Propriedades do grau de Leray-Schauder - A construção do grau topológico e sua aplicação a um s

Com as exce¸cões das propriedades 10 e 11 da Proposi¸cão 2.18, as propri-edades apresentadas a seguir são análogas às vistas para o grau de Brouwer. Proposi¸cão 4.11. As seguintes propriedades são válidas:

1. (Normaliza¸cão) Sejam E um espa¸co de Banach, I : E → E a fun¸cão identidade e U um subconjunto aberto e limitado de E, então, para todo y ∈ U ,

deg_LS(I, U, y) = 1.

2. (Transla¸cão) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel, então (f − y, U, 0) é admiss´ıvel e

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f − y, U, 0).

3. (Aditividade) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Se U₁, U₂ ⊆ U são abertos e disjuntos com y /∈ f (U \(U₁∪U₂)), então (f, U1, y) e (f, U2, y) são admiss´ıveis e

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f, U1, y) + deg_LS(f, U2, y).

4. (Excisão) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel e considere um conjunto compacto K ⊆ U tal que y /∈ f (K). Então, (f, U \ K, y) é admiss´ıvel

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f, U \ K, y).

5. (Continuidade em rela¸cão à fun¸cão T ) Seja (f, U, y) uma terna ad-miss´ıvel. Então, sendo T = I − f , existe > 0 tal que, para toda fun¸cão compacta P : U → E com

sup

x∈U

a terna (I − P, U, y) ´e admiss´ıvel e

deg_LS(I − P, U, y) = deg_LS(f, U, y).

6. (Invariância homotópica) Sejam E um espa¸co de Banach e U ⊆ E um conjunto aberto e limitado. Considere y ∈ E e uma fun¸cão compacta F : U × [0, 1] → E tais que x − F (x, t) 6= y para todo x ∈ ∂U e para todo t ∈ [0, 1]. Então,

deg_LS(I − F (·, t), U, y) n˜ao depende de t.

7. (Invariância local) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Então, existe uma vizinhan¸ca V de y tal que, para todo z ∈ V , deg_LS(f, U, z) está definido e

deg_LS(f, U, z) = deg_LS(f, U, y).

8. (Existˆencia de solu¸c˜ao) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Se

deg_LS(f, U, y) 6= 0, ent˜ao existe x ∈ U tal que f (x) = y.

9. (Propriedade do bordo) Sejam (f, U, y) e (g, U, y) duas ternas ad-miss´ıveis tais que f |∂U = g|∂U. Ent˜ao,

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(g, U, y).

Demonstra¸c˜ao. 1 - Seja S = span {y}. Segue, da Defini¸c˜ao 4.10, que

deg_LS(I, U, y) = deg_B(I|_{U ∩S}, U ∩ S, y).

Como y ∈ U , ent˜ao y ∈ U ∩ S, portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 1,

deg_LS(I, U, y) = deg_B(I|_E∩S, U ∩ S, y) = 1.

2 - Para x ∈ ∂U , sabemos, por hip´otese, que f (x) 6= y, portanto f (x) − y 6= 0. Logo, (f − y, U, 0) ´e admiss´ıvel.

Agora, tome bT : U → E uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita tal que, para todo x ∈ U ,

onde T = I − f . Seja S = span { bT (U ) ∪ {y}}. Segue que

deg_LS(f, U, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y). (4.2) Veja que, para todo x ∈ U ,

k( bT + y)(x) − (T + y)(x)k = k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U )),

ou seja,

k( bT + y)(x) − (T + y)(x)k < dist(0, (f − y)(∂U )). Podemos, pela Defini¸c˜ao 4.10, concluir que

deg_LS(f − y, U, 0) = deg_B((I − bT − y)|_{U ∩S}, U ∩ S, 0). (4.3) Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 2,

deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y) = deg_B((I − bT − y)|_{U ∩S}, U ∩ S, 0). Sendo assim, por (4.2) e (4.3),

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f − y, U, 0).

