Propriedades elementares dos contradomínios numéricos

2.2 Propriedades elementares dos contradomínios numé-

ricos

Seja A um operador linear e limitado definido num espaço de Hilbert complexo K, munido do produto interno h; i. Para cada operador linear H em K, limitado, auto-adjunto e invertível, obtemos um produto interno indefinido h; iH e munimos K da estrutura de espaço

de Krein. O contradomínio numérico-H de A é o subconjunto do plano complexo que se denota e define por

WH.A/D hAx; xi H hx; xiH W x 2 K; hx; xi H 6D 0 : (2.4)

O estudo do contradomínio numérico-H de um operador A reveste-se de especial interesse, uma vez que permite estabelecer a ligação entre as suas propriedades algébricas e geométricas (destacamos, como exemplos, os Teoremas 3.7 e 3.23 a 3.26). Se H é o operador identidade, então h; iH D h; i é um produto interno definido, K D KC é simplesmente um espaço de

Hilbert e WH.A/reduz-se ao contradomínio numérico clássico ou campo de valores de A,

W .A/ _D hAx; xi

hx; xi W x 2 K; hx; xi 6D 0

D fhAx; xiW x 2 K; hx; xi D 1g : (2.5)

A literatura sobre o conceito clássico de contradomínio numérico remonta a 1918 e 1919, nomeadamente a dois artigos famosos, um de Toeplitz [50] e outro de Hausdorff [25]. Esses artigos conduziram a uma das propriedades geométricas mais relevantes do contradomínio numérico clássico: a sua convexidade. Toeplitz mostrou a convexidade da fronteira do campo de valores e, pouco depois, Hausdorff provou que o conjunto é simplesmente conexo. Desde então, vários autores apresentaram demonstrações alternativas para este importante resultado, usualmente referido como Teorema de Toeplitz-Hausdorff.

Teorema 2.1 (Teorema de Toeplitz-Hausdorff) Se A é um operador linear e limitado num espaço de Hilbert H , então W .A/ é um subconjunto convexo de C.

Outra propriedade relevante do contradomínio numérico clássico afirma que, para cada operador linear e limitado A definido num espaço de Hilbert H , .A/ W.A/, onde .A/ denota o espectro de A e W .A/ o fecho topológico de W .A/. Esta propriedade, conhecida por inclusão espectral, foi originalmente provada por Wintner [52], em 1929. É de realçar, igualmente, que o conjunto W .A/ é compacto, sendo válida a igualdade W .A/ D W.A/ para espaços de dimensão finita.

28 CAPÍTULO 2: Contradomínios numéricos

Na teoria do contradomínio numérico clássico (e das suas generalizações), a redução dos problemas ao caso bidimensional é uma técnica muito utilizada, mesmo quando os espaços têm dimensão infinita. O Teorema do Contradomínio Elíptico desempenha um papel chave em tal redução: Murnaghan [39], em 1932, provou que se A 2 M2, então o campo de valores

W .A/ é um disco elíptico (possivelmente degenerado). Ao longo dos anos, foram surgindo outras provas para este resultado. Destacamos a de Donoghue [19], em 1957, e a mais recente apresentada por Li [34], em 1996.

Teorema 2.2 Seja A 2 M2 uma matriz com valores próprios ˛1 e ˛2. Nestas condições,

W .A/é o disco elíptico (possivelmente degenerado) com focos ˛1e ˛2, e eixos maior e menor

de comprimento, respectivamente, ptr.A_A/ ₂_Re.˛

1˛2/ e ptr.AA/ j˛1j2 j˛2j2: (2.6)

Para um estudo aprofundado das propriedades do contradomínio numérico clássico re- metemos o leitor para [27, Capítulo 1] e [24]. A substituição do produto interno definido por um produto interno indefinido gera uma nova teoria, particularmente interessante pelas suas ligações ao campo das aplicações, dada a importância dos produtos internos indefinidos na Física, nomeadamente na Teoria da Relatividade. Em contraste com o caso clássico, o estudo do contradomínio numérico indefinido é relativamente recente [4, 6, 7, 35, 36, 37].

Na próxima proposição listamos algumas propriedades do contradomínio numérico-H que são consequência directa da definição. O símbolo I denota o operador identidade. Proposição 2.3 Nas condições da definição (2.4), tem-se:

(a) WH.˛I C ˇA/ D ˛ C ˇWH.A/, para quaisquer escalares ˛; ˇ 2 C;

(b) WH.UŒAU /D WH.A/, qualquer que seja o operador U unitário-H ;

(d) WH.AC B/ WH.A/C WH.B/.

Com vista à caracterização do contradomínio numérico-H de um operador A, WH.A/,

é útil considerar os conjuntos

WH˙.A/ D fhAx; xiHW x 2 K; hx; xiH D ˙1g; (2.7)

que designaremos por contradomínio numérico-H positivo ou negativo de A. Facilmente se constata que

2.2 Propriedades elementares dos contradomínios numéricos 29 Assim, para estudarmos as propriedades do contradomínio numérico-H de A, basta caracteri- zarmos os conjuntos WC

H.A/e W C

H.A/. Importa realçar que a Proposição 2.3 continua válida

se se substituir WH por W_HC.

