A Aula
A segunda aula ministrada por Júlia, no 8º Ano, referiu-se à proporcionalidade directa e ocorreu no dia 15 de Fevereiro de 2008. Nesta aula, devido a um problema com a videocâmera, não pude usá-la, mas gravei o áudio e anotei tudo que a candidata a professora escreveu no quadro. Esta aula pode ser dividida em três momentos: o primei- ro é a introdução, na qual ocorreu a chamada dos alunos e a cobrança das tarefas ante- riores; o segundo, a prática de explicação, dividida em correcção da ficha e depois a utilização do livro didáctico e o terceiro momento foi a parte final, na qual a candidata a professora escreve no quadro e explica o que será o TPC.
No primeiro momento da aula, Júlia fez a chamada dos alunos e passou à cobrança da tarefa. A tarefa estava em uma ficha, elaborada para o estudo da proporcio- nalidade directa, em diferentes representações. Ao se referir a esta ficha, Júlia declara:
Portanto, essa ficha foi toda construída, primeiro pra proporcionalidade directa, constante e o contexto neste exercício, depois a expressão algébrica sobre esta função, depois perceber por que é aquela função, depois é a representação gráfica e depois eles perceberem, ao unir os pontos, que eles vão ter uma recta que passa pela origem. Portanto, aqui eles estão a relacio- nar todos os aspectos que é suposto relacionar com a proporcionalidade directa. (…) Essa ficha tava bem conseguida nesse sentido, pra eles relacio- narem bem as coisas, mas só acontece se no fim fizerem uma síntese, como eu fiz. (TECJ2)9
No segundo momento da aula, a candidata a professora iniciou a correcção da ficha. Os alunos estavam organizados em grupos de quatro alunos. Em princípio, os alunos estavam muito calados, ao contrário da aula anterior, Júlia atribuiu isso ao facto de já terem feito a ficha em casa, como refere:
Sim, porque eu tinha pedido, na última aula, pra eles fazerem esta ficha em casa, portanto eles tinham feito a ficha, a grande maioria da turma tinha fei- to a ficha em casa. E proporcionalidade directa eles já deram no ano passado e já deram no ano anterior. Eles sabem. (TECJ2)
De seguida, as interacções verbais entre a candidata a professora e os alunos vão se desenvolvendo, ela inicia a comunicação oral com uma explicação sobre o enunciado do problema. Nesta explicação, mais uma vez, como ocorreu no decorrer da primeira aula, ela chama os alunos pelo nome, o que identificamos como uma regra de contrato didáctico. Os questionamentos que ela faz aos alunos, corrigindo-os em suas interven- ções, dão origem ao padrão IRE de comunicação. Como podemos perceber no episódio seguinte:
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Episódio A
Na interacção com A3, o padrão IRE foi interrompido, quando Júlia corrigiu a aluna e dá a resposta certa, partindo, de seguida, para outra pergunta.
Número de Paco- tes 0 1 2 3 4 5 Custo em euros 0 1,5 3 4,5 6 7,5
Figura 4.3 - a tabela a que Júlia se refere, que também foi escrita no quadro por ela.
O modo de interacção presente no Episódio A pode ser considerado uma comu- nicação contributiva, uma vez que havia uma maior quantidade de participações orais dos alunos, que não se enquadram no padrão IRE, mas que ainda é a candidata a profes- sora a protagonista principal da atribuição de significados ao conhecimento matemático apresentado. Mais adiante, em uma das explicações de Júlia, podemos perceber que ela estimula o surgimento de outra solução, o que pode ser interpretado como uma norma sociomatemática, uma solução matematicamente diferente.
Júlia: (Júlia escreveu no quadro uma tabela (Figura 4.2) que relaciona o número de pacotes com o custo em euros) … e agora? Vamos cá ver. O número de pacotes, quanto mais pacotes eu compro, mais tenho que pagar, certo? Ana Renata, certo? Luíza? Tava distráida? Vamos cá ver, aqui estão preenchidas, nomeadamente, quando eu compro, o número de pacotes é zero, o que significa o número de pacotes ser zero?
