e como λ ∈ ρ(F ), então por (3.2) λ > pq, o qual contradiz a nossa hipótese de que λ ≤ pq. (ii) Se Fq(x) − x < p, ∀x ∈ R. Fazendo o mesmo trabalho que fizemos em (i), temos que existe
ε2 > 0 tal que: ρ(F ) ={ρ(F, x) : x ∈ R} ⊂ y ∈ R : y ≤ p − ε2 q (3.3) o qual contradiz a nossa hipótese de que µ ≥ pq.
Assim (i) e (ii) nos gera um absurdo, portanto existe x0 ∈ R tal que Fq(x0) = x0+ p.
Definição 3.6. Seja F ∈ Endr1(R), definimos ρ1(F ) = inf{ρ(F, x) : x ∈ R} e ρ2(F ) =
sup{ρ(F, x) : x ∈ R}.
Teorema 3.7. Seja F ∈ Endr
1(R), então ρ(F ) = [ρ1(F ), ρ2(F )].
Demonstração. Pelo Lema 3.3 ρ(F ) é limitado, logo ρ(F, x) existe para todo x ∈ R, assim ρ(F ) 6= ∅. Tambêm por definição ρ(F ) é fechado, logo ele é compacto. Por outro lado pelo Teorema 3.5 sabemos que os pontos racionais entre dois pontos λ, µ ∈ ρ(F ) estão em ρ(F ). Como os racionais são densos em R, então necessáriamente ρ(F ) é un intervalo compacto.
3.2
Propiedades do Intervalo de Rotação
O seguinte Lema fornece algumas propiedades do intervalo de rotação ρ(F ) = [ρ1(F ), ρ2(F )] e
portanto do seus extremos ρ1(F ) e ρ2(F ).
Lema 3.8. Seja F ∈ Endr1(R), então:
2) ρ(F + k) = ρ(F ) + k, para todo k ∈ Z. 3) ρ(Fs) = s · ρ(F ), para todo s ∈ N.
Em particular vale ρ1(F + k) = ρ1(F ) + k, ρ2(F + k) = ρ2(F ) + k, ρ1(Fs) = s · ρ1(F ) e
ρ2(Fs) = s · ρ2(F ), para todo k ∈ Z e s ∈ N.
Demonstração. Sejam k ∈ Z e x ∈ R, então: ρ(F, x + k) = lim sup n→∞ Fn(x + k) − (x + k) n = lim supn→∞ Fn(x) − (x) n = ρ(F, x)
logo se segue 1). Por outro lado para provar 2) e 3), basta notar que para todo x ∈ R, k ∈ Z e s ∈ N vale: ρ(F + k, x) = ρ(F, x) + k e ρ(Fs, x) = s · ρ(F, x). Com efeito:
ρ(F + k, x) = lim sup n→∞ (F + k)n(x) − x n = lim supn→∞ Fn(x) − x n + k = ρ(F, x) + k
Agora para mostrar ρ(Fs, x) = s · ρ(F, x), note que dado n ∈ N, com n ≥ s, existem m ∈ N e
r ∈ Z+ tais que n = ms + r com 0 ≤ r < s. Por outro lado para todo 0 ≤ r < s existe M r > 0
tal que |Fr(x) − x| ≤ Mr para todo x ∈ R, tomando M = max{Mr : 0 ≤ r < s} obtemos que
|Fr(x) − x| ≤ M para todo x ∈ R e todo 0 ≤ r < s. Em particular para todo 0 ≤ r < s e todo
m ∈ N vale que:
|Fr(Fms(x)) − Fms(x)| ≤ M, ∀ x ∈ R (3.4)
Note que m −→ ∞ quando n −→ ∞ e que limn→∞msn = 1. Usando a última igualdade e (3.4)
obtemos: s · ρ(F, x) = lim sup n→∞ s · F r(Fms(x)) − Fms(x) n +ms n · Fms(x) − x m = lim n→∞ s · F r(Fms(x)) − Fms(x) n + lim sup n→∞ ms n · Fms(x) − x m = lim sup m→∞ (Fs)m(x) − x m = ρ(Fs, x)
Lema 3.9. Seja F ∈ Endr1(R) e c ∈ R.
1) Se F (x) − x ≥ c para todo x ∈ R, então ρ1(F ) ≥ c.
3) Se F (x) − x ≤ c para todo x ∈ R, então ρ2(F ) ≤ c.
4) Se F (x) − x < c para todo x ∈ R, então ρ2(F ) < c. A recíproca é verdadeira se c ∈ Z.
Demonstração. Só provaremos 1) e 2), as provas de 3) e 4) são as mesmas trocando ≥ por ≤ e > por < respectivamente.
