resultados do Teorema 4.6, a Figura 4.4 apresenta as trajet´orias de estado e a lei de controle (4.3) para um entrada externa w(t) = te−0.5t_{. O custo real foi de J}σ(x,w)

∞ = 2.0609, que ´e muito menor do que

o custo garantido obtido. Isso indica que a entrada externa n˜ao ´e muito severa. Este exemplo mostra a importˆancia do projeto conjunto das duas vari´aveis de controle, a saber, a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao e a lei de controle (4.3), com o objetivo de garantir estabilidade e assegurar um custo garantido H∞ para sistemas afins com comuta¸c˜ao.

4.6

Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo

Neste cap´ıtulo foram apresentados os principais resultados e contribui¸c˜oes da disserta¸c˜ao. Os resultados relativos ao controle H∞ constam nas referˆencias (Santos & Deaecto, 2014) e

(Deaecto & Santos, to appear). Primeiramente, tratamos o caso H2, que corresponde a uma

simples generaliza¸c˜ao dos resultados de (Deaecto et al., 2010). Para o caso H∞, duas estrat´egias

de comuta¸c˜ao diferentes foram determinadas. A primeira delas ´e dependente do estado, enquanto a segunda, mais geral, ´e uma nova proposta que depende tamb´em da entrada externa. Em uma etapa inicial, as condi¸c˜oes foram obtidas com o objetivo de projetar uma fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao como ´unica vari´avel de controle. Posteriormente, os resultados tamb´em foram generalizados para incluir ganhos matriciais reais de realimenta¸c˜ao de estado. Compara¸c˜oes te´oricas mostram que ambas as regras s˜ao condi¸c˜oes menos conservadoras do que as apresentadas na literatura, em particular, do que aquelas obtidas com a fun¸c˜ao de Lyapunov do tipo m´aximo e com as t´ecnicas utilizadas para assegurar estabilidade pr´atica. No final do cap´ıtulo, apresentamos dois exemplos ilustrativos que comprovam a eficiˆencia do m´etodo de controle proposto comparado aos dispon´ıveis atualmente na literatura.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜oes e Perspectivas para

Trabalhos Futuros

Conclu´ımos essa disserta¸c˜ao recapitulando os principais pontos abordados e destacando as suas contribui¸c˜oes mais relevantes. Iniciamos o trabalho com um cap´ıtulo sobre os conceitos fun- damentais utilizados ao longo do texto, apresentando os sistemas lineares invariantes no tempo, o crit´erio de Lyapunov para o estudo de estabilidade, normas H2e H∞ e uma breve introdu¸c˜ao so-

bre sistemas com comuta¸c˜ao, que representam conhecimentos essenciais para o desenvolvimento dos resultados presentes nos cap´ıtulos seguintes.

No Cap´ıtulo 3, tratamos do projeto de uma fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao estabilizante dependente do estado para sistemas afins. Essa fun¸c˜ao deve guiar as trajet´orias do sistema para um ponto de equil´ıbrio desejado a partir de qualquer condi¸c˜ao inicial. Tais resultados s˜ao consequˆencia da ado¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao quadr´atica em rela¸c˜ao estado, e outra linear, que ´e mais simples, por´em mais conservadora. Assim, realizamos um estudo aprofundado sobre este tema ressaltando pontos importantes a respeito da regra de comuta¸c˜ao quadr´atica. Este estudo foi essencial para tratar o problema de s´ıntese de controle H2 e H∞ conforme foi abordado no

Cap´ıtulo 4.

No Cap´ıtulo 4, os principais resultados da disserta¸c˜ao foram desenvolvidos. Primeiramente, ´ındices de desempenho H2e H∞foram introduzidos. Como previamente mencionado, tais ´ındices

s˜ao de suma importˆancia para avaliar o desempenho de um projeto de controle. Na literatura j´a se encontram algumas t´ecnicas de estabilidade para sistemas afins com comuta¸c˜ao, por´em existem poucos resultados que levam em conta a inclus˜ao de ´ındices de desempenho. No Cap´ıtulo 4, a parte relacionada ao projeto de controle H2 corresponde a uma simples generaliza¸c˜ao do

que foi apresentado no Cap´ıtulo 3. Por outro lado, o projeto de controle H∞ apresenta maior

47 artigos:

• G. S. Deaecto and G. C. Santos. H∞ control design of continuous-time switched affine

systems. IET Control Theory and Application, to appear.

• G. C. Santos and G. S. Deaecto. Controle H∞ de sistemas afins com comuta¸c˜ao a tempo

cont´ınuo. Anais do 200 _{Congresso Brasileiro de Autom´atica, 2207-2213, 2014.}

Basicamente, foram propostas duas fun¸c˜oes de comuta¸c˜ao. Uma delas ´e mais geral, depen- dente do estado e tamb´em da entrada externa, e representa uma proposta in´edita na literatura. Al´em disso, os resultados foram generalizados para tratar do projeto conjunto de duas vari´aveis de controle, a saber, a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao e ganhos matriciais reais de realimenta¸c˜ao de estado. Como perspectiva para trabalhos futuros, pretendemos generalizar esses resultados para tratar do projeto de controle via realimenta¸c˜ao de sa´ıda, bem como obter resultados similares para sistemas a tempo discreto. A dificuldade no primeiro caso ´e que a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao n˜ao pode depender explicitamente da vari´avel de estado, a qual n˜ao ´e conhecida e, portanto, as regras aqui obtidas n˜ao podem ser aplicadas. Um ponto importante em aplica¸c˜oes pr´aticas ´e o projeto de uma fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao levando em conta informa¸c˜oes parciais a respeito do ponto de equil´ıbrio. Neste contexto, pretendemos tamb´em generalizar esses resultados considerando apenas informa¸c˜oes parciais deste ponto.

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No documento Controle via realimentação de estado de sistemas afins com comutação a tempo contínuo (páginas 57-64)