A1: não se paga nada.
Júlia: não se paga nada. Não compra nada, não paga nada, certo? Eu não vou pagar se não for comprar, não faz sentido, certo? Agora, o número de pacotes indica o quanto vou pagar. Luíza, quanto é que vou pagar se comprar um pacote?
A2: um e meio.
Júlia: … agora, se eu comprar dois pacotes? ALS: 3.
Júlia: agora, se eu comprar 3 pacotes? ALS: 4,5.
Júlia: se eu comprar quatro pacotes? Márcia Costa? A3: 7.
Júlia: Quatro pacotes são seis? Não são sete? E cinco pacotes? A4: sete euros e meio.
Episódio B
A resposta da aluna A3, possibilitou, além do surgimento de uma solução dife- rente, o aparecimento de mais padrões IRE, na comunicação entre Júlia e os alunos, como podemos perceber.
Todas essas interacções verbais entre a candidata a professora e vários alunos, propiciou relacionar diferentes modos de abordar o problema, ressaltando as relações de multiplicação e divisão presentes, bem como a constante de proporcionalidade. A expli- cação de Júlia que segue a estas partes da aula, e estão presentes no Episódio C, enfatiza o significado da constante de proporcionalidade:
Episódio C
Júlia: sim, então … 1,5 vezes 2 é 3, sim senhora, certa? Portanto, o que é que acon- tece? Toda vez que tem proporcionalidade directa, significa à medida que eu aumento a proporção em que eu aumento a variável, a primeira variável, a mesma proporção aumenta a segunda variável, certo? Quanto eu multiplico pra chegar ao 3? Do 1,5 pra chegar ao 4,5? Se eu multiplicar por 3, dá 4,5? Se eu multiplicar 1,5 por 3 dá 4,5? Certo? Isto é uma forma de obter-se a proporcionalidade directa. Outra, mais organizada,…
A3: é dividirmos uma variável pela outra.
Júlia: exactamente. É dividirmos uma variável pela outra e obtermos um número constante. Então vamos lá ver, dividir os pares ordenados e obter uma cons- tante. O custo dividido pelo pacote em cada caso. Vai dar sempre o mesmo valor. (Júlia vai escrevendo no quadro explicando e perguntando. Vamos cá ver, 1,5 dividido por 1. Agora 3 a dividir por 2, até agora dá tudo 1 e meio. Agora 4,5 dividido por 3? Quanto é que dá?
A4: dá 1,5.
Júlia: dá 1,5. Então continua a correr bem. 6 dividido por 4? ALS: dá 1,5.
Júlia: dá 1,5. 7,5 dividido por 5? ALS: dá 1,5.
Júlia: dá 1,5, espectáculo. Então é proporcionalidade directa ou não é proporciona- lidade directa?
ALS: é.
Júlia: eu quero que vocês pensem, eu quero que vocês pensem o que significa a constante. Toda vez que é proporcionalidade directa eu tenho que dividir uma variável pela outra variável. Neste caso as variáveis em causa são o custo e o número de pacotes. Sempre que eu divido custo pelo pacote, o custo pelo pacote, o custo pelo pacote, acho esse número, certo? Se acontecer isso, se o resultado for sempre igual, temos a proporcionalidade directa. E esse número que é sempre igual dou-lhe o nome, chamo-lhe de constante de proporcionali- dade directa, certo?