1). Dado x ∈ R, usando a hipótese, para todo n ∈ N vale: Fn(x) − x n = Pn−1 i=0[F (F i(x)) − Fi(x)] n ≥ c logo, ρ(F, x) = lim sup n→∞ Fn(x) − x n ≥ c portanto ρ1(F ) ≥ c.
2). (=⇒). Como F (x) − x > c para todo x ∈ R, logo existe δ > 0 tal que F (x) − x > c + δ para todo x ∈ R, logo usando a hipótese, para todo n ∈ N vale:
Fn(x) − x n = Pn−1 i=0[F (F i(x)) − Fi(x)] n > c + δ logo, ρ(F, x) = lim sup n→∞ Fn(x) − x n ≥ c + δ portanto ρ1(F ) ≥ c + δ > c.
(⇐=). Suponhamos que c ∈ Z e ρ1(F ) > c. Se existe x0 ∈ R tal que F (x0) − x0 ≤ c, então:
(i) Se F (x0) − x0 = c, então ρ1(F ) ≤ ρ(F, x0) = c, absurdo.
(ii) Se F (x0) − x0 < c, então:
• F (x) − x < c para todo x ∈ R; então existe δ > 0 tal que F (x) − x < c − δ para todo x ∈ R, assim dado x ∈ R, para todo n ∈ N vale:
Fn(x) − x n = n−1 X i=0 F (Fi(x)) − Fi(x) n < c − δ
logo, ρ(F, x) = lim supn→∞F
n(x) − x
n ≤ c − δ, então ρ1(F ) ≤ ρ(F, x) ≤ c − δ < c, absurdo.
• Existe x1 ∈ R tal que F (x1) − x1 ≥ c; então F (x0) − x0 < c ≤ F (x1) − x1 pelo
Teorema do valor intermediário existe x2 ∈ R tal que F (x2) − x2 = c, assim, ρ1(F ) ≤
ρ(F, x2) = c, absurdo.
Portanto devemos ter que F (x) − x > c para todo x ∈ R. Corolario 3.10. Seja F ∈ Endr1(R), c ∈ R e m ∈ N. 1) Se Fm(x) − x ≥ c para todo x ∈ R, então ρ1(F ) ≥
c m 2) Se Fm(x) − x > c para todo x ∈ R então ρ
1(F ) >
c
m. A recíproca é verdadeira se c ∈ Z. 3) Se Fm(x) − x ≤ c para todo x ∈ R, então ρ2(F ) ≤
c m. 4) Se Fm(x) − x < c para todo x ∈ R então ρ
2(F ) <
c
m. A recíproca é verdadeira se c ∈ Z. Demonstração. Basta notar que Fm ∈ Endr
1(R), logo aplicamos o Lema 3.9 a G = Fm para
obter o resultado para G = Fm e depois o Lema 3.8, 3) para obter o resultado para F .
Lema 3.11. (Desvío limitado) Seja F ∈ Endr
1(R). Para todo x ∈ R e todo n ∈ N vale:
n · ρ1(F ) − 1 ≤ Fn(x) − x ≤ n · ρ2(F ) + 1.
Demonstração. Suponhamos por absurdo que existe x0 ∈ R e n0 ∈ N tal que:
Fn0(x 0) − x0 < n0· ρ1(F ) − 1 ou Fn0(x0) − x0 > n0· ρ2(F ) + 1 Suponhamos que Fn0(x 0) − x0 < n0· ρ1(F ) − 1 (3.5) (o caso Fn0(x
0) − x0 > n0· ρ2(F ) + 1 é análogo), notemos que:
∃ y0 ∈ R : Fn0(y0) − y0 ≥ n0· ρ1(F ). (3.6)
Com efeito, se Fn0(y) − y < n
0 · ρ1(F ) para todo y ∈ R, como [0, 1] é compacto existe M =
max{Fn0(y) − y : y ∈ [0, 1]} < n
0 · ρ1(F ), logo existe δ > 0 tal que M < M + δ < n0· ρ1(F )
para todo y ∈ R, assim M +δn0 < ρ1(F ) ≤ ρ2(F ). Pelo Corolario 3.10, 3) existe x1 ∈ R tal que
M ≥ Fn0(x
1) − x1 > M + δ o qual é absurdo. Por tanto vale ( 3.6).
