Propriedades da Transformada Z

∞ X n=0 znfn afn+ bgn ⇐⇒ aF (z) + bG(z) gn= anfn ⇐⇒ G(z) = F (az) gn= fn−k, n ≥ k, k > 0 ⇐⇒ G(z) = zkF (z) gn= nfn ⇐⇒ G(z) = z d dzF (z) gn= n X k=0 fk, n = 0, 1, 2, ... ⇐⇒ G(z) = F (z) 1 − z fn⊛ gn (convolu¸c˜ao) = ∞ X k=0 f_n−kgk ⇐⇒ F (z)G(z)

T eorema do valor inicial F (0) = f0

T eorema do valor intermedi´ario 1 n!

dn_{F (z)}

dsn |z=0= fn

T eorema do valor f inal lim

z→1(1 − z)F (z) = f∞

Provas de algumas propriedades:

gn= anfn ⇐⇒ G(z) = ∞ X n=k znanfn= ∞ X n=k (az)nfn= F (az) gn = fn−k, n ≥ k, k > 0 ⇐⇒ G(z) = ∞ X n=k zngn = zk ∞ X n=k zn−k_f n−k = zk ∞ X j=0 zj_f j = zkF (z) gn= nfn ⇐⇒ G(z) = ∞ X n=0 znnfn = z ∞ X n=0 nzn−1fn= z d dz ∞ X n=0 znfn = z d dzF (z)

14.2.3 Pares de Transformadas Z fn, n = 0, 1, 2, ... ⇐⇒ F (z) = ∞ X n=0 zn_f n 1, n = 0, 1, 2, ... ⇐⇒ F (z) = 1 1 − z Aαn _⇐⇒ A 1 − αz nαn _⇐⇒ αz (1 − αz)2 n ⇐⇒ z (1 − z)2 n2αn _⇐⇒ (αz)(1 + αz) (1 − αz)3 (n + 1)αn _⇐⇒ 1 (1 − αz)2 (n + 1) ⇐⇒ 1 (1 − z)2 αn n! ⇐⇒ e αz

15

Teoria de Filas

15.1

Introdu¸c˜ao

Uma fila ´e caracterizada por:

• Processo de chegada dos fregueses `a fila

• Tempo de servi¸co dedicado pelo servidor a cada freguˆes • N´umero de servidores

• Espa¸co dispon´ıvel para espera na fila • Pol´ıtica de atendimento da fila

Em geral a fila ´e representada por uma abreviatura:

[processo de chegada]/[tipo de servi¸co]/[n´umero de servidores]/[espa¸co na fila].

Caso o espa¸co seja finito, fregueses que chegam e n˜ao encontram lugar na fila de espera s˜ao perdidos. Se o espa¸co for infinito, n˜ao h´a perda de fregueses. O espa¸co infinito n˜ao precisa ser indicado e ´e o default.

O processo de chegada ´e caracterizado pela distribui¸c˜ao do tempo entre chegadas. Por exemplo:

• Determin´ıstico ou Tempo entre Chegadas Fixo (D)

Supondo que uma chegada a cada 10 s, ent˜ao a taxa m´edia de chegada λ ´e igual a ₁₀1 (chegadas/s) = 0,1 (chegadas/s).

• Exponencial (M)

A letra M vem de Markov e indica que o processo de chegada ´e Poisson. O processo Poisson ´e ´e um caso particular de um Processo de Markov, com tempo entre chegadas exponencialmente distribu´ıdo.

• Geral, apresentando uma distribui¸c˜ao qualquer (G)

O tempo gasto no servidor depende da distribui¸c˜ao de servi¸co. Assim, o servi¸co pode ser fixo ou determin´ıstico (D), como pode ter uma distribui¸c˜ao exponencial (M) ou geral (G). Assim, um sistema M/G/1/K seria uma fila com processo de chegada Poisson, servi¸co qualquer, um ´

unico servidor e espa¸co limitado para K pessoas, incluindo a fila de espera e o servidor. Se a disciplina de atendimento n˜ao for explicitada, assume-se que seja FCFS.