Se H é um operador auto-adjunto definido positivo, então h; iH é um produto interno

definido, de acordo com o referido na secção anterior. Além disso, existe um (único) operador auto-adjunto definido positivo H1=2_{, a raiz quadrada positiva de H , tal que .H}1=2_/2

D H . Note-se que a invertibilidade de H garante que H1=2 _{é invertível [32, p.476]. Segue-se que}

H _{D .H}1=2/H1=2: Cálculos simples mostram que

WH.A/D W_HC.A/D W .H1=2AH 1=2/;

onde H 1=2 _{denota o operador inverso de H}1=2_{. Por outro lado, se H é auto-adjunto definido}

negativo, então H é definido positivo e idêntica caracterização pode ser feita para WH.A/:

WH.A/ D WC_H.A/D W .. H /1=2A. H / 1=2/;

onde . H / 1=2 _{denota o operador inverso de . H /}1=2_{. Desta forma, se H é definido posi-}

tivo ou negativo, o estudo do contradomínio numérico-H reduz-se à teoria do contradomínio numérico clássico. Por este motivo, interessa-nos considerar apenas o caso em que H é indefinido.

Em contraste com o contradomínio numérico clássico W .A/, se H é indefinido, então o conjunto WC

H.A/ não é, em geral, limitado nem fechado, mesmo que o espaço K tenha

dimensão finita. Contudo, WC

H.A/é sempre convexo. A proposição que se segue sistematiza

algumas propriedades geométricas do conjunto WC

H.A/[4, 36, 37]:

Proposição 2.4 Seja A um operador linear e limitado em K. Para cada operador linear H em K, limitado, auto-adjunto, invertível e indefinido, tem-se:

(a) WC

H.A/D fg se e só se A D I ;

(b) se WC

H .A/não é um conjunto singular, então W C

H.A/não é limitado;

H.A/ R se e só se A é um operador auto-adjunto-H , isto é, A D H

1_A_H_;

(d) WC

H.A/é um subconjunto convexo de C.

As três primeiras alíneas da proposição anterior conduzem a resultados análogos para o contradomínio numérico-H .

30 CAPÍTULO 2: Contradomínios numéricos

Proposição 2.5 Nas mesmas condições da proposição anterior, tem-se: (a) WH.A/D fg se e só se A D I ;

(b) se WH.A/não é um conjunto singular, então WH.A/não é limitado;

Um operador linear e limitado A diz-se essencialmente auto-adjunto-H se existirem ˛; ˇ 2 C, ˇ 6D 0, tais que ˛I C ˇA é um operador auto-adjunto-H . Em espaços de dimen- são finita, dizemos que A é uma matriz essencialmente hermítica-H . Da proposição anterior, concluímos que um operador é essencialmente auto-adjunto-H se e só se o seu contradomí- nio numérico-H estiver contido numa recta. A recta fica completamente caracterizada pelos escalares ˛ e ˇ: se ˛I C ˇA é auto-adjunto-H, então WH.A/está contido na recta que passa

por ˛=ˇ e que tem a direcção de arg ˇ.

Como WH.A/ D W_HC.A/[ WC_H.A/, a Proposição 2.4 garante que WH.A/é a união

de dois conjuntos convexos. Contudo, esta condição não garante a convexidade de WH.A/.

De facto, em geral, WH.A/não é convexo, mas sim pseudo-convexo [37]: dados dois pontos

distintos x; y 2 WH.A/, ou WH.A/ contém o segmento de recta de extremos x e y, ou

WH.A/ contém a recta definida por x e y, excepto o segmento de recta aberto que os une.

A primeira possibilidade ocorre quando x e y pertencem à mesma componente convexa de WH.A/, WHC.A/ou W

H.A/, e a segunda quando tal não acontece. Esta propriedade revelar-

-se-á de extrema importância no decorrer do texto.

Em [6], estabeleceu-se um resultado paralelo ao Teorema do Contradomínio Elíptico para o caso indefinido, que se designou por Teorema do Contradomínio Hiperbólico. Em contraste com o caso clássico, o contradomínio numérico indefinido de uma matriz de ordem 2é determinado por uma hipérbole e não por uma elipse. Os ramos da hipérbole delimitam as suas duas componentes convexas.

Teorema 2.6 Seja A 2 M2 uma matriz com valores próprios ˛1 e ˛2. Se H D diag.1; 1/,

então WH.A/é delimitado por uma hipérbole (possivelmente degenerada) com focos ˛1e ˛2,

e eixos transverso e não-transverso de comprimento, respectivamente, q

tr.AŒ_A/ ₂_Re.˛

1˛2/ e

j˛1j2C j˛2j2 tr.AŒA/: (2.8)

Nos casos degenerados, WH.A/pode ser um conjunto singular, uma recta, uma recta excepto

um segmento aberto, todo o plano complexo ou o plano complexo excepto uma recta.

A escolha da matriz H no enunciado do teorema anterior não traduz uma perda de generalidade, como observaremos na secção 2.3. A propriedade de inclusão espectral,

2.3 Matriz de inércia 31

No documento Contradomínios numéricos em espaços de Krein e curvas algébricas planas (páginas 45-49)