De ( 3.5) e ( 3.6), [n0 · ρ1(F ) − 1, n0· ρ1(F )] ⊂ Im(Fn0 − Id), logo existe k0 ∈ [n0 · ρ1(F ) −
1, n0· ρ1(F )) ∩ Z tal que Fn0(x2) = x2+ k0 para algum x2 ∈ R. Pelo Lema. 3.4, n0· ρ1(F ) ≤
n0· ρ(F, x2) = k0 < n0· ρ1(F ), o qual é absurdo.
i) n · ρ1(F ) − 1 ≤ infx∈R{Fn(x) − x} ≤ n · ρ1(F )
ii) n · ρ2(F ) ≤ supx∈R{Fn(x) − x} ≤ n · ρ2(F ) + 1
Demonstração. i). (O item ii) é análogo) Pelo Lema 3.11 para todo x ∈ R e todo n ∈ N vale: n · ρ1(F ) − 1 ≤ inf
x∈R{F
n(x) − x}
Se existe n0 ∈ N tal que n0·ρ1(F ) < infx∈R{Fn0(x)−x}, então existe δ > 0 tal que n0·ρ1(F )+δ <
Fn0(x) − x para todo x ∈ R. Pelo Corolario 3.10, 2), ρ
1(F ) > ρ1(F ) + nδ0, o qual é absurdo.
Portanto infx∈R{Fn(x) − x} ≤ n · ρ
1(F ) para todo n ∈ N.
Corolario 3.13. Seja F ∈ Endr
1(R). Então: i) ρ1(F ) = limn→∞ infx∈R F n(x) − x n ii) ρ2(F ) = limn→∞ supx∈R F n(x) − x n
Demonstração. i). (A prova de ii) é análoga) Pelo Corolario 3.12, i), obtemos: n · ρ1(F ) − 1 ≤ inf x∈R{F n(x) − x} ≤ n · ρ 1(F ) logo, ρ1(F ) − 1 n ≤ infx∈R Fn(x) − x n ≤ ρ1(F ) assim, ρ1(F ) ≤ lim n→∞ inf x∈R Fn(x) − x n ≤ ρ1(F ).
Corolario 3.14. Seja F ∈ Endr1(R). Se ρ1(F ) = ρ2(F ) = ρ(F ), então ρ(F, x) = limn→∞ F
n(x)−x
n
converge uniformemente (em x ∈ R) a ρ(F ). Demonstração. Dado x ∈ R, para todo n ∈ N vale:
inf x∈R Fn(x) − x n ≤ F n(x) − x n ≤ supx∈R Fn(x) − x n
assim, pelo Corolario 3.13, ρ1(F ) = lim n→∞ inf x∈R Fn(x) − x n ≤ lim n→∞ Fn(x) − x n ≤ limn→∞ sup x∈R Fn(x) − x n = ρ2(F )
O seguinte Lema diz que os extremos ρ1(F ) e ρ2(F ) do intervalo de rotação ρ(F ) = [ρ1(F ), ρ2(F )]
dependem continuamente de F . Em particular quando F ∈ Endr
1(R) é crescente, então o nú-
mero de rotação ρ(F ) depende continuamente de F .
Lema 3.15. As funções ρ1 : Endr1(R) → R e ρ2 : Endr1(R) → R são contínuas.
Demonstração. Fixamos arbitráriamente F ∈ Endr
1(R). Basta mostrar que ρ1 e ρ2 definidas
em End0
1(R) são contínuas. Com efeito, dado ε > 0, seja n0 ∈ N tal que n20 < ε, pelo Lema
3.11 vale:
n0 · ρ1(F ) − 1 ≤ Fn0(x) − x ≤ n0· ρ2(F ) + 1 ; ∀ x ∈ R (3.7)
Pelo Corolario 1.6, existe uma vizinhança U0 ⊂ End01(R) de F , tal que:
∀ G ∈ U0; n0· ρ1(F ) − 2 ≤ Gn0(x) − x ≤ n0· ρ2(F ) + 2 ; ∀ x ∈ R (3.8)
Pelo Corolario 3.10, 1) obtemos: ρ1(G) ≥ ρ1(F ) − n20 > ρ1(F ) − ε; e análogamente ρ2(G) <
ρ2(F ) + ε, isto é:
ρ1(F ) − ε < ρ1(G) ≤ ρ2(G) < ρ2(F ) + ε ; ∀ G ∈ U0. (3.9)
(I). Se ρ1(F ) = ρ2(F ), então por (3.9) vale |ρ1(F ) − ρ1(G)| < ε e |ρ2(F ) − ρ2(G)| < ε.
