Propriedades dos vetores

Um vetor é um segmento de reta entre dois pontos P1 e P2 no espaço, em que um dos

pontos é considerado a origem e o outro ponto o fim do segmento. Por exemplo, na figura2.1, está representado o vector

com origem num ponto P1e fim num ponto P2; a seta

indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, ~a, para que fique claro que se trata de um vetor e não

de uma variável algébrica comum.

Um vetor representa um deslocamento desde um ponto do espaço até outro ponto. A distância entre os dois pontos chama-se módulo, ou norma do vetor. No caso de um vetor ~a, o seu módulo representa-se com a mesma letra a, mas sem seta. Como a distância entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um vetor tem também uma direção, definida pela reta que passa pelos dois pontos, e um sentido, que vai desde o ponto inicial para o ponto final. a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4

Figura 2.1.: Vetores livres.

Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos forem iguais. Por exemplo, na figura2.1o vetor entre os pontos P1e P2 e o vetor entre os pontos P3 e P4

são iguais e, por isso, foram identificados com a mesma letra ~a; a distância entre P3e P4é

igual à distância entre P1e P2 e as retas que passam por esses dois pares de pontos são

paralelas. O vetor~b, entre os pontos P5e P6, não é igual a ~a porque tem módulo e direção

diferentes. Esse tipo de vetores são chamados vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde forem colocados, sempre que a distância entre eles for igual ao módulo e definam corretamente a direção e sentido do vetor.

Na figura2.2, partindo do ponto P o vetor ~a produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor~b provocará um deslocamento até o ponto R; assim sendo, o deslocamento combinado de ~a e~b é equivalente ao deslocamento desde P até R, representado na figura

2.1 Vetores 21 pelo vetor ~c. Diz-se que ~c é igual à soma dos vetores ~a e~b

~a +~b = ~c (2.1)

Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma que o seu ponto inicial coincida com o ponto final do primeiro, obtendo-se como resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo.

A equação~a+~b =~c implica que~b =~c−~a e a figura2.2 também mostra que o vetor~b vai desde o ponto final de ~a até o ponto final de ~c, quando os dois vetores estão no mesmo ponto inicial. Portanto, para subtrair dois vetores podem ser deslocados para um ponto inicial comum e o resultado da subtração será o vetor que vai desde o ponto final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor. a b c P Q R

Figura 2.2.: Soma de vetores.

A adição de vetores é comutativa; deslocar o vetor ~b a continuação do vetor ~a produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor ~a a continuação do vetor~b (figura2.3). A soma dos vetores ~a e~b é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a ~a e os outros dois lados são iguais a~b. A soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa. b b a a a + b

Figura 2.3.: Regra do paralelogramo para somar vetores.

A soma de um vetor com si próprio ~a +~a = ~a produz um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior. Generalizando esse resultado, o produto de um escalar k e um vetor ~a será um vetor com a mesma direção de ~a mas com módulo igual a |k| a. O sentido de k~a será o mesmo de ~a, se k for positivo, ou oposto se k for negativo. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto de escalar e vetor é comutativo. Se k for igual a zero, k~a será o vetor nulo~0, ou seja, um vetor com o mesmo ponto inicial e final.

Usando o produto de escalar por vetor, qualquer vetor ~a pode ser obtido pelo produto a~ea,

22 Cinemática vetorial

a ea

Figura 2.4.: Versor ~eaassociado ao vetor ~a.

Esse vetor unitário, com a mesma direção e sentido de ~a, chama-se o versor de ~a. Neste livro será usado sempre um e minúsculo para representar versores.

No capítulo anterior foi dito que a posição de um ponto P no espaço é dada por três coorde- nadas definidas em algum sistema de coordenadas e foram introduzidas as coordenadas cartesianas. A figura2.5mostra as coordenadas cartesianas (xP, yP, zP) de um ponto P.

x y z r ex ey ez xP yP zP O P

Figura 2.5.: Coordenadas cartesianas de um ponto P e versores cartesianos. Existem duas formas de definir os sentidos positivos dos três eixos x, y e z; é habitual definir esses sentidos positivos seguindo a regra da mão direita: fechando o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formar ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos x, o dedo maior no sentido do eixo dos y e o polegar no sentido do eixo dos z. Um referencial cartesiano pode ser definido indicando o ponto O que define a origem e 3 versores perpendiculares, ~ex, ~ey e ~ez, que definem as

direções dos 3 eixos.

Qualquer vetor pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por exemplo,

~a = a_x~e_x+ a_y~e_y+ a_z~e_z (2.2) ~b = bx~ex+ by~ey+ bz~ez (2.3)

em que (ax, ay, az) e (bx, by, bz) são as componentes cartesianas dos vetores. Usando as

propriedades da soma vetorial e do produto de escalar por vetor, a soma dos vetores ~a e~b pode ser escrita, em função das componentes, como,

2.1 Vetores 23 Ou seja, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das compo- nentes dos vetores originais. Observe que a direção, o sentido e o módulo de um vetor ~a são independentes do sistema de eixos usado e da escolha da origem O; no entanto, as suas componentes (ax, ay, az) serão diferentes em diferentes sistemas de eixos. Se dois vetores

são iguais, as suas componentes, no mesmo sistema de eixos, também deverão ser iguais. O vetor posição dum ponto P define-se como o vetor~rP que vai desde a origem O até o

ponto P, que pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos,

~r_P = xP~ex+ yP~ey+ zP~ez (2.5)

Observe que as componentes desse vetor posição são iguais as coordenadas cartesianas do ponto P, (xP, yP, zP). O vetor posição do ponto P depende do sistema de eixos e da

origem escolhidos; em diferentes sistemas de eixos os vetores posição do mesmo ponto terão diferentes módulos e direções.