5.3 Resultados de Simula¸ c˜ ao
5.3.1 Projeto do controlador
Suponha que a bola tem apenas um grau liberdade, ou seja, movimenta-se em apenas uma dimens˜ao. A trave ´e feita para rotacionar no plano vertical pela aplica¸c˜ao de uma for¸ca de torque aplicado ao centro da trave e a bola ´e livre para rolar ao longo dela. Esta deve se manter em contato com a trave e n˜ao deve haver escorregamento da bola com a trave.
As equa¸c˜oes dinˆamicas do sistema s˜ao descritas a seguir (Feng, 2003):
JbR2+Mψ¨+M gsenθ−M ψθ˙2 = 0 (M ψ2+J +Jb)¨θ+ 2M ψψ˙θ˙+M gψcosθ = τ,
onde ψ ´e a posi¸c˜ao da bola, θ ´e o ˆangulo da trave, g = 9,8m/s2 ´e a constante gravitacional, J ´e o momento de in´ercia da trave, M, Jb, e R s˜ao a massa, o momento de in´ercia e o raio da bola respectivamente, e τ ´e o torque aplicado a trave.
Definindo b :=M/(Jb/R2+M) e fazendo τ = 2M ψψψ˙+M gψcosθ+ (M ψ2+J+Jb)u
onde u ´e a nova entrada, o sistema ´e reescrito pela seguinte equa¸c˜ao no espa¸co de estado
Figura 5.1: Sistema com uma bola em equil´ıbrio em uma trave.
O sistema n˜ao-linear em malha aberta pode ser visto nas Figuras 5.3 e 5.4.
O sistema bola-trave ´e um exemplo cl´assico na aplica¸c˜ao de t´ecnicas de con-trole. O termo cr´ıtico x1x24 aparece na equa¸c˜ao de ˙x2. Este termo cresce qua-draticamente com a velocidade angular da trave x4 = ˙θ. Atrav´es da an´alise do sistema f´ısico e de simula¸c˜oes ´e poss´ıvel concluir que ´e suficiente a trave estar perfeitamente horizontal (x3 = 0 e x4 = 0) e a bola em total repouso (x2 = 0) para que esta se mantenha em sua posi¸c˜ao inicial, por´em qualquer pertuba¸c˜ao leva o sistema `a instabilidade. Para condi¸c˜oes iniciais diferentes de zero o sistema tende a instabilidade.
O objetivo do controle ´e determinar u(x) tal que a sa´ıda em malha fechada converge para zero para certas condi¸c˜oes iniciais.
Para a implementa¸c˜ao do controlador ser´a projetado os seguintes casos:
1. Controlador fuzzy via CDP com realimenta¸c˜ao de estado - utilizando (3.30);
2. Controlador fuzzy via CDP com realimenta¸c˜ao de estado e restri¸c˜ao no posicionamento dos p´olos - utilizando Teorema 5.3;
3. Controlador chaveado fuzzy com realimenta¸c˜ao de estado e restri¸c˜ao no posicionamento dos p´olos atrav´es de fun¸c˜oes de Lyapunov por partes - uti-lizando o Teorema 5.8.
Para aplicar o controle fuzzy ´e necess´ario linearizar o sistema original em pon-tos escolhidos. Escolhem-se os ponpon-tos xA = (−1,0,0,0.01) e xB = (1,0,0,0.01).
89
Os pontos escolhidos representam duas posi¸c˜oes distintas da trave a uma pequena velocidade angular. Atrav´es da t´ecnica de lineariza¸c˜ao convencional (3.7) n˜ao ´e poss´ıvel obter modelos lineares devido a presen¸ca de termos constantes. Para contornar este problema ser´a utilizado a metodologia proposta por Teixeira e Zak (1999), apresentada na Se¸c˜ao 3.1.2.
Aplicando (3.23) para xA, tem-se aT1 =
Aplicando o mesmo procedimento para xB, tem-se
A2 =
A partir dos sistemas linearizados acima as seguintes regras fuzzy s˜ao cons-tru´ıdas para descrever o sistema n˜ao-linear:
Regra do Modelo 1:
S˜ao usadas fun¸c˜oes de pertinˆencia trapezoidais para descrever a pertinˆencia das fun¸c˜oes de acordo com a vari´avel premissa, o estado x1, como mostra a Figura 5.2. Escolhe-se a regi˜ao de c´ırculo de centro em (−5,0) e raio r = 2.5 no
Figura 5.2: Fun¸c˜oes de pertinˆencia fuzzy.
plano-s para a qual os p´olos do sistema em malha fechada dever˜ao pertencer para caracterizar o desempenho desejado.
As seguintes matrizes descrevem a regi˜ao LMI desejada, segundo a Defini¸c˜ao 2.8:
Para a s´ıntese dos controladores via CDP a seguinte lei de realimenta¸c˜ao de estado ´e utilizada:
u(t) = r
i=1
µi(x(t))Kix(t).