A questão seguinte da ficha, aborda a representação algébrica da relação entre o número de pacotes de batata, n e o custo c. Os alunos precisavam saber qual expressão algébrica representa a fórmula correcta para isso. Nas interacções entre Júlia e os alu- nos, mais uma vez, sobressai o padrão IRE. Nessas interacções, ela sublinha a relação entre a representação feita na tabela e a representação algébrica e desta passa para as interacções verbais que conduziram à representação gráfica. Em relação a essas mudan- ças de representação, Júlia refere, a partir das interacções verbais com os alunos:
isso é uma grande dificuldade, passar dessa representação na tabela pra aqui. exacto, pois não. (...) eles acham coisas distintas, o que está representado aqui, não é a mesma coisa que está representado no referencial. Eles acham que o que tá representado na tabela, eles entendem melhor a tabela do que o gráfico. Porque eles já usam a tabela há muitos anos, o gráfico, só no ano passado é que eles lhe deram com o referencial cartesiano. No 7º Ano de escolaridade eles aprendem a marcar pontos, agora gráficos eles viram este ano, portanto, ainda é muito abstracto. Eles entendem muito bem o que é uma função através de uma tabela, através de um diagrama sagital, mas se for através da representação gráfica com o referencial cartesiano, já é muito abstracto, eles têm muita dificuldade em ver se vai ser uma função se não, e perceber que esse ponto de coordenadas 2 e 3, significa que dois pacotes de batata custam 3 euros e que é evidente, 2 pacote custam 3 euros, entenda. (…) pois, eles não fazem isso. (TECJ2)
Além do padrão IRE, mais uma vez, podemos identificar, neste momento, no Episódio D, a seguir, podemos perceber, no discurso de Júlia, a ênfase na necessidade de generalizar, isso vai justificando a mudança na representação, da tabela para o gráfi- co no plano cartesiano.
ALS: certo.
Júlia: se eu não tivesse aqui nada, fosse só essa tabela, ia ser proporcionalidade directa? A constante ia ser 1,5. Mas, nesse caso, essa tabela surgiu desta figura, que eu tinha aqui em outro contexto, certo? Este 1,5 neste problema real, aqui das senhoras que vão ao supermercado comprar batatas fritas, o que essa cons- tante de proporcionalidade tem a ver com o caso?
A8: eu. É o preço de cada pacote.
Júlia: exactamente. Portanto, o significado da constante é o preço de cada pacote. Um pacote é 1,5. A constante de proporcionalidade em qualquer situação de proporcionalidade directa é sempre o preço de um, ou se não for o preço, a constante é sempre relativo a cada um. (Júlia escreve no quadro, enquanto fala) A constante de proporcionalidade é 1,5 e representa o número de cada pacote ou de um pacote. Vocês conseguiram perceber? Tá tudo bem?
Episódio D
As interacções verbais entre Júlia e os alunos, na explicação sobre a representa- ção algébrica e o que é uma função, permanecem apresentando o padrão IRE e a comu- nicação contributiva. A resolução da ficha com as diferentes representações da propor- cionalidade directa, terminou após uma aluna responder no quadro à questão, referente à representação gráfica da proporcionalidade directa (ver Figura 4.3). A comunicação entre a candidata a professora e os alunos continuou com as mesmas características anteriores.
Júlia: então agora, 1.3? Agora, o custo, então Lucas, o custo c em euros, pode ser relacionado com o número de pacotes n, por meio de uma fórmula, assinale com x a expressão que representa essa fórmula. (Júlia escreve no quadro, enquanto fala) Temos três fórmulas: c igual a 1,5 + n, c igual a 1,5 vezes n e c é igual a 1,5. O que é que eu ponho aqui e por que?
A9: ahmm.
Júlia: vamos lá ver, dá pra perceber como é que escrevia, tem escrever como é que é este c e como é que é este n. Vamos lá ver, o que é que é este c?
A9: é o custo.
Júlia: Lucas, o que é que é o c? A9: é o custo em euros.
Júlia: exacto. E o n?
A9: o n é o número de pacotes.
Júlia: é o número de pacotes. Então vamos cá ver, eu quero uma fórmula que me dê, que me calcule o custo às custas do número de pacotes. Pra qualquer número de pacotes, mil pacotes, qual é a operação que eu faço, para comprar mil paco- tes, tenho um custo?
A9: multiplica o custo em euros …
Júlia: Lucas, como é que preenche esta tabela? A tabela dá-vos o n, certo? Vocês iam achar o custo c, exactamente o que eu quero agora, certo? Mas aqui em meu n, o que vocês fizeram pra preencher essa tabela? Pra chegar aqui do 4, como é que fizeram pra chegar ao 6? Elisa?
