Propriedade noetheriana

SejamRum anel associativo com identidade e M umR-módulo à esquerda. Dizemos que:

i) M é R-módulo noetheriano à esquerda, se toda cadeia ascendente de R-submódulos à esquerda deM estabiliza, isto é, se para toda cadeia M₁⊆M₂⊆M₃⊆. . . deR-submódulos à esquerda de M, existen∈N, tal queM_i =M_n, para todoi≥n;

ii) Réanel noetheriano à esquerda, seRvisto comoR-módulo à esquerda for umR-módulo noetheriano à esquerda.

Em particular, como uma álgebra associativa com identidade pode ser vista como um anel as-sociativo com identidade, então dizemos que uma tal álgebra Aé uma álgebra noetheriana à esquerda, seAé um anel noetheriano à esquerda. De maneira semelhante, define-se uma álge-bra noetheriana à direita.

Proposição 2.6.1. SejamRum anel associativo com identidade,M umR-módulo à esquerda eN um R-submódulo à esquerda de M. Então M é R-módulo noetheriano à esquerda se, e somente se,N e MN sãoR-módulos noetherianos à esquerda.

Demonstração. Suponha que M é um R-módulo noetheriano à esquerda. Então N é um R-módulo noetheriano à esquerda, pois toda cadeia ascendente deR-submódulos à esquerda de N é, em particular, cadeia ascendente deR-submódulos à esquerda deM, portanto estabiliza. Sejam U₁ ⊆U₂ ⊆ · · · uma cadeia ascendente deR-submódulos à esquerda de M

N e ϕ : M → M N, a projeção m7→ m+N. Defina M_i :=ϕ⁻¹(U_i). Assim, temos que M₁ ⊆ M₂ ⊆ · · ·. Como M é um R-módulo noetheriano à esquerda, então existe n∈ N tal que M_i = M_n, para todo i ≥ n. Daí, U_i =U_n, para todo i ≥n. Reciprocamente, suponha que N e MN são R-módulo noetheriano à esquerda e seja M₁⊆M₂⊆ · · · uma cadeia ascendente deR-submódulos á esquerda de M. Dessa

cadeia obtemos as cadeiasϕ(M₁)⊆ϕ(M₂)⊆ · · · emMN e M₁∩N ⊆M₂∩N⊆ · · · emN. Então, existemn₁ ∈Nen₂∈Ntais queϕ(M_i) =ϕ(M_n

1), para todoi≥n₁, eM_j∩N=M_n

2∩N, para todo j≥n₂. Seja nigual ao máximo entren₁ en₂. Vamos mostrar que M_i=M_n, para todoi≥n. Seja m∈M_i. Então, comoϕ(M_i) =ϕ(M_n), existem⁰∈M_ntal queϕ(m) =ϕ(m⁰), ou seja,m−m⁰∈N. Uma vez que ϕ(m) ∈ ϕ(M_i) = ϕ(M_n), então m−m⁰ ∈ M_n∩N. Daí, m−m⁰ = n ∈ M_n∩N, logo, m=n+m⁰∈M_n, ou seja, M_i ⊆M_n, para todo i≥n. Logo, como pela definição da cadeia ascendenteM_n⊆M_i, obtemos M_i =M_n, para todo i≥n. ‚ Proposição 2.6.2. SejamR um anel associativo com identidade e M um R-módulo noetheriano à esquerda. Então Mⁿ:=M × · · · ×M

| {z }

nvezes

também umR-módulo noetheriano à esquerda.

Demonstração. Note queM é umR-submódulo à esquerda deM×M e queM ×MM é isomorfo aoR-móduloM. Portanto, pela Proposição 2.6.1,M×M é umR-módulo noetheriano à esquerda.

Por indução, concluímos a demonstração. ‚

Dizemos que um R-módulo à esquerda M é um R-módulo à esquerda finitamente gerado, se existemm₁, . . . ,m_n ∈M tais queM ={r₁m₁+· · ·+r_nm_n |r_i ∈R,m_i ∈M}. Usamos a notação Rm₁+· · ·+Rm_n para denotar oR-módulo à esquerda gerado porm₁, . . . ,m_n.

Proposição 2.6.3. SejamR um anel associativo com identidade e M um R-módulo à esquerda.

Então M é umR-módulo noetheriano à esquerda se, e somente se, todoR-submódulo à esquerda de M é finitamente gerado.