3 - Note que ∂U₁ ⊆ U \ (U₁ ∪ U₂), portanto para x ∈ ∂U₁, f (x) 6= y. Logo, (f, U1, y) é admiss´ıvel. De forma análoga, (f, U2, y) é admiss´ıvel.

Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita bT : U → E tal que, para todo x ∈ U ,

k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U )), k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U1)) e

k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U₂)),

onde T = I − f . Seja S = span { bT (U ) ∪ {y}}. Segue, da Defini¸c˜ao 4.10, que

deg_LS(f, U, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y),

deg_LS(f, U₁, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U₁∩ S, y) e

deg_LS(f, U2, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U2∩ S, y). Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 3, conclu´ımos que

4 - Como y /∈ f (∂U ) e y /∈ f (K), ent˜ao y /∈ f (∂(U \ K)). Portanto, (f, U \ K, y) ´e admiss´ıvel.

Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita bT : U → E tal que, para todo x ∈ U ,

k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U )),

onde T = I − f . Seja S = span { bT (U ) ∪ {y}}. Pela Defini¸c˜ao 4.10,temos

deg_LS(f, U, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y) e

deg_LS(f, U \ K, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, (U \ K) ∩ S, y). Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 4, temos

deg_B((I − bT )|_Ω∩S, U ∩ S, y) = deg_B((I − bT )|_Ω∩S, (U \ K) ∩ S, y). Logo,

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f, U \ K, y).

5 - Fa¸ca r = dist(y, f (∂U )) e fixe P : U → E uma fun¸c˜ao compacta com

sup

x∈U

kP (x) − T (x)k < ^r 2^.

Defina g = I − P . Para mostrar que (g, U, y) ´e uma terna admiss´ıvel, basta provar que y /∈ g(∂U ). Para tanto, fixe x ∈ ∂U . Segue que

ky − g(x)k = ky − f (x) + f (x) − g(x)k ≥ ky − f (x)k − kf (x) − g(x)k,

portanto

ky − g(x)k ≥ ky − f (x)k − kP (x) − T (x)k ≥ ^r 2^. Logo, y /∈ g(∂U ).

Agora, sejam T1, P1 : U → E duas fun¸c˜oes de dimens˜ao finita tais que, para todo x ∈ U ,

kT (x) − T₁(x)k ≤ r e kP (x) − P₁(x)k ≤ ^r 2^.

Fazendo f1 = I − T1, g1 = I − P1, S = span {T1(U ) ∪ P1(U ) ∪ {y}} e usando a defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, temos

deg_LS(g, U, y) = deg_B(g1|_{U ∩S}, U ∩ S, y). Seja W = U ∩ S e defina a seguinte homotopia:

H : W × [0, 1] → S

(x, t) 7→ H(x, t) = tf₁|_{U ∩S}(x) + (1 − t)g₁|_{U ∩S}(x). Afirmo que y /∈ H(∂W × [0, 1]). De fato, tome (x, t) ∈ ∂W × [0, 1]. Ent˜ao, kH(x, t) − f (x)k = ktf₁|_{U ∩S}(x) + (1 − t)g1|_{U ∩S}(x) − tf (x) − (1 − t)f (x)k, portanto kH(x, t) − f (x)k ≤ tkf₁|_{U ∩S}(x) − f (x)k + (1 − t)kg₁|_{U ∩S}(x) − f (x)k ≤ tkf₁|_{U ∩S}(x) − f (x)k + (1 − t)(kg1|_{U ∩S}(x) − g(x)k + kg(x) − f (x)k). Segue que kH(x, t) − f (x)k ≤ tr + (1 − t)^r 2 ⁺ r 2 = r.

Sendo ∂W = ∂(U ∩ S) = ∂U ∩ S, conclu´ımos que y /∈ H(∂W × [0, 1]). Desta forma, podemos usar a Proposi¸c˜ao 2.18, item 5. Assim temos

deg_B(f1|_{U ∩S}, U ∩ S, y) = deg_B(g1|_{U ∩S}, U ∩ S, y). Logo,

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(g, U, y).