0

Dois resultados s˜ao extremamente importantes para a an´alise das filas. O primeiro deles ´e o Resultado de Little, que se aplica a um sistema qualquer em equil´ıbrio, no qual chegadas e partidas ocorrem a uma taxa m´edia λ(f regueses_s ). O sistema estando em equil´ıbrio significa que o n´umero m´edio de pessoas no sistema N ´e finito, que a taxa m´edia de sa´ıda ´e igual `a taxa m´edia de entrada e tamb´em que o tempo m´edio T gasto dentro do sistema ´e finito. A

λ(f regueses_{segundo ) ⇒} N fregueses _{⇒ λ(}f regueses_segundo )

express˜ao conhecida como Resultado de Little (Little’s Result) afirma que:

E[N] = λE[T ].

O segundo resultado aplica-se a processos de chegada Poisson e afirma que o instante de chegada de um processo Poisson corresponde a uma amostragem aleat´oria, indicando que uma chegada Poisson encontra o sistema em um estado que ´e a m´edia no tempo. Esta pro- priedade ´e conhecida pelo acrˆonimo PASTA, do inglˆes Poisson Arrivals See Time Averages .

15.2

A fila M/M/1

A primeira letra M caracteriza o processo de chegada, que ´e Poisson. A segunda letra M caracteriza o processo de servi¸co que tem distribui¸c˜ao exponencial. O n´umero 1 indica que temos somente um servidor. Assumiremos o seguinte:

• Processo de chegada Poisson, com tempo entre chegadas exponencialmente distribu´ıdo com taxa λ.

• A fun¸c˜ao densidade de probabilidade do tempo de servi¸co de um servidor exponencial dada por bX(x) = µe−µx, x ≥ 0, onde X ´e a vari´avel aleat´oria que representa o servi¸co

de um freguˆes gen´erico.

O tempo m´edio de servi¸co ´e ent˜ao dado por E[X] = X = 1/µ.

Seja W a vari´avel aleat´oria que representa o tempo gasto na fila de espera. Seja T = W + X a vari´avel aleat´oria que representa o tempo gasto na fila. Seja Nq o n´umero de pessoas na

fila de espera. Seja N o n´umero de pessoas na fila. As m´etricas de interesse s˜ao:

• E[W ] = tempo m´edio gasto na fila de espera • E[Nq] = tamanho m´edio da fila de espera

• E[T ] = E[W ] + E[X] = tempo m´edio gasto na fila • E[N] = n´umero m´edio de pessoas na fila

Para obter a correla¸c˜ao entre as m´etricas acima, aplica-se o Resultado de Little `a fila como um todo, `a fila de espera e ao servidor.

• Considerando a fila completa: N = λT = λ(W + X) = λW + λX. • Considerando apenas a fila de espera: Nq= λW .

• Considerando apenas o servidor: Ns= λX.

e pode-se escrever que N = Nq+ λX.

A grandeza λX = λ/µ ´e chamada ρ e representa a utiliza¸c˜ao do sistema. Observe que:

P{ sistema est´a ocupado} = P{ pelo menos uma pessoa no sistema} = _{P{ servidor ocupado }}

= % do tempo que o servidor est´a ocupado

= ρ

P{ sistema est´a vazio} = % do tempo que o servidor est´a vazio = _{1 − ρ.}

Podemos ent˜ao afirmar que um freguˆes gen´erico encontrar´a a fila ocupada com probabi- lidade ρ, e com probabilidade 1 − ρ encontrar´a a fila vazia. Vale lembrar que a fila passa por estados alternados de ociosidade e ocupa¸c˜ao, e uma amostragem aleat´oria cai num intervalo ocupado com probabilidade ρ e num intervalo vazio com probabilidade 1 − ρ.

Como calcular E[W ] para a fila M/M/1?

