Propriedades dos ITs

Para o efeito spin Hall quântico acontecer é necessário que haja a degenerescência dos canais de spin polarizados do efeito Hall quântico inteiro, ou seja, o sistema terá que preservar a simetria de reversão temporal (TR), o que faz com que o invariante TKNN seja nulo e seja preciso denir um outro invariante topológico: o Z267, 68 .

O Z2 é um grupo formado apenas por dois elementos que vão denir uma paridade do espaço topológico: (0,1), (-1,+1), (-,+) em que um denirá um estado trivial e outro o não-trivial. Em sistemas 2D é necessário apenas um invariante ν para denir os estados entre triviais e não-triviais. Já no caso dos 3D são necessários quatro índices: (ν0;ν1,ν2,ν3). O índice ν0é o mais importante de todos, que denirá se o sistema é um isolante topológico forte ou fraco. Já os outros três índices podem ser pensados como índice de Miller na rede recíproca. Aliás, é a partir do Z2 que poderia se denir um parâmetro de ordem topológico, que só surgiria na transição de fase topológica.

Como é necessário que a simetria TR seja preservada, é preciso que um outro elemento faça o mesmo papel do campo magnético no efeito Hall quântico inteiro. E quem faz este papel é o acoplamento spin-órbita. É o spin-órbita que fará com que a banda de condução e a banda de valência sejam invertidas no volume, o que vai ocasionar em uma inversão de bandas na superfície. Esta inversão é a responsável pelo surgimento de canais de spin polarizados nas bordas (em sistemas 2D) e estados metálicos de superfície com canais de spin polarizados (no caso 3D).

Uma forma diferente de entender a inversão das bandas de condução e de valência e o surgimento dos cones de Dirac na superfície dos materiais é através do argumento

2.4. Isolantes Topológicos 53 topológico. Como o volume de um IT teria uma topologia diferente do vácuo (ou seja, o meio que o cerca), é preciso haver uma ruptura do sistema na fronteira entre o trivial e o não-trivial. Este rompimento passa pelo fechamento do gap, ou seja, surgem os estados metálicos de superfície.

No caso do efeito Hall quântico inteiro, os estados de borda não podem sofrer retro- espalhamento para amostras maiores que o comprimento de decaimento dos estados de borda2 _{. Nos ITs o spin-órbita acopla o momento e o spin dos elétrons que estão nos canais} polarizados, o que faz com que qualquer espalhamento que ocorra também mude o spin do elétron de up (down) para down (up). Apesar disso, o retroespalhamento ainda deveria ser permitido, porém é a simetria TR do sistema que impede disso ocorrer, pois dois canais retroespalhados conectados pela simetria TR sempre vão interferir destrutivamente68 _.

Outra consequência direta da simetria TR é a robustez dos cones de Dirac e a fase de Berry não-trivial do sistema. A fase de Berry é uma fase associada com a evolução global de uma função de Bloch, neste caso, quando é carregada ao redor de um caminho fechado no espaço k. A fase de Berry pode ser obtida através da curvatura de Berry:

φ = Z Z

D

Fm(k)dk2 (2.73)

em que D é uma região qualquer fechada. Fm é a curvatura de Berry e é simplesmente denida como a fase de Berry por unidade de área, ou seja, é uma propriedade geométrica das bandas de energia e que, aparentemente, pode ser extraída experimentalmente69 _{. A} região D vai ser invariante quando a simetria TR é preservada, logo φ = - φ. Como a fase de Berry só é denida dentro do intervalo 0 a 2π, quando o sistema tiver esta simetria ela deverá respeitar a relação:

φ = nπ (2.74)

em que n = 0 para o caso trivial e n = 1 para o caso em que há pontos de Dirac. Por causa de 2.74 a curvatura de Berry pode ser nula (no caso trivial) ou assumir a forma de deltas de Dirac:

F (k) =X

i

niπδ (k − ki) . (2.75)

Figura 2.10: Movimento do spin na zona de Brillouin no caso de a) um IT 3D fraco e b) um IT 3D forte. No caso mais simples dos ITs 3D, o spin ca trancado ao redor de um ponto de alta simetria, que possui um único ponto de Dirac. É neste ponto que surge o c) cone de Dirac. Figura extraída de67 _.

os pontos de Dirac no espaço k. A robustez dos cones de Dirac torna-se muito mais nítida. Caso exista um parâmetro de ajuste no sistema que o transforme continuamente, F (k) também terá que mudar continuamente. Como a simetria TR limita o formato da curvatura, a forma de F(k) não poderá mudar e a única coisa que pode mudar é a localização dos pontos no espaço k, ou seja, eles não vão desaparecer.

Como relatado no início desta subseção, no caso 3D existem dois tipos de ITs: os fortes e os fracos, como mostra a Fig. 2.10. No caso dos fracos, ν0 = 0, o spin, apesar de apresentar a helicidade, não está trancado ao redor de um ponto de alta simetria na zona de Brillouin, como mostra na Fig. 2.10 a). Neste caso os estados tornam-se anisotrópicos e o resultado é similar ao empilhamento de vários ITs 2D. Apesar da helicidade, o fato do spin não estar trancado no espaço dos momentos ao redor de um ponto faz com que a simetria de TR não proteja os canais contra o retroespalhamento.

Já no caso em que ν0 = 1 temos um IT forte. Para os ITs fortes o spin estará trancado no espaço dos momentos ao redor de um ponto de alta simetria, sempre em um número ímpar de pontos, que são onde surgem os pontos de Dirac, como mostra as Figs. 2.10 b) e c). Neste caso o sistema é protegido contra o retroespalhamento e o acoplamento spin-órbita garante o aparecimento de apenas um número ímpar de cones no nível de Fermi. Vale ressaltar que mesmo tendo a presença de um número ímpar de cones, a degenerescência dupla de Kramers ainda é respeitada. Neste caso, o outro cone é deslocado para a superfície oposta. Medidas experimentais mostram que os cones de Dirac, em lmes ultra nos, podem interferir destrutivamente com os cones da superfície

2.4. Isolantes Topológicos 55 oposta70 _.

2.4.2 Técnicas experimentais para detecção dos estados topoló-