Figura 4.4 - Gráfico de proporcionalidade directa elaborado por uma aluna no quadro.
Na segunda parte da prática de explicação, teve lugar a correcção do exercício do livro didáctico (ver a Figura 4.4).
Figura 4.5 - Gráfico da questão do livro didáctico
O exercício apresenta um gráfico, sobre o qual ocorrem as interacções verbais. Nestas, Júlia ficou à frente da classe-inteira, e a questionava sobre o gráfico da questão.
Nas primeiras interacções verbais, identificamos o padrão IRE, a candidata a professora estimula a comunicação oral por parte dos alunos, mas as respostas não avançam para outros padrões de interacção, como percebemos no episódio:
Episódio E
De seguida, houve mais comunicação contributiva, até o momento no qual Júlia explicou a questão, usando a tabela, nesta explicação, mais uma vez, chamou uma aluna pelo nome, uma regra de contrato didáctico para a explicação:
…guê de x é a função, guê de x é a função das minhas imagens, certo? Guê de x, guê de x, o x são os objectos que estão no eixo dos x. O guê de x, o guê de x vão ser as minhas imagens, que estão no eixo do y, certo? Então o que é que eu sei? Quando x é -1, a imagem é -2,5, certo? Então eu posso escrever isso do seguinte modo, a imagem é o -1, quando x é -1, a imagem é -2,5, certo? Isto, esta forma de escrever, é mais ou menos parecido com esta tabela. Escrever y igual a -2,5, Silvia, isto na tabela é a mesma coisa, certo? Vocês têm que se habituar, guê de -1 é a imagem de -1, portanto, -1 é um objecto. Qual é a imagem de -1? É -2,5, certo? Ao mesmo tempo na tabela, onde x é -1 e a imagem é 2,5 pode escrever dessa forma, certo? Certo, certo? Então agora, escreve a expressão algébrica do que é esta função. A expres- são algébrica de uma proporcionalidade directa é Y= kx, certo? … sim é proporcionalidade directa, então, se é proporcionalidade directa a expressão algébrica vai ser Y= kx, o que é que eu faço?
Até a penúltima explicação desta parte da aula, as interacções verbais entre Júlia e os alunos, seguiram o padrão IRE, embora a candidata a professora, em diversos momentos, tenha questionado os alunos, em um desses momentos, uma aluna não res- pondeu ao seu questionamento e, em outro, só um aluno ia respondendo. A resposta
Júlia: … eu quero chegar lá. Lucas. Vamos lá outra vez, observe a figura. Diz que vocês observem, um gráfico, eu observo o referencial cartesiano, eixo do x, eixo do y, certo? (Júlia escreve no quadro enquanto fala) eixo dos x é o eixo das abscissas, o eixo dos y é o eixo das ordenadas, certo? Lucas, agora tenho aqui uma recta desenhada neste referencial, certo? …Lucas, esta recta é uma função?
A9: é.
Júlia: por que? A9: porque …
Júlia: … por que quando eu apanho a função, se eu traçar rectas verticais, …o eixo dos x é onde está a variável independente, certo? Essa abscissa, por exemplo, … a função é esta recta. Então qual é a imagem? É esta aqui. Este objecto tem mais do que uma imagem?
deste aluno, antecede a explicação da candidata a professora e altera as características da comunicação entre eles como podemos perceber no Episódio F:
Episódio F
Essa alteração na comunicação oral, entre Júlia e o aluno, ocorre, como vemos, porque este aluno afirmou não compreender a diferença entre as notações usadas para representar a imagem de uma função. A comunicação oral foi usada para compreender a comunicação escrita. A dificuldade do aluno com a comunicação escrita fez Júlia, em sua explicação, sublinhar a necessidade de ter cuidado com as letras que vai usar, para evitar confusão, evitar a incompreensão no uso da comunicação matemática escrita “ela só pode se chamar ou f ou g ou h ou i ou j ou k ou o que eu quiser, n pode ser o que qui- ser. Pode ser n de x, i de x, f de x, só não podemos chamar x de x e y de x, precisamen-
A19: …é o f de não sei quê.