Assuma um freguˆes gen´erico chegando na fila. O seu tempo m´edio de espera W ser´a o tempo m´edio para servir os fregueses que s˜ao encontrados em espera na fila (chegaram antes dele e s˜ao servidos na ordem de chegada, com um servi¸co m´edio igual a X) mais o tempo m´edio para terminar o servi¸co (servi¸co residual de um servidor exponencial) do freguˆes even- tualmente encontrado em servi¸co (com probabilidade ρ). Assim:

W = Nq X + ρX = λW X + ρX = ρW + ρX = ρX 1 − ρ Consequentemente: T = W + X = X 1 − ρ = 1 µ − λ, e N = λT (por Little) = λ µ − λ = ρ 1 − ρ

*

Aplica¸c˜ao: Modelando um canal de comunica¸c˜ao de capacidade C bps

Suponha pacotes de dados de tamanho exponencial, com tamanho m´edio igual a 1/µ bits. O tempo m´edio de transmiss˜ao de um pacote (que pode ser encarado como um tempo de servi¸co) ser´a dado por 1/µ_C = _µC1 .

Modelando o canal como uma fila M/M/1, obtemos T = _µC−λ1 , com ρ = _µCλ .

Esta modelagem usando M/M/1 ´e baseada na suposi¸c˜ao de independˆencia defendida por Kleinrock [1964] para redes de comunica¸c˜ao. Num n´o, os pacotes considerados para transmiss˜ao num determinado canal de comunica¸c˜ao podem ser pacotes locais originados de aplica¸c˜oes no pr´oprio n´o ou serem pacotes em trˆansito pelo n´o e oriundos de n´os vizinhos. A an´alise matem´atica exata de um sistema complexo em que pacotes de diferentes tamanhos circulam por uma rede de comunica¸c˜ao ´e, em muitos casos, intrat´avel. Para que haja trata- bilidade nos sistemas de comunica¸c˜ao de dados e simplicidade das express˜oes matem´aticas, o princ´ıpio da independˆencia assume que o pacote perde a sua identidade ao se propagar pela rede de comunica¸c˜ao, e que um novo tamanho ´e escolhido em cada n´o intermedi´ario (nor- malmente segundo uma distribui¸c˜ao exponencial) para efeito de modelagem. Esta suposi¸c˜ao de independˆencia foi validada atrav´es de simula¸c˜oes e medidas feitas em sistemas reais tˆem demonstrado a efic´acia da aproxima¸c˜ao.

*

Exerc´ıcio: Concentrador de Comunica¸c˜ao

Suponha um n´o concentrador que recebe 4 fluxos Poisson de 4800 bps com taxa λi = 2

pacotes/s e transmite-os em um ´unico canal de 9600 bps.

Assuma que o tamanho m´edio de pacote ´e L = 1000 bits e que a distribui¸c˜ao ´e exponencial com taxa µ = 1/1000.

A taxa total ´e λt = 4λi = 8 pacotes/s. Queremos determinar E[T ], o tempo m´edio gasto no

concentrador por um pacote.

Calculando T diretamente das f´ormulas para M/M/1 d´a tempo m´edio no concentrador = T = 1

µC−λ = 1

9,6−8 = 0, 625.

O n´umero m´edio de pacotes no concentrador ´e dado por N = λtT = 8 × 0, 625 = 5.

A utiliza¸c˜ao da linha = ρ = _µCλ = _9,68 _{≈ 83 %.}

A linha ´e vista como sendo o servidor e o tempo de servi¸co ´e o tempo de transmiss˜ao do pacote.

Podemos ir um pouco mais al´em e perguntar: Quantos buffers devo manter no concen- trador?

N n˜ao indica o n´umero m´aximo de pacotes que podem se enfileirar no concentrador, mas serve como uma indica¸c˜ao. Na pr´atica, o n´umero de buffers teria um valor B, tal que

a probabilidade de encontrar o sistema com B ou mais pacotes fosse menor que um valor determinado α, ou de forma equivalente, a probabilidade de encontrar o sistema com menos de B buffers ocupados seria igual ou maior que 1 − α.

