Propriedade Euleriana em uma L´ogica Modal Graduada

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Nesta se¸c˜ao, definimos uma l´ogica modal graduada que ´e apropriada para as nossas necessidades e a utilizamos para expressar a propriedade euleriana. Esta l´ogica ´e chamada de l´ogica graduada para grafos.

Defini¸c˜ao 5.40. A linguagem da l´ogica graduada para grafos consiste de um con- junto enumer´avel Φ de s´ımbolos proposicionais, os operadores booleanos _{¬ e ∧, a} constante ⊤ e os operadores modais (ou modalidades) ♦i e ♦−1i , para todo i ∈ N.

As f´ormulas s˜ao definidas da seguinte forma:

ϕ ::= p_{| ⊤ | ¬ϕ | ϕ}1∧ ϕ2 | ♦iϕ| ♦−1i ,

onde p_{∈ Φ e i ∈ N.}

As f´ormulas desta l´ogica s˜ao avaliadas nas estruturas e modelos de Kripke usu- ais. Para as defini¸c˜oes apropriadas de satisfazibilidade das f´ormulas desta l´ogica, o cap´ıtulo 2 pode ser consultado. Para tornar a linguagem mais elegante, introduzimos a abrevia¸c˜ao iϕ = ♦iϕ∧ ¬♦i+1ϕ.

A f´ormula ♦iϕ ´e satisfeita em um v´ertice v se existem pelo menos i v´ertices

distintos vk, 1 ≤ k ≤ i, tais que vRvk e ϕ ´e satisfeita em vk. A f´ormula ♦−1i ϕ ´e

satisfeita em um v´ertice v se existem pelo menos i v´ertices distintos vk, 1≤ k ≤ i,

tais que vkRv e ϕ ´e satisfeita em vk. A f´ormula iϕ ´e satisfeita em um v´ertice v se

existem exatamente i v´ertices distintos vk, 1≤ k ≤ i, tais que vRvk e ϕ ´e satisfeita

em vk. A f´ormula −1i ϕ ´e satisfeita em um v´ertice v se existem exatamente i v´ertices

distintos vk, 1≤ k ≤ i, tais que vkRv e ϕ ´e satisfeita em vk.

Conforme estudado no cap´ıtulo 2, temos as seguintes complexidades computaci- onais para a l´ogica graduada para grafos.

Teorema 5.41 ([12]). O problema da satisfazibilidade e o problema da validade para a l´ogica graduada para grafos s˜ao PESPAC¸ O-Completos no comprimento padr˜ao da f´ormula.

Teorema 5.42 ([13]). O problema da verifica¸c˜ao de modelo para a l´ogica graduada para grafos ´e polinomial (linear) no produto do tamanho do modelo e do comprimento n˜ao graduado da f´ormula.

O limite superior para a complexidade do problema da verifica¸c˜ao de estrutura ´e o mesmo da se¸c˜ao 5.2:

F C = O(2|p|×n× MC), (5.4)

onde |p| ´e o n´umero de s´ımbolos proposicionais distintos que ocorrem na f´ormula dada φ e n ´e o n´umero de v´ertices em _F.

Teorema 5.43. O problema da verifica¸c˜ao de estrutura para a l´ogica graduada para grafos ´e polinomial (linear) no comprimento n˜ao graduado da f´ormula e EXP- TEMPO no tamanho da estrutura e no n´umero de s´ımbolos proposicionais distintos que ocorrem na f´ormula.

Demonstra¸c˜ao. Este resultado segue diretamente da discuss˜ao acima.

Seja G um grafo com n v´ertices. N´os usamos a linguagem definida acima para construir uma f´ormula que ´e v´alida se e somente se G ´e euleriano.