Júlia: o f, é este f aqui que te chateia, não é? Isto é outra forma do y, das imagens. O f de x continua a ser as imagens. Pra ficar y de x, não sabe que é f de função, mas isto é igual a y, certo? Y de x é que não, porque, por esta razão, se tiver f de x, eu digo que a função se chama f. Se eu chamar y vai ser uma confusão, uma função f, tá certo? Isto é o eixo do y, isto é o eixo do x, eu tenho uma fun- ção que se chama y. É uma confusão. Ela não pode se chamar y, ela só pode se chamar ou f ou g ou h ou i ou j ou k ou o que eu quiser, n pode ser o que qui- ser. Pode ser n de x, i de x, f de x, só não podemos chamar x de x e y de x, pre- cisamente, porque essas letras já são usadas no referencial. O eixo chama-se x, o eixo chama-se y e a recta chama-se y também, é uma confusão, tão a perce- ber? … então vamos cá ver. Qual é a imagem do -5 g, Silvia?... é uma propor- cionalidade directa, eu já sei que qualquer imagem vai ser a constante vezes o objecto, certo? Como aquela fórmula do número de pacotes, tínhamos que saber o preço de um pacote, que é constante, vezes o número de pacotes, certo? Então y, que é a variável independente, vai ser igual à constante vezes a variá- vel dependente, que é o próprio x, certo? E aqui que a minha constante, neste caso, é 2,5, certo? E o y é igual a 2,5 vezes x, certo? Mas minha função tem nome, g de x. Eu já sei g de x igual ao y, certo? Eu posso substituir o y por g de x, tá bem? É só um nome. Qual é a imagem de -5 por meio de g? É fácil, g de -5.
A19: mas qual é a diferença, se é o y ou o g? Júlia: não há diferença nenhuma.
A19: … é confuso.
Júlia: … com o tempo deixa de ser confuso. É um nome, certo? É um nome, certo? A19: por que que precisa ser g?
Júlia: porque o g é um nome. Se vocês quiserem achar o g de -5, vocês perguntam qual é a imagem de -5 por meio de g, podemos escrever isso dessa forma, se fosse com y não posso escrever isso. Vocês tem que se habituar a escrever isso, com o tempo se habituam, certo?
te, porque essas letras já são usadas no referencial”. Em sua explicação, fez uma analo- gia com uma situação anterior, que estava na ficha e, mesmo assim, percebemos que o aluno ainda não compreendeu o significado por trás das diferentes notações. Diante da situação exposta, a candidata a professora terminou recorrendo ao “tempo” e à necessi- dade de os alunos “terem de se habituar”, para alcançarem a compreensão.
Com a conclusão da correcção desta questão do livro didáctico, teve início o terceiro e último momento da aula, a parte final, na qual Júlia escreveu no quadro e explicou o que seria o TPC.
Síntese da Segunda Aula
Nesta segunda aula de Júlia, a sua prática de comunicação apresenta a comuni- cação contributiva, com o padrão IRE, nas interacções verbais sobre as diferentes repre- sentações da proporcionalidade directa (por tabela, por expressão algébrica, por gráfi- co). A dificuldade de compreensão das ideias matemáticas apresentadas pelos alunos, mais uma vez, aparece como um factor que influencia a prática de comunicação da can- didata a professora. Nesta aula, esta dificuldade surgiu na compreensão da utilização das diferentes notações usadas para representar a imagem de uma função. Júlia recorreu à comunicação escrita para contribuir na superação da dificuldade do aluno. Diante de um aluno questionador, que não compreendia a representação da imagem de uma função, a candidata a professora explica muito, mas não alcança êxito. Por fim, na busca de ajus- tar a sua prática de comunicação à característica questionadora do aluno, Júlia posterga a compreensão deste, deixando para o “tempo” e para o “hábito” o alcance desta com- preensão.