Para a fila M/M/1, Pk= probabilidade de encontrar o sistema com k pacotes = (1−ρ)ρk.

Modelando o sistema como uma fila M/M/1, ent˜ao dever´ıamos terPB−1

k=0 Pk= 1−ρB≥ 1−α.

Ent˜ao, ρB _{≤ α e Blog ρ ≤ log α, mas como log ρ < 0, resulta}

B ≥ log α_{log ρ}

α ρ N _{B ≥}

0,01 0,83 5 26 0,01 0,90 9 44 0,01 0,95 19 90

Assim, a tabela acima mostra que para uma probabilidade de 99% de encontrar espa¸co em buffer (α = 1%), um n´umero de buffers da ordem de pelo menos 5 vezes o n´umero m´edio de pacotes no sistema seria razo´avel, como uma primeira aproxima¸c˜ao.

*

Aplica¸c˜ao: Dedicado versus Compartilhado

Suponha que tenhamos uma linha de 64 Kbps e oito sess˜oes abertas nesta linha.

Se cada sess˜ao tem tr´afego de pacotes Poisson com taxa λs = 2 pacotes/s e tamanho

m´edio L = 1/µ = 2000 bits, divido a linha em 8 fatias (usando TDM ou FDM), ou tento compartilhar usando ATDM? Ambas as solu¸c˜oes tˆem a mesma utiliza¸c˜ao nas filas.

• Usando TDM ou FDM

Temos: λs = 2 e capacidade do canal dedicado = Cs= 8 Kbps.

Logo: Ts = _µC−λ1 = 1₂ = 500 ms.

• Compartilhando

Temos: λc = 8λs = 16 pacotes/s e Cc = 64 Kbps.

Logo: Tc = _µCc1_−λc = 62, 5 ms

e portanto o sistema compartilhado ´e 8 vezes melhor.

*

A teoria de filas mostra que sistemas maiores s˜ao mais eficientes.

Assuma um sistema A que atende a uma popula¸c˜ao de N pessoas e usa um canal de comunica¸c˜ao com capacidade de C bps e um sistema B que atende a uma popula¸c˜ao k vezes

maior (kN) e possui um canal tamb´em k vezes mais r´apido (kC bps), com a mesma utiliza¸c˜ao do sistema A.

Do ponto de vista do usu´ario ´e melhor ser atendido pelo sistema A ou pelo sistema B? Seja 1/µ o tamanho m´edio dos pacotes e vamos modelar os sistemas por uma fila M/M/1. Ent˜ao, TA = _µC−λ1 e TB = _µkC−kλ1 = T_kA. O sistema B ´e portanto k vezes melhor!

15.3

A fila M/G/1

Para calcular E[W ] para M/G/1 seguimos exatamente o mesmo racioc´ınio empregado no c´alculo de M/M/1. Para um freguˆes gen´erico chegando `a fila, o seu tempo m´edio de espera E[W ] ser´a o tempo m´edio para servir os fregueses que s˜ao encontrados em espera na fila mais o tempo m´edio para terminar o servi¸co (servi¸co residual = xr) do freguˆes eventualmente

encontrado em servi¸co (com probabilidade ρ). Assim: W = Nq X + ρXr = ρW + ρXr

= ρXr

1−ρ

Mostraremos que E[Xr] = E[X

2_]

2E[X], o que implica E[W ] = λX2

2(1−ρ) para M/G/1.

Devemos lembrar que TM/G/1 = WM/G/1+ X, N = λT e Nq = λW .

• Para M/D/1 (servi¸co determin´ıstico), X = X = 1/µ e X2 _{= 1/µ}2_{. Ent˜ao:} WM/D/1 = λ 2µ2_{(1 − ρ)} = ρ 2µ(1 − ρ)

• Para M/M/1, com X = 1/µ, temos

WM/M/1 =

ρ µ(1 − ρ)