(II). Se ρ1(F ) < ρ2(F ), escolhemos pq11,qp22 ∈ Q, com p1, p2 ∈ Z e q1, q2 ∈ N, tais que
ρ1(F ) < p1 q1 < p2 q2 < ρ2(G) com p1 q1 − ρ1(F ) < ε e p2 q2 − ρ2(F ) < ε
Pelo Corolario 3.10, 1) e 3), existem xi, yi ∈ R tais que Fqi(xi) − xi < pi e Fqi(yi) − yi > pi
para todo i = 1, 2, assim por exemplo para i = 1, pelo Corolario 1.6, existe U1 ⊂ End01(R)
vizinhança de F tal que Gq1(x
1) − x1 < p1 e Gq1(y1) − y1 > p1, para todo G ∈ U1, pelo teorema
do valor intermediário, existe z1 ∈ R tal que Gq1(z1) = z1+ p1, pelo Lema 3.4 obtemos:
ρ1(G) ≤ ρ(G, z1) = p1 q1 < ρ1(F ) + ε assim, ρ1(G) < ρ1(F ) + ε ; ∀ G ∈ U1. (3.10)
Tomando U = U0∩ U1, de (3.9) e (3.10) obtemos que |ρ1(F ) − ρ1(G)| < ε para todo G ∈ U .
Análogamente para i = 2 obtemos uma vizinhança U2 ⊂ End01(R) de F tal que ρ2(G) >
ρ2(F ) − ε para todo G ∈ U2; fazendo V = U0 ∩ U2 obtemos, |ρ2(F ) − ρ2(G)| < ε para todo
Capítulo 4
C
r
- perturbações do intervalo de rotação
Seja f ∈ Endr1(S1) e F ∈ Endr
1(R) um levantamento de f . Lembre que podemos definir
ρ(f ) = ρ(F ) = [ρ1(F ), ρ2(F )].
Definição 4.1. Dizemos que ρi(F ) para i = 1, 2 é Cr-persistente se existe uma vizinhança
V de F em Endr
1(R) tal que ρi(F ) = ρi(G) para todo G ∈ V e i = 1, 2. Se ρ1(F ) e ρ2(F ) são
Cr-persistentes então dizemos que ρ(F ) = [ρ
1(F ), ρ2(F )] é Cr-persistente.
Dizemos que ρi(f ) (ou ρ(f )) é Cr-persistente se ρi(F ) (ou ρ(F )) é Cr-persistente para algum
(e portanto para qualquer) levantamento F de f . Usando a notação da Observação 3.2 (5), isto é o mesmo que dizer que existe uma vizinhança W de f tal que para toda g ∈ W vale ρi(g) = ρi(f ) (mod Z) (ou ρ(g) = ρ(f ) (mod Z)).
Consideremos o conjunto:
Σr = {f ∈ Endr1(S1) : ρ(f ) ´e Cr− persistente}
O resultado central a ser provado é do artigo [BMP], o qual afirma o seguinte: Teorema 4.2. Seja r ≥ 1. Então:
(i) Σr é aberto e denso em Endr1(S1).
(ii) Se f ∈ Σr, então os pontos extremos de ρ(f ) são números racionais.
A prova do Teorema 4.2 se segue imediatamente do Teorema 4.4 abaixo que fornece condições necessárias e suficientes sobre F ∈ Endr
1(R) para que ρ1(F ) e ρ2(F ) sejam Cr-persistentes.
Notação. De aqui em diante F ix(F ) denotará o conjunto de todos os pontos fixos de F ∈ Endr
Definição 4.3. Para F ∈ Endr1(R) e pq ∈ Q, consideremos os conjuntos: Ap,q(F ) = {x ∈ R : Fq(x) > x + p}
Bp,q(F ) = {x ∈ R : Fq(x) < x + p}
Note que como Fq− Id − p é contínua, então Ap,q(F ) e Bp,q(F ) são conjuntos abertos. Deno-
tamos por ∂Ap,q(F ) e ∂Bp,q(F ) as fronteiras de Ap,q(F ) e Bp,q(F ) respectivamente. Usando a
continuidade de Fq− Id − p mostra-se que ∂A
p,q(F ) ⊂ F ix(Fq− p) e ∂Bp,q(F ) ⊂ F ix(Fq− p).
Teorema 4.4. Seja F ∈ Endr
1(R), com r ≥ 1. Então:
(i) ρ1(F ) = pq se, e somente se, existe a ∈ R tal que Fq(a) = a + p e Fq(x) ≥ a + p para todo
x ≥ a.
(ii) ρ2(F ) = pq se, e somente se, existe b ∈ R tal que Fq(b) = b + p e Fq(x) ≤ b + p para todo
x ≤ b.
(iii) ρ1(F ) = pq é Cr-persistente se, e somente se, Ap,q(F ) e Bp,q(F ) são não vazíos e existe
a ∈ ∂Ap,q(F ) tal que Fq(x) > a + p para todo x > a.
(iv) ρ2(F ) = pq é Cr-persistente se, e somente se, Ap,q(F ) e Bp,q(F ) são não vazíos e existe
b ∈ ∂Bp,q(F ) tal que Fq(x) < b + p para todo x < b.