Teorema 5.44. Um grafo conexo G (com n v´ertices) ´e euleriano se e somente se G φ, onde φ ´e a f´ormula

φ = _

0≤k≤n

(k⊤ ∧ −1k ⊤)

Vamos agora determinar qu˜ao complexo ´e testar se um grafo ´e euleriano utili- zando a f´ormula φ acima. Primeiramente, temos uma f´ormula com comprimento n˜ao graduado linear no tamanho do grafo. Al´em disso, n˜ao h´a s´ımbolos proposici- onais na f´ormula, o que significa que a valora¸c˜ao ´e completamente irrelevante para a satisfa¸c˜ao desta f´ormula. Seja EU L a complexidade de testar se um grafo ´e eule- riano atrav´es de uma verifica¸c˜ao de estrutura com a f´ormula φ. Ent˜ao, levando em considera¸c˜ao estas observa¸c˜oes e a f´ormula na equa¸c˜ao (5.4), temos que

EU L = M C,

onde, para a f´ormula φ, M C ´e polinomial (de fato, quadr´atica) no tamanho do grafo. Teorema 5.45. A complexidade para verificar se um grafo ´e euleriano utilizando-se a f´ormula φ acima ´e polinomial (quadr´atica) no tamanho do grafo.

Cap´ıtulo 6

L´ogicas Modais H´ıbridas e

Produtos de Grafos

“Vocˆe n˜ao pode se culpar constantemente. Culpe-se uma vez s´o e v´a em frente.” - Homer Simpson

Neste cap´ıtulo, analisamos o problema de como descrever uma condi¸c˜ao ne- cess´aria e suficiente para um grafo ser isomorfo a um produto cartesiano de grafos, conforme definido no cap´ıtulo 3. Analisamos tamb´em como utilizar esta caracte- riza¸c˜ao para obter sistemas axiom´aticos corretos e completos para uma s´erie de produtos de l´ogicas modais.

O conte´udo deste cap´ıtulo tem como base os artigos [38] e [32] (reproduzido no apˆendice B). As provas de todos os resultados apresentados neste cap´ıtulo podem ser consultadas no apˆendice B.

6.1

Introdu¸c˜ao

O objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar algumas quest˜oes relativas a produtos de grafos e produtos de l´ogicas modais. Em particular, queremos definir uma condi¸c˜ao que seja necess´aria e suficiente para um grafo ser um produto n˜ao trivial de outros grafos e utilizar esta caracteriza¸c˜ao para construir sistemas axiom´aticos corretos e completos para produtos de l´ogicas modais. Estamos especialmente interessados em produtos de l´ogicas modais com dimens˜ao maior do que dois, pois existem poucos resultados a respeito deles na literatura [5].

Ent˜ao, nossa primeira tarefa neste cap´ıtulo ´e encontrar uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para um grafo ser isomorfo a um produto cartesiano de grafos n˜ao triviais e verificar se esta condi¸c˜ao pode ser expressa em uma linguagem modal ou em uma linguagem h´ıbrida.

Em [4] e [5], trˆes propriedades que s˜ao satisfeitas em grafos que s˜ao produtos s˜ao apresentadas: comutatividade `a esquerda, comutatividade `a direita e a propriedade de Church-Rosser. No entanto, apesar destas propriedades, em conjunto com a propriedade de Church-Rosser reversa, serem necess´arias para que um grafo seja um produto, elas n˜ao s˜ao suficientes (como ilustrado em um exemplo em [4]). Existem grafos que satisfazem estas quatro propriedades, mas n˜ao podem ser decompostos como produto de outros grafos.

Neste cap´ıtulo, introduzimos uma nova propriedade chamada intransitividade que, junto com as propriedades acima, forma uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para um grafo enumer´avel e (fracamente) conexo ser um produto. A prova da neces- sidade destas propriedades ´e simples e ´e realizada diretamente, sem a necessidade de assumir que o grafo ´e enumer´avel ou conexo. Por outro lado, a prova da suficiˆencia ´e feita em duas etapas. Primeiramente, provamos que se um grafo enumer´avel e conexo satisfaz as cinco propriedades mencionadas acima, ent˜ao seus componentes precisam satisfazer um isomorfismo particular. Em seguida, mostramos que se um grafo enumer´avel e conexo satisfaz intransitividade e seus componentes satisfazem este isomorfismo particular, ent˜ao o grafo ´e um produto.