91
Caso 1: Este caso apresentou estabilidade, por´em os p´olos do sistema em malha fechada n˜ao se encontram na regi˜ao de c´ırculo de centro em (−5,0) e raio r= 2.5 no plano-s, conforme mostra a Figura 5.9. Os seguintes ganhos locais dos subsistemas lineares foram obtidos
Caso 2: Utilizando a t´ecnica do Teorema 5.3, para construir um controlador fuzzy via CDP, que posicione os p´olos na regi˜ao especificada por L e M, de-finidos acima, obteve-se os seguintes ganhos que resultaram no posicionamento satisfat´orio dos p´olos de malha fechada:
K1 =
O controlador fuzzy obtido foi implementado no sistema n˜ao-linear original (5.16). Utilizou-se como condi¸c˜ao inicial x0 = [1 0 0 0]. Atrav´es de diversas simula¸c˜oes observou-se que o controlador era capaz de responder no intervalo x10 ∈[−1.4 1.4] (x20, x30, x40= 0), como mostram as Figuras 5.12 e 5.13.
Caso 3: A seguir, ´e implementado a s´ıntese de controle proposta. Deseja-se encontrar fun¸c˜oes de Lyapunov por partes que atendam aos requisitos de projeto.
Para tal, faz-se necess´ario a delimita¸c˜ao de regi˜oes no espa¸co de estadoS1 ={x: x1 < 0} e S2 = {x : x1 > 0}. No sistema real em malha fechada o estado x1 define a comuta¸c˜ao dos controladores K1 e K2 nas regi˜oesS1 eS2.
Para garantir a continuidade da fun¸c˜ao de Lyapunov segundo o Lema 4.4, define-se as fun¸c˜oes de continuidade F1 e F2 para as regi˜oes x1 ∈ S1 e x1 ∈ S2
respectivamente. A metodologia para encontrar tais fun¸c˜oes est´a descrito em
Johansson et al. (1999).
Os seguintes limitantes superiores foram encontrados utilizando (4.19):
EiA =
encon-93
−23700 −0.000763 0.00136 0.000688 −0.00247
−0.000763 23700 −0.120 −0.0475 0.128 0.00136 −0.120 0.192 0.0847 −0.262 0.000688 −0.0475 0.0847 0.0423 −0.150
−0.00247 0.128 −0.2620 −0.150 0.609
0.0212 −0.0610 −0.0241 0.0654
−0.0610 0.192 0.0847 −0.262
−0.0241 0.0847 0.0423 −0.150 0.0654 −0.262 −0.150 0.609
0.0205 −0.0596 −0.0234 0.0629
−0.0596 0.192 0.0847 −0.262
−0.0234 0.0847 0.0423 −0.150 0.0629 −0.262 −0.150 0.609 foram alocadas na regi˜ao desejada conforme mostra a Figura 5.11. Atrav´es das simula¸c˜oes foi poss´ıvel constatar que o sistema consegue alcan¸car o equil´ıbrio e resposta temporal satisfat´oria para a condi¸c˜ao inicial x0 = [1 0 0 0] (ver Figuras 5.12 e 5.13).
Observa¸c˜ao 5.1 Observa-se que a t´ecnica proposta utilizando fun¸c˜oes de Lya-punov por partes (caso3) apresenta uma resposta mais r´apida em rela¸c˜ao ao caso 1, e resultados similares em rela¸c˜ao ao uso da P comum (caso 2), por´em, a fac-tibilidade das LMIs pode ser mais facilmente atingida com fun¸c˜oes de Lyapunov
por partes no caso de modelos fuzzy serem const´ıtuidos de um n´umero maior de modelos locais.
95
Figura 5.3: Diagrama Simulink do sistema n˜ao-linear em malha aberta.
Figura 5.4: Diagrama Simulink do sistema Bola-Trave.
Figura 5.5: Diagrama Simulink do sistema em malha fechada com o controlador fuzzy via CDP.
Figura 5.6: Diagrama Simulink da estrutura interna do controlador fuzzy via CDP.
Figura 5.7: Diagrama Simulink do sistema em malha fechada com o controlador cha-veado fuzzy.
Figura 5.8: Estrutura do controlador chaveado fuzzy.
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Figura 5.9: P´olos de malha fechada dos subsistemas lineares do caso 1.
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
Figura 5.10: P´olos de malha fechada dos subsistemas lineares locais do caso 2.
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
σ
jω
p1(A1mf)= (−4.0,1.1) p2(A
1mf)= (−4.0,−1.1) p3(A
1mf)= (−4.3,0) p4(A
1mf)= (−2.8,0) p1(A
2mf)= (−4.0,1.4) p2(A2mf)= (−4.0,−1.4) p3(A
2mf)= (−3.7,0) p4(A
2mf)= (−2.9,0)
Figura 5.11: Localiza¸c˜ao dos p´olos dos subsistemas de malha fechada do caso 3.
99
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1 0 1 2
x 1(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1
−0.5 0 0.5
x 2(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−0.5 0 0.5
x 3(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1 0 1 2
x 4(t)
t [s]
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Figura 5.12: Resposta do sistema em malha fechada para os casos 1, 2 e 3 com condi¸c˜ao inicial [1 0 0 0].
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−10
−5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
t [s]
u(t)
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Figura 5.13: Resposta do sinal de controle para os casos 1, 2 e 3 com condi¸c˜ao inicial [1 0 0 0].