(v) Dado F ∈ Endr
1(R) e i = 1 ou i = 2, existe G ∈ Endr1(R), Cr-próximo a F , tal que
ρi(G) ∈ Q é Cr-persistente. Mais ainda, se ρi(F ) ∈ Q então G pode ser escolhida de
modo que ρi(G) = ρi(F ).
Para a prova do Teorema 4.4, vamos nos concentrar nos casos (i), (iii) e (v) com i = 1, pois os outros casos para i = 2 são totalmente análogos. Nas seções a seguir definiremos conceitos e provaremos resultados relativos a ρ1(F ) que irão nos ajudar na prova de tais itens.
Notação. Dado a ∈ R, denotaremos Ia = [a, a + 1]. Sempre que escrevermos ρ1(F ) = pq vamos
supor que p ∈ Z, q ∈ R e (p, q) = 1. Em particular se ρ1(F ) = pq = 0 tomamos p = 0 e q = 1.
4.1
Pontos Cone e Semi-cone
Para começar, seja F ∈ Endr
1(R) como na Figura 4.1 . Então notemos que F (0) = 0, logo
ρ(F, 0) = 0. Tambem existe b > 0 tal que F (b) < 0, mais ainda note que para todo c ∈ F ix(F ) ∩ [0, 1] temos que existe yc> c tal que F (yc) < c. Então pode se mostrar que neste caso
existe um n ∈ N suficientemente grande tal que ρ1(F ) ≤ −1n < 0. Ou seja, que se o gráfico de
F é como na figura 4.1, então ρ1(F ) 6= 0. Note que se na figura tivéssemos que F (0) = 0 e a
Figura 4.1: O ponto a é um ponto fixo de F e b > a é um ponto tal que F (b) < a.
Resulta que a recíproca dessa afirmação tambem é certa, ou seja que se F (0) = 0 e F satisfaz a propiedade de que F (x) ≥ 0 para todo x ≥ 0 então ρ1(F ) = 0. A propiedade adicional que
satisfaz F motiva à seguinte definição.
Definição 4.5. Seja F ∈ Endr1(R) e a ∈ R. Se F (x) > F (a) para todo x > a, a é chamado ponto cone de F . Se acontecer que F (x) ≥ F (a) para todo x > a, a é chamado ponto semi- cone de F . Denotamos por C(F ) ao conjunto de todos os pontos que são pontos cone de F e por SC(F ) ao conjunto de todos os pontos que são pontos semi-cone de F . E denotamos por C∗(F ) = F ix(F ) ∩ C(F ) e SC∗(F ) = F ix(F ) ∩ SC(F ).
Que o ponto a ∈ R seja um ponto cone de F , gráficamente significa que a gráfica da função F no intervalo (a, ∞) fica por acima e sem bater à reta horizontal y = F (a) ou equivalentemente que F ((a, ∞)) ⊂ (F (a), ∞). Similarmente que a ∈ R seja um ponto semi-cone de F , significa que a gráfica da função F no intervalo (a, ∞) fica por acima e podendo bater à reta horizontal y = F (a) ou equivalentemente que F ((a, ∞)) ⊂ [F (a), ∞) (ver Figura 4.2).
Observação 4.6. Seja F ∈ Endr1(R).
(i) C(F ) ⊂ SC(F ). Mais ainda, SC(F ) é fechado e C(F ) ⊂ SC(F ).
(ii) Se a ∈ C(F ) (respectivamente SC(F )), então a + k ∈ C(F ) (respectivamente SC(F )) para todo k ∈ Z.
(iii) Se a ∈ F ix(Fq− p), então:
• a ∈ C(Fq) ⇐⇒ a ∈ C(Fq− p)
Figura 4.2: O ponto a é um ponto cone de F e b é um ponto semi-cone de F .
Lema 4.7. Seja G ∈ Endr1(R) com F ix(G) 6= ∅. Se x0 ∈ R é tal que G(x0) > x0 e G(y) ≥ x0
para todo y > x0, então x1 = sup{x ∈ F ix(G) : x < x0} ∈ C∗(G).
Demonstração. Note que G(x) > x para todo x ∈ (x1, x0). Se y > x1, então:
• Se x1 < y ≤ x0; G(y) > y > x1.
• Se x1 < x0 < y; pela hipótese temos G(y) ≥ x0 > x1.
em qualquer caso x1 ∈ C(G) (ver Figura 4.3).
Note que se G ∈ Endr1(R), pelo Lema 3.4 e o Teorema 3.5 pode-se afirmar que 0 ∈ ρ(G) se e só se, existe a ∈ F ix(G). O Lema 4.8 abaixo afirma que ρ1(G) = 0 se, e somente se, existe
a ∈ SC∗(G).