Demonstração. SejamM umR-módulo noetheriano à esquerda eSumR-submódulo à esquerda de M. Suponha que S não é finitamente gerado. Então S 6= Rm₁, para todo m₁ ∈ S. Assim, existe m₂ ∈S\ {m₁}. Daí, novamente por S não ser finitamente gerado, temos queS 6=Rm₁+ Rm₂. Seguindo esse raciocínio, concluímos que existe uma cadeia ascendente deR-submódulos à esquerda deM,Rm₁ (Rm₁+Rm₂ (Rm₁+Rm₂+Rm₃(· · ·, que não estabiliza. Absurdo, pois M um R-módulo noetheriano à esquerda. Logo, todoR-submódulo à esquerda de M é finitamente gerado. Reciprocamente, suponha que todoR-submódulo à esquerda deM é finitamente gerado.

Seja M₁ ⊆ M₂ ⊆ M₃ ⊆ . . . uma cadeia ascendente de R-submódulos à esquerda de M. Então N := ∪_i∈NM_i é um R-submódulo à esquerda de M, logo, existem m₁, . . . ,m_k ∈ M tal que N = Rm₁+· · ·+Rm_k. Portanto, como N =∪_i∈NM_i, então existe n∈ Ntal que m_j ∈ M_n, para todo j=1, . . . ,k, ou seja,N ⊆M_n. Uma vez que, pela definição deN,M_n ⊆N, entãoN =M_n, portanto

M_i=M_n, para todoi≥n. ‚

Seja Rum anel associativo com identidade. Uma vez que um ideal à esquerda deR é equiva-lente a umR-submódulo à esquerda deR, então, da Proposição 2.6.3, concluímos que seAé uma álgebra associativa com identidade, entãoAé uma álgebra noetheriana à esquerda se, e somente se, todo ideal à esquerda deAé finitamente gerado.

Proposição 2.6.4. SejamRanel noetheriano à esquerda eM umR-módulo à esquerda. EntãoM é umR-módulo noetheriano à esquerda se, e somente se, M é finitamente gerado. Em particular, se M é finitamente gerado eN ⊆M é R-submódulo à esquerda, entãoN é finitamente gerado.

Demonstração. Se M é um R-módulo noetheriano à esquerda, então, pela Proposição 2.6.3, temos queM é finitamente gerado, poisM é umR-submódulo à esquerda deM. Reciprocamente, suponha que M é finitamente gerado, isto é, que existem m₁, . . . ,m_k ∈ M tais que M =Rm₁+

· · ·+Rm_k. Pela Proposição 2.6.2,R^ké umR-módulo noetheriano à esquerda. Definaϕ :R^k→M, (r₁, . . . ,r_k)7→Pk

i=1r_im_i. ComoM =Rm₁+· · ·+Rm_k, entãoϕé sobrejetiva, logoM é isomorfo ao R-módulo quocienteR^k

ker(ϕ). Uma vez queR^k é umR-módulo noetheriano à esquerda, então, pela proposição 2.6.1, R^k

ker(ϕ)é também um R-módulo noetheriano à esquerda, ou seja, M é umR-módulo noetheriano à esquerda. Em particular, seM é finitamente gerado, então, acabamos de mostrar que, M é umR-módulo noetheriano à esquerda, logo, pela Proposição 2.6.3, todo

R-submódulo à esquerda é finitamente gerado. ‚

Teorema 2.6.5 (Teorema da Base de Hilbert). Seja K um corpo. Então o anel de polinômios nas variáveis x₁, . . . ,x_n, K[x₁, . . . ,x_n], é um anel noetheriano. Em particular, todo ideal de K[x₁, . . . ,x_n]é finitamente gerado.

Demonstração. Ver (Kem11), página 40, Corolário 2.13. ‚ Teorema 2.6.6. A álgebra U(g)é noetheriana tanto à esquerda quanto à direita.

Demonstração. Supondo que U(g) é noetheriano à esquerda conseguimos concluir que U(g)é noetheriano à direita. De fato, considere a anti-involução ψ : U(g) → U(g), vista no Exemplo 2.1.1 item (c), e tome uma cadeia de ideais à direita deU(g), I₁⊆I₂⊆ · · ·. Comoψé uma anti-involução, a cadeiaψ(I₁)⊆ψ(I₂)⊆ · · · é composta por ideais à esquerda deU(g). Uma vez que U(g)é noetheriano à esquerda, existeN ∈Ntal queψ(I_j) =ψ(I_N), para todo j≥N. Aplicando ψnessa igualdade, obtemos queI_j=I_N, para todo j≥N. Portanto,U(g)é noetheriano à direita.