6 - Fa¸ca, para todo t ∈ [0, 1], H(·, t) = I − F (·, t) e r = dist(y, H(∂U × [0, 1])). Vamos mostrar que r > 0. Para tanto, defina a fun¸c˜ao

H : U × [0, 1] → E × R

(x, t) 7→ H(x, t) = (x, t) − (F (x, t), t),b

ou seja,

H(x, t) = (x − F (x, t), 0).

Agora, defina bF : U × [0, 1] → E × R por b

Segue que

H = I − bF .

Afirmo que bF é compacta. De fato, primeiramente, como F é cont´ınua, então bF é cont´ınua. Tome, agora, uma sequência (x_n, t_n) ⊆ U × [0, 1]. Como [0, 1] é compacto, existe uma subsequência (tnj) ⊆ (tn) tal que

lim

j→∞t_n_j = t₀∈ [0, 1].

Pela compacidade da fun¸cão F , existe uma subsequência (x_n_jk, t_n_jk) ⊆ (xn, tnj) tal que lim k→∞F (x_n_jk, t_n_jk) = y₀∈ E. Logo, lim k→∞ b F (xn_jk, tn_jk) = lim k→∞(F (xn_jk, tn_jk), tn_jk) = (y0, t0). Portanto, bF é uma fun¸cão compacta.

Usando o Lema 4.7, segue que bH(∂U × [0, 1]) é um conjunto fechado, ou seja, H(∂U × [0, 1], 0) é um conjunto fechado em E × R, o que implica H(∂U × [0, 1]) é um fechado em E. Como y /∈ H(∂U × [0, 1]), podemos concluir que r > 0.

Defina K = F (U × [0, 1]) ⊆ E. Pelo Lema 4.6, existe um subespa¸co de dimens˜ao finita Sr

2 ⊆ E e uma fun¸c˜ao cont´ınua gr

2 : K → Sr 2 verificando, para todo x ∈ K, kx − gr 2(x)k < ^r 2^. Seja H1 : U × [0, 1] → E definida por

H₁(x, t) = x − gr

2(F (x, t)). Veja que, para todo x ∈ U e para todo t ∈ [0, 1],

kH(x, t) − H₁(x, t)k = kx − F (x, t) − x + gr 2(F (x, t))k, portanto kH(x, t) − H₁(x, t)k = kF (x, t) − gr 2(F (x, t))k < ^r 2^. Segue, para todo t ∈ [0, 1], que

sup

x∈U

kH(x, t) − H₁(x, t)k < ^r 2^.

Da´ı, aplicando o item 5 acima, temos, para todo t ∈ [0, 1],

deg_LS(H(·, t), U, y) = deg_LS(H₁(·, t), U, y). Seja S ⊆ E um subespa¸co de dimens˜ao finita contendo gr

2(F (U × [0, 1])) e y. Aplicando a defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, podemos concluir que, para todo t ∈ [0, 1],

deg_LS(H₁(·, t), U, y) = deg_LS(H₁(·, t)|_Ω∩S, U ∩ S, y). Finalmente, usando a Proposi¸c˜ao 2.18, item 5, conclu´ımos que

deg_LS(H(·, t), U, y) n˜ao depende de t.

7 - Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita bT : U → E tal que, para todo x ∈ U ,

k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U )), onde T = I − f . Seja S = span { bT (U ) ∪ {y}}. Segue que

deg_LS(f, U, y) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y).

Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 7, sabemos que existe uma vizinhan¸ca V de y, tal que, para todo z ∈ V , deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, z) est´a definido e

deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, z) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, y). Por outro lado, a Defini¸c˜ao 4.10 implica que

deg_LS(f, U, z) = deg_B((I − bT )|_{U ∩S}, U ∩ S, z). Logo,

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(f, U, z). 8 - Para todo n > ¹

dist(y, f (∂U ))^{, existe T}ⁿ^{: U → E de dimens˜}^{ao finita} tal que

kT_n(x) − T (x)k < ¹ n para todo x ∈ U , onde T = I − f . Sejam

Assim,

deg_LS(f, U, y) = deg_B((I − Tn)|_{U ∩S}

n, Un, y).