Lema 4.8. Seja G ∈ Endr1(R), com r ≥ 1. Então: ρ1(G) = 0 se e só se existe a ∈ SC∗(G).
Demonstração. (i) (=⇒) Suponha que ρ1(G) = 0, então pelo Teorema 3.5 existe b ∈ F ix(G).
Pelo Lema 3.11, para todo n ∈ N e todo x ∈ R, vale Gn(x)−x ≥ −1, logo Gn[(x, ∞)] ⊂ [x−1, ∞)
para todo n ∈ N e todo x ∈ R. Agora fixamos b ∈ R, então pelo anterior temos: [
n∈N
Gn[(b, ∞)] ⊂ [b − 1, ∞)
Seja L =S
n∈NGn[(b, ∞)], então L ⊂ [b − 1, ∞), logo L = [u, ∞) para algum u ∈ R. Note que
G(L) ⊂ L, pois G(S
n∈NG
n[(b, ∞)]) ⊂S
n∈NG
Figura 4.3: O ponto x1 é um ponto fixo e cone de G.
• Se G(u) = u; então como G(L) ⊂ L, escolhemos a = u ∈ SC∗(G).
• Se G(u) 6= u; como G(L) ⊂ L então G(u) > u, então pelo Lema 4.7 a = sup{y ∈ F ix(G) : y < u} ∈ C∗(G).
(⇐=) Suponha que existe a ∈ SC∗(G). Se x ≥ a, pela hipótese G(x) ≥ G(a) = a, novamente pela hipótese G2(x) ≥ G(a) = a e por indução para todo n ∈ N vale Gn(x) ≥ a, logo,
ρ(G, x) = lim sup n→∞ Gn(x) − x n ≥ limn→∞ a − x n = 0
Se x < a, existe k ∈ Z tal que x + k > a, pelo Lema 3.8, 1), ρ(G, x) = ρ(G, x + k) ≥ 0. Assim ρ(G, x) ≥ 0 para todo x ∈ R e em consequência 0 ≤ ρ1(G) ≤ ρ(G, a) = 0, portanto
ρ1(G) = 0.
Corolario 4.9. Seja F ∈ Endr1(R). Então: ρ1(F ) = pq se e só se existe a ∈ SC∗(Fq− p).
Demonstração. Pelo Lema 3.8 obtemos ρ1(Fq− p) = 0, pelo Lema 4.8 isto ocorre se, e só se
existe a ∈ SC∗(Fq− p). Lema 4.10. Seja F ∈ Endr
1(R), com r ≥ 1 e ρ1(F ) = pq. Seja a ∈ F ix(Fq− p), então:
1) a ∈ C(Fq) se e só se Fj(a) ∈ C(F ) para todo 0 ≤ j < q.
2) Se (Fq)0(a) 6= 0, então: a ∈ SC(Fq) se e só se Fj(a) ∈ SC(F ) para todo 0 ≤ j < q.
Demonstração. Se ρ1(F ) = 0 o resultado segue. No caso em ρ1(F ) = pq < 0 existe k ∈ Z tal que
ρ1(F + k) = ρ1(F ) + k > 0. Portanto podemos supor ρ1(F ) = pq > 0. Então como ρ1(F ) > 0,
1) (=⇒). Suponha que existe 0 ≤ j0 < q tal que Fj0(a) /∈ C(F ), então existe x0 > Fj0(a) tal
que F (x0) ≤ Fj0+1(a), logo x0 ∈ (Fj0(a), Fj0+1(a)), pelo Teorema do valor intermediário existe
x1 ∈ (a, F (a)) tal que Fj0(x1) = x0, logo,
Fj0+1(x
1) = F (x0) ≤ Fj0+1(a) < Fj0+1(F (a))
de novo pelo teorema do valor intermediário, existe x2 ∈ [x1, F (a)) tal que Fj0+1(x2) = Fj0+1(a),
logo Fq(x
2) = Fq(a) = a + p. Assim existe x2 ≥ x1 > a tal que Fq(x2) ≤ a + p, logo a /∈ C(Fq).
(⇐=). Se x > a, como a ∈ C(F ), então F (x) > F (a). Como F (a) ∈ C(F ), então F2(x) >
F2(a), proseguindo assim aplicando a hipótese obtemos que Fq(x) > Fq(a) = a + p. Portanto
a ∈ C(Fq).