Além disso, pelo parágrafo imediatamente depois da Proposição 2.6.3, basta mostrarmos que todo ideal à esquerda deU(g)é finitamente gerado. SejaI um ideal à esquerda deU(g). Sabemos que U(g) =L

s∈Z

U(g)2s e que cada U(g)2s é um U(g)0-módulo livre à direita com base{e^s}, se s≥0 e {f^|s|}, ses <0. Então, dado u∈ U(g), temos que u=P

s∈Zu_s, comu_s =

¨ e^sv_s, s≥0

f^|s|v_s, s<0 , onde v_s ∈U(g)0 é diferente de zero somente para uma quantidade finita de termos. Parau6=0, defina d₊(u)ed₋(u)como sendo, respectivamente, o máximo e o mínimospossível tal quev_s6=0. Defina também k₊(u):=v_d+(u)e k₋(u):=v_d

−(u). Para cadai∈N0, sejamJ_i :={k₊(u)|u∈I,d₊(u) =i}e J_i⁰:={k₋(u)|u∈I,d₋(u) =−i}.

Afirmação: para qualquer i∈N, os conjuntos J_i e J_i⁰são ideais à esquerda da álgebra U(g)0. Vamos mostrar esse fato para J_i. A demonstração para J_i⁰ é análoga. Seja v∈J_i e tomeu∈I tal que d₊(u) =i e k₊(u) =v. Seja g(h,c)∈U(g)0 =C[h,c]. Vamos mostrar que g(h−2i,c)u∈I, d₊(g(h−2i,c)u) =i ek₊(g(h−2i,c)u) = g(h,c)v, concluindo, portanto, que g(h,c)v∈J_i. Uma vez que I é um ideal à esquerda deU(g)e g(h−2i,c)∈U(g)0 ⊆U(g), então g(h−2i,c)u∈I. Seja u_i = eⁱv. Como c ∈ Z₍g) e eⁱh = (h−2i)eⁱ, então g(h−2i,c)u_i = eⁱg(h,c)v_i, ou seja, d₊(g(h−2i,c)u) =i e k₊(g(h−2i,c)u) =g(h,c)v_i. Portanto,J_i é ideal à esquerda deU(g)0.

Seja k₊(u) ∈ J_i. Então d₊(u) = i, ou seja, u_i = eⁱk₊(u). Note que eu_i = eⁱ⁺¹k₊(u). As-sim, d₊(eu) = i+1 e k₊(eu) = k₊(u). Logo, k₊(u) ∈ J_i+1. Daí, concluímos que J₁ ⊆ J₂ ⊆

· · ·. Analogamente, prova-se que J₁⁰ ⊆ J₂⁰ ⊆ · · ·. Como J_i e J_i⁰ são ideais de U(g)0 = C[h,c], Observação 2.6.7. A seguir, vamos fazer algumas observações sobre a validade dos principais resultados desse capítulo em contextos mais gerais do que o tratado nessa dissertação.

(a) O fato que as categorias de módulos sobre uma álgebra de Lie e sobre sua álgebra universal envelopante são categorias isomorfas (Teorema 2.1.4) é válido para qualquer álgebra de Lie. A construção da álgebra universal envelopante de uma álgebra de Lie qualquer é feita de forma análoga e a demonstração de que as duas categorias são isomorfas é essencialmente a mesma do casosl₂(C).

(b) O Teorema de PBW (Teorema 2.2.4) é válido para uma álgebra de Lie arbitrária (ver Seção 17.3 de (Hum78) ou Teorema 9.4 de (Car05)).

(c) Vimos que a álgebra universal envelopante desl₂(C)não possui divisores de zero (Corolário 2.3.4). Tal fato é válido para qualquer álgebra de Lie (ver Corolário 9.8 de (Car05)).

(d) Pelo Teorema 2.6.6, sabemos que a álgebra universal envelopante desl₂(C)é noetheriana tanto à esquerda quanto à direita. Essa propriedade continua sendo válida para qualquer álge-bra de Lie de dimensão finita (ver Corolário 1.7.4 de (MR01)). Ressaltamos, contudo, que esse teorema falha se considerarmos álgebras de Lie de dimensão infinita (ver (SW14)). ƒ

Capítulo 3

sl ₂ ( C ) -módulos de peso

3.1 Módulos de peso

Dizemos que umg-móduloV é ummódulo de peso, seV = L

λ∈CV_λ, onde, conforme definido na Seção 1.2,V_λ={v∈V | H(v) =λv}, para todoλ∈C. Observe que a ação dehsobre um módulo de peso é diagonalizável. Chamamos o número λ de peso e o espaço V_λ de espaço de peso.