Por hip´otese, deg_B((I − Tn)|_{U ∩S}, Un, y) 6= 0 e, aplicando a Proposi¸c˜ao 2.18, item 8, existe x_n∈ U_n tal que

xn− T_n(xn) = y (4.4) Como T |_U é compacta e, para cada n, xn∈ U , então podemos assumir, sem perda de generalidade, que a sequência T (x_n) converge para algum p ∈ X. Da´ı, por (4.4), (x_n) converge para y + p ∈ U . Pela continuidade da fun¸cão f , obtemos

f (p + y) = lim

n→∞f (x_n) = lim

n→∞[x_n− T (x_n)] = y.

Sabemos que y /∈ f (∂U ), portanto p + y ∈ U . Desta forma, a equa¸c˜ao f (x) = y admite a solu¸c˜ao p + y.

9 - Sejam T : Ω → E e S : Ω → E fun¸c˜oes completamente cont´ınuas tais que

f = I − T e g = I − S.

Considere a fun¸c˜ao compacta F : U × [0, 1] → E definida por F (x, t) = tT (x) + (1 − t)S(x).

Para x ∈ ∂U e para t ∈ [0, 1], F (x, t) = tT (x) + (1 − t)S(x) = T (x) = S(x). Portanto, x − F (x, t) = f (x) 6= y. Da´ı, aplicando o item 6 acima,

deg_LS(f, U, y) = deg_LS(g, U, y).

Para finalizar a se¸cão das propriedades do grau de Leray-Schauder, e consequentemente finalizar este cap´ıtulo, destacamos a proposi¸cão a seguir, que relaciona o grau em em espa¸co de Banach E, com o grau em um subspa¸co F de E. Este resultado é análogo ao da Proposi¸cão 2.19, que foi apresentada quando tratamos de espa¸cos de dimensão finita.

Proposi¸cão 4.12. Sejam E e F espa¸cos de Banach, onde F ⊆ E. Sejam Ω ⊆ E um conjunto qualquer e U ⊆ E aberto e limitado com U ⊆ Ω. Considere uma fun¸cão completamente cont´ınua T : Ω → F e defina f : Ω → E por f (x) = x − T (x). Se f |_Ω∩F : Ω ∩ F → F for a restri¸cão de f em Ω ∩ F com contradom´ınio F e y ∈ F \ f (∂U ), então

Demonstra¸cão. Tome bT : U → F uma fun¸cão de dimensão finita tal que, para todo x ∈ U ,

k bT (x) − T (x)k < dist(y, f (∂U )).

Sejam G = span { bT (U ) ∪ {y}} e bf : U → E dada por bf (x) = x − bT (x). Pela defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder,

deg_LS(f, U, y) = deg_B( bf |_{U ∩G}, U ∩ G, y).

Fa¸ca h = f |_Ω∩F, ou seja, h : Ω ∩ F → F é dada por h(x) = x − T (x). Observe que bT |_{U ∩F} é uma fun¸cão de dimensão finita tal que, para todo x ∈ U ∩ F ,

k bT |_{U ∩F}(x) − T |Ω∩F(x)k < dist(y, h(∂U ∩ F )).

Sejam W = span { bT |_{U ∩F}(U ∩ F ) ∪ {y}} e bh : U ∩ F → W dada por b

h(x) = x − bT |_{U ∩F}(x). Pela defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, deg_LS(h, U ∩ F, y) = deg_B(bh|_{U ∩W}, U ∩ W, y).