2) (=⇒). Equivalentemente vamos mostrar que se existe 0 ≤ j0 < q tal que Fj0(a) /∈ SC(F )
então a /∈ SC(Fq). Com efeito, denotamos a
k = Fk(a) para todo k = 0, 1, 2, . . . , q − 1; como
Fj0(a) /∈ SC(F ), então existe x
1 > Fj0(a) = aj0 tal que F (x1) < F
j0+1(a) = a
j0+1. Portanto
a ≤ aj0 < x1 < F (x1) < aj0+1
Por outro lado, para todo δ > 0:
∃ y−, y+∈ (aj0, aj0+1) : F (y−) ∈ (aj0+1− δ, aj0+1) e F (y+) ∈ (aj0+1, aj0+1+ δ) (4.1)
Por hipótese 0 6= (Fq)0(a) = (Fq−j0−1)0(a
j0+1) · (F
j0+1)0(a), então (Fq−j0−1)0(a
j0+1) 6= 0, logo
existe δ1 > 0 tal que Fq−j0−1 é crescente ou decrescente em (aj0+1 − δ1, aj0+1 + δ1). Então
Fq−j0−1(y) < a + p para todo y ∈ (a
j0+1 − δ1, aj0+1) ou F
q−j0−1(y) < a + p para todo y ∈
(aj0+1, aj0+1+ δ1). Em qualquer caso por (4.1) existe y0 ∈ (aj0, aj0+1) tal que F
q−j0(y
0) < a + p.
Como Fj0(a) = a
j0 < y0 < aj0+1 = F
j0+1(a), então pelo teorema do valor intermediário existe
x2 ∈ (a, F (a)) tal que Fj0(x2) = y0, logo:
Fq(x2) = Fq−j0(Fj0(x2)) = Fq−j0(y0) < a + p
isto é, existe x2 > a tal que Fq(x2) < a + p, ou seja a /∈ SC(Fq).
(⇐=). Seja x > a, então: (esta parte independe do fato (Fq)0(a) 6= 0) I) Se ∃ 0 ≤ j0 < q tal que Fj0(x) = Fj0(a); então Fq(x) = Fq(a) = a + p.
II) Se ∀ 0 ≤ j < q: Fj(x) 6= Fj(a); como x > a e a ∈ SC(F ) então F (x) ≥ F (a), mas
por hipótese F (x) > F (a). Como F (a) ∈ SC(F ), então F2(x) ≥ F2(a), e novamente por
hipótese F2(x) > F2(a), como F2(a) ∈ SC(F ), então F3(x) ≥ F3(a); proseguindo assim com o raciocínio aplicando á hipótese, obtemos que Fq(x) ≥ Fq(a) = a + p. Portanto a ∈ SC(Fq).
Em qualquer caso, a ∈ SC(Fq). Corolario 4.11. Seja F ∈ Endr
1(R), com r ≥ 1 e ρ1(F ) = pq. Se a ∈ SC∗(Fq− p) é tal que
Demonstração. Notar que F0(Fj(a)) 6= 0 para todo 0 ≤ j < q. Supondo o contrário, que F0(Fj0(a)) < 0 para algum 0 ≤ j
0 < q então existe δ > 0 tal que F é decrescente em (Fj0(a) −
δ, Fj0(a) + δ), logo existe x
0 > Fj0(a) tal que F (x0) < Fj0+1(a), logo Fj0(a) /∈ SC(F ), pelo
Lema 4.10, 2) a /∈ SC(Fq) o qual é absurdo.
Lema 4.12. Seja G ∈ Endr1(R), com r ≥ 1. Se existe a ∈ C∗(G) tal que G0(a) > 0, então existe δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ C(G).
Demonstração. Como G0(a) > 0, existe δ1 > 0 tal que G é crescente em (a − δ1, a + δ1). Seja
x0 = a + δ1. Como a ∈ C(G), então G(x) > G(a) = a para todo x ∈ [x0, x0 + 1]. Pela
continuidade de G, existe δ2 > 0 tal que G(x) > a + δ2 para todo x ∈ [x0, x0+ 1] e portanto
vale:
G(x) > a + δ2; ∀ x ≥ x0 (4.2)
pois se x ≥ x0 então existe k ≥ 0 inteiro tal que x − k ∈ [x0, x0+ 1], logo G(x) = G(x − k) + k >
a + δ2 + k ≥ a + δ2. Logo segue (4.2).
Agora tomando δ3 = min{δ1, δ2} > 0, por (4.2) ainda vale que G(x) > a + δ3 para todo
x ≥ x0, logo pela continuidade de G, existe x1 ∈ (a, a + δ3) tal que G(x1) < a + δ3. Seja
δ = min{δ3, x1− a} > 0, afirmamos que (a − δ, a + δ) ⊂ C(G); com efeito, se y ∈ (a − δ, a + δ)
e x > y então:
• Se y < x < x0; como G é crescente em (a − δ1, a + δ1), então G(y) < G(x).