Denotamos porW a subcategoria da categoria g-Mod consistindo de todos os módulos de peso tais que para qualquer V,W ∈ W, temos que Hom_W(V,W) = Hom_g(V,W). Definimos também, para todog-módulo de pesoV, osuporte de Vcomo sendo supp(V):={λ∈C|V_λ 6={0}}. SeV é um módulo de peso eλ∈supp(V), então qualquer vetor emV_λé chamado de umvetor de peso λ. Além disso, se λ é tal que λ+26∈supp(V), então o peso λ é ditopeso máximoe qualquer vetor não nulo emV_λ é ditovetor de peso máximo. Umg-módulo gerado por um vetor de peso máximo é chamado de módulo de peso máximo. Analogamente, define-se peso mínimo um λ∈suppV tal queλ−26∈supp(V);vetor de peso mínimoqualquer vetor emV_λ; emódulo de peso mínimoumg-módulo gerado por um vetor de peso mínimo.

Exemplo 3.1.1.

(a) Dadon∈N, considere og-móduloV⁽ⁿ⁾. Como visto na Seção 1.2, V⁽ⁿ⁾=〈v₀, . . . ,v_n−1〉_C=

n−1

L

i=0〈v_i〉_C, onde as ações de E, F e H podem ser vistas no diagrama (1.5). Em particular, H age sobre v_i pela multiplicação da constante n−1−2i, quer dizer, H(v_i) = (n−1−2i)v_i. Assim,

〈v_i〉_C ⊆ V_n⁽ⁿ⁾_−1−2i. Seja v ∈ V_n⁽ⁿ⁾_−1−2i. Então H(v) = (n−1−2i)v. Uma vez que v ∈ V⁽ⁿ⁾, então existemλj∈Ctais que v=P_n−1

j=0λjv_j. Daí

n−1

X

j=0

λj(n−1−2j)v_j=H

n−1

X

j=0

λjv_j

=H(v) = (n−1−2i)v=

n−1

X

j=0

λj(n−1−2i)v_j,

ou seja,P_n−1

j=02λj(i−j)v_j =0. Como v₀, . . . ,v_n−1 são linearmente independentes, entãoλj =0, se i6= j. Portanto, v∈ 〈v_i〉_C, isto é,V_n⁽ⁿ⁾_−1−2i ⊆ 〈v_i〉_C. Assim, temos queV⁽ⁿ⁾=ⁿ⁻¹L

i=0

V_n⁽ⁿ⁾_−1−2i, ou seja, V⁽ⁿ⁾∈W. Observe que supp(V⁽ⁿ⁾) ={1−n, 3−n, . . . ,n−3,n−1}. Logo, n−1 é o peso máximo

e v₀ é o vetor de peso máximo. Uma vez que V⁽ⁿ⁾ = U(g)v₀, então V⁽ⁿ⁾ é um módulo de peso recíproca se demonstra analogamente. Logo, (V_ν⊗

C

Corolário 3.1.3. SejamV ∈W,λ∈Cei∈Z. EntãoU(g)2iV_λ⊆V_λ+2i.

Demonstração. Basta mostrar que a ação de um elemento da base deU(g)2i em umV_λpertence a V_λ+2i. Assim, sejam fⁱh^je²ⁱ um elemento da base de U(g)2i e v ∈ V_λ. Então, usando o Lema 3.1.2, temos que

e²ⁱ·v∈V_λ+4i ⇒ h^je²ⁱ·v∈V_λ+4i ⇒ fⁱh^je²ⁱ·v∈V_λ+2i. ‚ Levando em conta a estrutura de grupo abeliano de C, considere a classe lateralC2Z. Dado V ∈Weξ∈C2Z, definaV^ξ:=L

λ∈ξV_λ e denote porW^ξa subcategoria plena de Wconsistindo de todos osg-módulosV tais que supp(V)⊆ξ. Considere a categoria L

W^ξ é uma subcategoria plena deW.

Corolário 3.1.4. são os mesmos, então podemos construir o funtor F :W→ L

ξ∈C2Z

W^ξ→ W, que envia objetos e morfismos neles próprios.

Note que F e G são funtores inversos um do outro e portanto as categorias L

ξ∈C2Z

Demonstração. Seja que, para todo a ∈a, considerandoA o operador linear correspondente à a, onde o subescrito indica o espaço, temos que

(a) g-submódulo de um módulo de peso é um módulo de peso.