Os limites do poder expressivo de linguagens modais b´asicas s˜ao bem conhecidos. Existem uma s´erie de resultados que garantem que estruturas que s˜ao “similares” de algumas maneiras precisam validar as mesmas f´ormulas (alguns destes resulta- dos s˜ao apresentados no cap´ıtulo 2) [10]. Utilizando estes resultados, mostramos que a propriedade de intransitividade n˜ao pode ser expressa na linguagem modal b´asica. De fato, tamb´em mostramos que que nenhuma condi¸c˜ao que seja necess´aria e suficiente para um grafo ser um produto pode ser expressa na linguagem modal b´asica.

L´ogicas h´ıbridas s˜ao extens˜oes de l´ogicas modais que permitem referˆencias expl´ıcitas a estados individuais de um modelo. Al´em dos s´ımbolos proposicionais, elas possuem um segundo conjunto de f´ormulas atˆomicas, chamadas nominais, que

tem a propriedade de serem satisfeitas em exatamente um estado do modelo (para mais detalhes, consulte o cap´ıtulo 2 e as referˆencias [14] e [15]). Utilizando uma linguagem h´ıbrida, somos capazes de construir uma f´ormula que descreve intransi- tividade.

Prosseguimos ent˜ao determinando a complexidade computacional de testar, para um grafo finito e conexo, se ele ´e um produto. Para este teste, utilizamos um algo- ritmo de verifica¸c˜ao de modelo para verificar as f´ormulas que descrevem cada uma das cinco propriedades que caracterizam um produto: comutatividade `a esquerda e `a direita, propriedades de Church-Rosser e de Church-Rosser reversa e intransitivi- dade.

Finalmente, usamos esta caracteriza¸c˜ao de produtos conexos e enumer´aveis para construir sistemas axiom´aticos corretos e completos para uma classe grande de pro- dutos de l´ogicas modais.

Produtos de grafos surgem naturalmente como uma poss´ıvel extens˜ao da semˆantica de Kripke tradicional para l´ogicas modais multidimensionais. [4] apre- senta uma ampla discuss˜ao de l´ogicas modais multidimensionais e fornece muitos exemplos de produtos de l´ogicas modais, onde a semˆantica ´e constru´ıda utilizando- se produtos de grafos. A maior parte dos sistemas axiom´aticos corretos e completos para produtos de l´ogicas modais apresentados na literatura s˜ao para produtos de um par de l´ogicas modais, enquanto que somos capazes, utilizando l´ogica h´ıbrida, de apresentar axiomatiza¸c˜oes corretas e completas para muitos produtos de l´ogicas modais de dimens˜oes arbitr´arias.

O restante deste cap´ıtulo ´e organizado da seguinte maneira. Na se¸c˜ao 6.2, intro- duzimos uma nova propriedade de grafos chamada intransitividade. Na se¸c˜ao 6.3, apresentamos o conceito de decomposi¸c˜ao de grafos e o utilizamos para provar que as cinco propriedades mencionadas acima formam uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para um grafo conexo e enumer´avel ser um produto. A se¸c˜ao 6.4 mostra que intran- sitividade n˜ao pode ser expressa em uma linguagem modal b´asica e que nenhuma condi¸c˜ao que seja necess´aria e suficiente para um grafo ser um produto pode ser expressa em uma linguagem modal b´asica. Na se¸c˜ao 6.5, estendemos a linguagem modal da se¸c˜ao anterior para uma linguagem h´ıbrida e mostramos que intransiti- vidade pode ser expressa por uma f´ormula h´ıbrida. Na se¸c˜ao 6.6, determinamos

a complexidade computacional de testar, atrav´es de um algoritmo de verifica¸c˜ao de modelo, se um grafo finito e conexo ´e um produto. Na se¸c˜ao 6.7, apresenta- mos a no¸c˜ao de produto de l´ogicas modais e, utilizando uma linguagem h´ıbrida, constru´ımos sistemas axiom´aticos corretos e completos para uma grande classe de produtos de l´ogicas modais.