• Se y < x0 ≤ x; note que ainda vale (4.2) para δ3. Pela escolha de δ temos y < x1. Como
y, x1 ∈ (a + δ3, a + δ3) e G é crescente em (a − δ3, a + δ3), obtemos: G(x) > a + δ3 >
G(x1) > G(y)
Em qualquer caso y ∈ C(G). Definição 4.13. Sejam G ∈ Endr
1(R) e a ∈ SC
∗(G). Definimos:
ya = sup{y ≥ a : G(y) = a} e Ja= [a, ya].
Observação 4.14. Sejam G ∈ Endr
1(R) e a ∈ SC
∗(G), então:
(1) Como G é de grau 1 então ya < ∞. Por outro lado pela Observação 4.6, (ii) a + 1 ∈
SC∗(G), logo 0 ≤ ya− a < 1. (ver Figura 4.4)
(2) a ∈ C∗(G) se e só se ya= a.
(3) Se a /∈ C(G) então (a, ya) ∩ SC∗(G) = ∅ (ver Figura 4.4). Com efeito, se x0 ∈ (a, ya) ∩
SC∗(G) então G(ya) = a < x0 = G(x0) e como ya > x0 isso implica que x0 ∈ SC(G) o/
Figura 4.4: O ponto a ∈ SC∗(G)\C(G).
(4) Se b ∈ SC∗(G) com a < b então Ja∩ Jb = ∅. Pois caso contrário b ∈ Ja logo b ∈ (a, ya) o
qual contradiz (3).
(5) Se ya > a então G0(ya) = 0. Pois ya sería um mínimo local da função G(x) − a.
Seja F ∈ Endr
1(R) e Ib = [b, b + 1] com b ∈ R fixo e ρ1(F ) = pq. Então podemos considerar os
seguintes conjuntos:
P (F ) = {x ∈ Ib : x ∈ C∗(Fq− p)} = Ib∩ C∗(Fq− p) (4.3)
Q(F ) = {x ∈ Ib : x ∈ SC∗(Fq− p)} = Ib∩ SC∗(Fq− p) (4.4)
Nota.- De aqui em diante (salvo menção explícita) sempre que suponhamos que ρ1(F ) = pq,
estarão asociados os conjuntos P (F ) e Q(F ) dados como em (4.3) e (4.4) para algum b ∈ R fixado.
Lema 4.15. Seja F ∈ Endr1(R) com r ≥ 1, ρ1(F ) = pq e b ∈ R. Se P (F ) = ∅ então Q(F ) é
finito e (Fq)0(a) ≥ 1 para todo a ∈ Q(F ), e em consequência F0(Fj(a)) > 0 para todo 0 ≤ j < q.
Demonstração. Pelo Corolario 4.9 Q(F ) 6= ∅. Agora seja a ∈ Q(F ), afirmamos que:
∀ ε > 0, ∃ u ∈ (a − ε, a) : Fq(u) < u + p (4.5) Com efeito, pois se existe ε > 0 tal que Fq(x) ≥ x + p para todo x ∈ (a − ε, a), então:
• Se existe x1 ∈ (a − ε, a) tal que Fq(x1) > x1 + p; então pelo Lema 4.7 ea = sup{b ∈ F ix(Fq− p) : b < x
1} ∈ C∗(Fq− p), logoea ∈ P (F ), o qual é absurdo. • Se Fq(x) = x + p para todo (a − ε, a); então P (F ) 6= ∅, o qual é absurdo.
Portanto vale (4.5). Usando (4.5) obtemos uma sequência xn< a tal que Fq(xn) < xn+ p para
todo n ∈ N e limn→∞xn = a. Assim por definição de derivada (Fq)0(a) ≥ 1, e pelo Corolario
4.11 F0(Fj(a)) > 0 para todo 0 ≤ j < q.
Como P (F ) = ∅, então C∗(Fq − p) = ∅. Para cada a ∈ Q(F ) definamos y
a e Ja como na
Definição 4.13 com G = Fq − p. Pela Observação 4.14, (1), temos que a < y
a < a + 1. Pela
continuidade uniforme de F0, para ε = 12 > 0 existe δ > 0 tal que: |x − y| < δ =⇒ |F0(x) − F0(y)| < 1
2 (4.6)
Como já sabemos que (Fq)0(a) ≥ 1 para todo a ∈ Q(F ) e pela Observação 4.14, (5), (Fq)0(y a) =
0, logo usando (4.6) obtemos que |ya− a| ≥ δ para todo a ∈ Q(F ). Agora se Q(F ) é infinito,
então pela Observação 4.14, (4), existiríam infinitos intervalos disjuntos Jacontidos em [b, b + 2]
com comprimento maior ou igual do que δ > 0, mais isso é impossível já que o comprimento do intervalo [b, b + 2] é finito. Portanto Q(F ) é finito.