(b) Quociente de um módulo de peso é um módulo de peso.

(c) Soma de direta de módulos de peso é um módulo de peso.

(d) Produto tensorial finito módulos de peso é um módulo de peso.

Demonstração.

Denotando L

Demonstração. Pelo Exemplo 3.1.1, item (b) temos que ϕ|V_λ : V_λ → W_λ e que ψ|W_λ : W_λ → U_λ, para todo λ ∈ C. Assim, fixado λ, precisamos mostrar que ϕ|V_λ é monomorfismo, ψ|W_λ é epimorfismo e ker(ψ|W_λ) =im(ϕ|V_λ), pois, dessa forma, concluiremos que 0→ V_λ −−→^ϕ|Vλ W_λ −−→^ψ|Wλ U_λ→0 é uma sequência exata curta.

- ϕ|V_λ é monomorfismo: esse fato segue deϕ ser monomorfismo.

- ψ|W_λ é epimorfismo: comoψé epimorfismo, então M

λ∈C

U_λ=U =ψ(W) =M

λ∈C

ψ(W_λ),

mas, já sabemos queψ(W_λ)⊆U_λ. Logo, ψ(W_λ) =U_λ.

- ker(ψ|W_λ) =im(ϕ|V_λ): sabemos da Proposição 1.1.4, que o ker(ψ)é umg-submódulo de W, portanto, um módulo de peso. Assim, L

λ∈Cker(ψ)_λ = ker(ψ) = ϕ(V) = L

λ∈Cϕ(V_λ). Como ϕ(V_µ) ⊆ W_µ, para todo µ ∈ C, concluímos que ker(ψ)_λ = ϕ(V_λ), ou seja, im(ϕ|V_λ) = ϕ(V_λ) = ker(ψ)_λ=ker(ψ)∩W_λ=ker(ψ|W_λ).

Portanto, 0→ V_λ −−→^ϕ|Vλ W_λ −−→^ψ|Wλ U_λ →0 é uma sequência exata curta. Vamos mostrar, agora, que W_λ∼=

h V_λ⊕U_λ. Para isso, observe que porϕ|V_λ ser injetiva, temos queV_λ∼=

C im(ϕ|V_λ) =ker(ψ|W_λ).

Além disso, uma vez queψ|W_λé sobrejetiva, entãoW_λker(ψ|W_λ)∼=

C

U_λ. Daí, temos queW_λV_λ∼=

C

U_λ. Assim, como W_λ ∼=

C

V_λ ⊕W_λV_λ, concluímos que W_λ ∼=

C

V_λ ⊕U_λ. Seja ζ : W_λ → V_λ ⊕U_λ o isomorfismo de espaços vetoriais onde w 7→ v_w+u_w. Então ζ(h·w) = ζ(λw) = λζ(w) = λ(v_w+u_w) =h·(v_w+u_w) =h·ζ(w). Portanto,W_λ∼=

h V_λ⊕U_λ. ‚

Proposição 3.1.9. Um g-módulo gerado por vetores de peso é um módulo de peso.

Demonstração. Seja V um g-módulo gerado por vetores de peso v₁, . . . ,v_n, quer dizer, V = U(g)v₁ +· · ·+U(g)v_n. Assim, é suficiente mostrar que V = U(g)v ∈ W, onde v é um vetor de pesoµ, isto é, basta mostrar queU(g)v= L

λ∈C(U(g)v)_λ. Uma vez que(U(g)v)_λ⊆U(g)v, para todoλ∈C, então L

λ∈C(U(g)v)_λ⊆U(g)v. Sejax ∈U(g)v. Então x=u·v, ondeu∈U(g). Como os monômios padrões geramU(g)(Teorema 2.2.4), temos queuse escreve como soma de elementos da formafⁱh^je^k, comi,j,k∈N0. Daí, basta mostrar quefⁱh^je^k·v∈(U(g)v)_λ, para algumλ∈C. Assim,

H(fⁱh^je^k·v) =hfⁱh^je^k·v=fⁱh^je^kh·v+ [h,fⁱh^je^k]·v=µfⁱh^je^k·v+ [h,fⁱh^je^k]·v=

Lema 2.4.2

=µfⁱh^je^k·v+2(k−i)fⁱh^je^k·v= (µ+2(k−i))fⁱh^je^k·v,

ou seja,fⁱh^je^k·v∈(U(g)v)_µ+2(k−i). ‚