Propriedades mecânicas

O valor da resistência da madeira resulta, sobretudo, da influência da massa volúmica, desvio do fio e lenho de reacção, sendo as quedas na resistência devidas a nós (Hoffmeyer, 1987). A distribuição dos nós depende da espécie e do crescimento particular de cada árvore.

Riberholt e Madsen (1979) propuseram um modelo para ter em conta a variação da resistência ao longo de uma viga de madeira. Os autores consideraram que a resistência ao longo da viga era constante, excepto quando ocorriam defeitos, como por exemplo nós ou fio inclinado (Figura 5.12). A resistência entre nós era regida pelas propriedades da madeira limpa, as quais foram assumidas como uniformes ao longo do comprimento. Na zona dos defeitos a resistência dependia do tamanho dos nós e da inclinação das fibras.

A resistência das secções sem defeitos era descrita por uma variável estocástica, a ocorrência de defeitos por um processo de Poisson, e a resistência das secções com defeitos por uma outra variável estocástica.

MODELAÇÃOS

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Figura 5.12 – Resistência (R) de uma viga sujeita a um esforço S (Riberholt e Madsen, 1979)

A resistência de uma zona aleatória com defeitos pode ser estimada por dois métodos. O primeiro método é baseado na suposição de que a resistência das secções com nós é estocasticamente independente, podendo a FDA (função distribuição acumulada) ser estimada com base na resistência obtida em ensaios, ou seja, a resistência da secção mais fraca da peça. No segundo método a resistência de cada secção com defeitos é obtida por meio de regressões lineares múltiplas usando o tamanho e dimensão dos nós, taxa de crescimento e massa volúmica. A função distribuição acumulada é, desta forma, estimada com base em medições indirectas da resistência.

A distância entre defeitos e o seu número, tal como referido anteriormente, eram descritas por um processo de Poisson com intensidade constante ao longo da viga. Assim, a distância x entre duas secções com defeitos pode ser definida a partir da função de distribuição exponencial indicada na equação (5.7). O número de secções com defeitos n, num comprimento L, seguia uma distribuição de Poisson de parâmetro λL, equação (5.8). A intensidade λ é definida pelo valor médio das distâncias medidas entre defeitos ou pelo número médio de defeitos numa distância L.

> 0 ( ,1) 0 0 x e x h x x (5.7) ( ) ! n L L f n e n (5.8)

Czmoch et al. (1991) consideraram um modelo semelhante ao anterior para a modelação da variabilidade da resistência à flexão ao longo do comprimento de madeira estrutural. Foi assumido que:

– a madeira é composta por zonas fracas ligadas por secções de madeira limpa;

– as zonas fracas correspondem a zonas com nós ou grupos de nós e são aleatoriamente distribuídas;

– a rotura acontece apenas no centro das zonas fracas; – a resistência das zonas fracas é aleatória.

AMODELAÇÃO

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A variação da resistência ao longo do elemento de madeira foi modelada atribuindo um valor de resistência às zonas de madeira limpa e às zonas fracas, aleatoriamente distribuídas. A rotura ocorre sempre nas zonas fracas, devido ao distúrbio provocado na direcção do fio, à concentração de tensões e à diferença entre as propriedades do nó e da madeira circundante. O modelo necessitava dos seguintes dados:

– distribuição estatística da distância da primeira zona fraca;

– correlação e distribuição estatística da distância entre zonas fracas; – correlação e distribuição estatística da resistência das zonas fracas.

Segundo os autores, a distribuição estatística da resistência das zonas fracas é o parâmetro para o qual não existem valores de referência. Ensaios de tracção conduzidos por Lam e Varuglu (1991) sugerem que apenas secções afastadas de, pelo menos, 1,83 m podem ser consideradas estatisticamente independentes. Assim, Czmoch et al. (1991) efectuaram uma análise de sensibilidade de modo a avaliar a influência da suposição de as zonas fracas serem estatisticamente independentes, tal como admitido no modelo de Riberholt e Madsen (1979). Da análise, os autores concluíram que essa suposição era admissível na obtenção da distribuição estatística da resistência das zonas fracas.

Isaksson (1999) apresentou um modelo estatístico para modelação da variabilidade da resistência à flexão de peças de madeira. O modelo tem por base a proposta de Riberholt e Madsen (1979), considerando que a peça de madeira é composta por zonas com defeitos ligadas por segmentos de madeira limpa.