Note que W ⊆ G e bT |_{U ∩G}(U ∩ G) ⊆ W . Desta forma, a Proposi¸c˜ao 2.19 garante que

deg_B( bf |_{U ∩G}, U ∩ G, y) = deg_B(bh|_{U ∩W}, U ∩ W, y). Logo,

Solu¸c˜oes de sistemas n˜ao

lineares com condi¸c˜oes de

contorno

5.1 Introdu¸c˜ao

O objetivo deste cap´ıtulo é usar o grau topológico para estudar a exis-tência de solu¸cões para o seguinte sistema não linear de equa¸cões diferenciais:

(φ(u⁰))⁰ = f (t, u, u⁰), u(0) = u(T ), u⁰(0) = u⁰(T ). (5.1) Este problema foi estudado por Manásevich e Mawhin no artigo [11]. No artigo citado, os autores transformam o problema (5.1) em um problema de ponto fixo em espa¸cos de fun¸cões. Em seguida, sob certas condi¸cões, usam o grau de Leray-Schauder para provar a existência de solu¸cões do problema acima. Vamos aqui apresentar esta abordagem.

Seguem os detalhes do problema acima: • φ : Rn→ Rn´e uma fun¸c˜ao satisfazendo:

(H1) Para todo x1, x2 ∈ Rn, x1 6= x₂,

hφ(x₁) − φ(x₂), x₁− x₂i > 0.

(H2) Existe uma fun¸c˜ao α : [0, +∞[→ [0, +∞[, com lims→+∞α(s) = +∞, tal que

hφ(x), xi ≥ α(kxk)kxk ∀ x ∈ Rⁿ. 83

Observa¸cão 5.1. Sob essas condi¸cões, φ é um homeomorfismo do Rⁿ no Rⁿ. Além disso,

lim

kyk→+∞kφ⁻¹(y)k = +∞. Veja [5, Deimling, cap. 3].

• Para T fixado, f : [0, T ] × Rn× Rn→ Rné uma fun¸cão Carathéodory, ou seja,

(i) para quase todo t ∈ [0, T ], f (t, ·, ·) ´e cont´ınua;

(ii) para qualquer (x, y) ∈ Rⁿ× Rn, f (·, x, y) ´e mensur´avel;

(iii) para qualquer ρ > 0, existe g ∈ L¹([0, T ], R) tal que, para quase todo t ∈ [0, T ] e para todo (x, y) ∈ Rⁿ × Rn, com kxk ≤ ρ e kyk ≤ ρ, temos kf (t, x, y)k ≤ g(t).

Entendemos por solu¸cão do problema (5.1) uma fun¸cão u : [0, T ] → Rⁿ de classe C¹ satisfazendo as condi¸cões de contorno e tal que a fun¸cão t 7→ φ(u⁰(t)) seja absolutamente cont´ınua e satisfa¸ca (φ(u⁰(t)))⁰ = f (t, u(t), u⁰(t)) para quase todo t em [0, T ]. Para chegarmos ao nosso objetivo, na Se¸cão 5.2, apresentaremos um problema que vai nos auxiliar no estudo do problema (5.1). E, na Se¸cão 5.3, vamos provar o principal teorema deste cap´ıtulo, que garante, sob certas condi¸cões, a existência de solu¸cão para o problema (5.1). Nota¸cões básicas. Neste cap´ıtulo, para T fixado, denotaremos C = C([0, T ], Rⁿ), C¹ = C¹([0, T ], Rⁿ) e L¹ = L¹([0, T ], Rⁿ), que são espa¸cos de Banach dotados, respectivamente, com as normas

kuk₀ = max

t∈[0,T ]

ku(t)k, kuk₁ = kuk₀+ ku⁰k₀ e khk_L1 = Z T

kh(t)kdt.

Denotaremos, tamb´em, C_T = {u ∈ C : u(0) = u(T )}, C_T¹ = {u ∈ C¹ : u(0) = u(T ), u⁰(0) = u⁰(T )} e L¹_m = {h ∈ L¹ :RT

0 h(t)dt = 0} subespa¸cos fechados, respectivamente, de C, C¹ e L¹.

No documento A construção do grau topológico e sua aplicação a um sistema diferencial não linear com condições de contorno. (páginas 73-84)