No modelo, a resistência à flexão inter- e intra-elementos foi considerada independente da distância entre secções, sendo obtida por meio de relações lag-K. A correlação lag-K é uma correlação entre uma observação e uma outra a K intervalos. Por exemplo, se existir correlação lag-2 significa que existe uma correlação significativa entre o primeiro e o terceiro troço e entre o segundo e o quarto troço. O modelo desenvolvido tem como variáveis aleatórias:

– distância entre secções com defeitos, seguindo uma distribuição Gamma (η,λ);

– comprimento das secções com defeitos. Este parâmetro foi considerado de 3 formas: i)igual a 150mm, ii) seguindo uma distribuição Beta (γ,η) ou iii) como sendo igual à soma de metade da distância entre duas secções com defeitos adjacentes. Neste último caso deixam de existir secções de madeira limpa;

– resistência à flexão de secções com defeitos, obtida por meio de distribuições normais; – resistência à flexão entre as secções com defeitos. Esta foi obtida de duas formas:

usando o valor da resistência da secção com defeitos mais resistente ou usando correlações com a secção mais fraca.

Da aplicação do modelo obtém-se o perfil de resistência ao longo da viga, sendo a resistência à flexão obtida pelo carregamento máximo que a viga pode suportar, ou seja, até ser igualada

MODELAÇÃOS

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a resistência à flexão de uma zona com defeitos. O autor concluiu que o comprimento das secções com defeitos não era relevante.

Pellicane (1984) estudou a possibilidade de estimar a distribuição de probabilidade da resistência à flexão com base na distribuição de probabilidade do módulo de elasticidade. A distribuição estatística de base foi a Johnson’s Sb. Estudos em madeira serrada revelam que

esta distribuição de probabilidade é a que melhor se ajusta à distribuição estatística do módulo de elasticidade e da resistência à flexão (Pellicane, 1985).

O procedimento seguido pelo autor encontra-se representado na Figura 5.13. Assim, é efectuada a amostragem aleatória dos módulos de elasticidade (B1, B2, B3 e B4), considerando

para o efeito a sua função distribuição de probabilidade, e obtidas as correspondentes distribuições de probabilidade (C1, C2, C3 e C4) para a resistência à flexão, por meio de um

modelo estatístico que correlaciona as duas propriedades mecânicas. A função densidade de probabilidade da resistência à flexão é determinada com base na soma ou integração das funções densidade de probabilidade obtidas para cada valor do parâmetro não destrutivo. Actualmente, existem vários métodos de amostragem implementados em simulações estatísticas. Grande parte desses métodos é baseada em geradores de números aleatórios. No entanto, nesses métodos, a amostragem de valores nem sempre é proporcional à probabilidade de ocorrência. Assim, o autor optou por implementar no modelo um sistema de amostragem estratificada (Pellicane, 1983). Este sistema representa uma melhoria face aos métodos baseados em geradores de números aleatórios ao permitir gerar valores exactamente segundo a sua probabilidade de ocorrência.

Figura 5.13 – Esquema do processo de simulação (Pellicane, 1984)

Para verificação do modelo, Pellicane (1984) efectuou a simulação da função densidade de probabilidade da resistência à flexão, com base na distribuição do módulo de elasticidade, de 418 peças de 50,8x101,6mm de Pseudotsuga. A distribuição obtida apresentou um excelente ajuste relativamente à distribuição da resistência à flexão experimental.

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Em termos de simulação do módulo de elasticidade, Kline et al. (1986) desenvolveram um modelo para gerar a variabilidade desta propriedade ao longo do comprimento de madeira serrada de Western hemlock. Para obtenção da distribuição estatística do módulo de elasticidade, os autores efectuaram a medição desta propriedade em troços de 762mm de vigas de madeira. Foi considerada a correlação entre os módulos de elasticidade dos troços através de correlações Lag-K. As melhores correlações foram obtidas para relações Lag-1 e Lag-2. Os valores do módulo de elasticidade, correlacionados em troços de 762mm, foram gerados segundo o seguinte procedimento:

– uso de um modelo de segunda ordem de Markov, equação (5.9), para geração de módulos de elasticidade em troços de 762mm, preservando as relações Lag-1 e Lag-2; – cálculo da média dos módulos de elasticidade da peça;

– obtenção do rácio entre os módulos de elasticidade gerados e a média obtida no ponto anterior;

– geração de um módulo de elasticidade segundo a sua distribuição estatística.

– o módulo de elasticidade final de cada um dos troços de 762 mm é obtido multiplicando os rácios pelo valor aleatório do módulo de elasticidade obtido no ponto anterior.

i 1 0 1 i 2 i 1 ... m i-m 1 i 1

X X X X (5.9)

Onde:

Xi -Módulo de elasticidade do troço i

βi -Coeficientes das correlações Lag-K

εi+1 -Valor aleatório gerado em função do desvio padrão da distribuição do módulo de

elasticidade