3.4
Propriedades preservadas por estruturas complexas
Concluímos este capítulo estudando outro problema natural das estruturas complexas, re- lacionado com as propriedades que são herdadas de X a qualquer estrutura complexa XI, no sentido de que, se um espaço de Banach real X tem a propriedade P, então toda estrutura complexa XI também possui P. O problema inverso, sobre as propriedades de um espaço de Banach complexo que ainda são válidas no espaço real subjacente, também é natural, porém na maioria dos casos as provas são simples: apenas observando que subespaços complexos ou operadores complexos são, em particular reais. Assim, nosso objetivo nesta seção é mostrar esse tipo de resultados para propriedades nas quais não é claro que exista uma prova direta.
Em geral, nos perguntamos: que tipo de propriedades são herdadas passando para um am- biente complexo? Por exemplo, as topologias de X e XI são equivalentes,
kxk ≤ k|x|k ≤ (1 + kIk)kxk.
Além disso, a identificação canónica entre os espaços duais X∗ e (XI)∗ (i.e., a aplicação que
associa cada f ∈ X∗ a o funcional complexo fC ∈ (XI)∗, definida por f
C(x) = f (x) − if (Ix))
nos permite concluir que as topologias fracas de X e XI também são equivalentes e têm as mesmas sequências convergentes. Portanto, propriedades tais como Schur ou Dunford-Pettis (ver definições 2.3.4, 5.4.3, [1]) são herdadas de X para qualquer estrutura complexa XI. A identificação análoga dos biduais prova que a reflexividade também é herdada.
Em [20], V. Ferenczi prova que se X é um espaço de Banach, então todas as estruturas complexas em X satisfazem P, ou todas as estruturas complexas em X falham P, quando P é qualquer uma das seguintes propriedades: conter uma sequência básica incondicional, ser incondicionalmente saturado, conter um espaço H.I, ser saturado por espaços H.I, ser H.I. Por outro lado, se X tem uma estrutura complexa H.I, então X admite estrutura complexa única ou X tem exatamente duas estruturas complexas que são conjugadas, em [20] são apresentados exemplos dos dois casos. No entanto, a complexificação do espaço real H.I de Gowers e Maurey é H.I como complexo mas seu espaço real subjacente não é H.I.
Como aplicação de Lema3.5, nesta seção provamos que as seguintes propriedades de espaços de Banach são herdadas a suas estruturas complexas.
• Propriedade de aproximação limitada, • G.L-l.u.st,
• ser injetivo,
• ser complementado num espaço dual.
Lembremos que um espaço de Banach X tem a Propriedade de aproximação limitada (B.A.P) se existe uma constante C > 0 tal que para cada > 0, e cada conjunto compacto K ⊆ X, existe um operador de posto finito T : X → X com kT k ≤ C tal que kT x − xk < para cada x em K. Um espaço de Banach com base de Schauder tem B.A.P, porém o recíproco não é verdadeiro [50].
Proposição 3.18. Seja X um espaço de Banach real com a propriedade de aproximação limi- tada. Então X ⊕CX também tem a propriedade de aproximação limitada.
Demonstração. Seja > 0 e K um subconjunto compacto de X ⊕CX. Consideremos as projeções sobre a primeira e segunda coordenada
K1 = P1(K) = {x ∈ X : (x, y) ∈ K para algum y ∈ X},
K2 = P2(K) = {y ∈ X : (x, y) ∈ K para algum x ∈ X}.
Assim, K1 e K2 são imagens de funções contínuas, e portanto compactos. Usando a hipótese,
existe um operador de posto finito T : X → X, tal que kT x − xk < /2 para cada x ∈ K1∪ K2
e kT k ≤ C, onde C é uma constante obtida pelo fato de X ter B.A.P. A aplicação T ⊕ T é C-linear em X ⊕CX e tem posto finito. Também é limitada kT ⊕ T k ≤ 2kT k ≤ 2C, e
kT ⊕ T (x, y) − (x, y)k = k(T x − x, T y − y)k = kT x − xk + kT y − yk < . para todo (x, y) ∈ K. Isto completa a prova.
Corolário 3.19. Seja X um espaço de Banach com B.A.P. Então toda estrutura complexa em X tem B.A.P.
A prova do Corolário segue do Lema 3.5 e do fato clássico que subespaços complementados de espaços com B.A.P também têm B.A.P.
Lembremos que um espaço de Banach X possui G.L-l.u.st (estrutura local incondicional) se existe uma constante C > 0 tal que para cada subespaço F ⊆ X de dimensão finita, o operador inclusão i : F → X pode ser fatorado através de um espaço de Banach E com base incondicional e operadores u : F → E, v : E → X: F u // i E v X
3.4 PROPRIEDADES PRESERVADAS POR ESTRUTURAS COMPLEXAS 39
tal que kukkvku.c(E) ≤ C, onde u.c(E) é a constante incondicional da base de E.
É um problema em aberto saber se a propriedade ter base incondicional é herdada às estru- turas complexas. No entanto, é verdade para a propriedade de ter G.L-l.u.st.
Proposição 3.20. Seja X um espaço real com G.L-l.u.st. Então X ⊕CX tem G.L-l.u.st. Demonstração. Seja F ⊆ X ⊕C X de dimensão finita. Tomemos como antes, F1 = P1(F )
e F2 = P2(F ). Então existe um espaço de Banach E com base incondicional, e operadores
u : span {F1∪ F2} → E, v : E → X tais que o seguinte diagrama comuta
span {F1∪ F2} u // i && E v X
Segue do Lema 3.8 que E ⊕CE tem base incondicional e u.c(E ⊕CE) ≤ u.c(E). Obtemos um diagrama comutativo F u⊕u // i $$ E ⊕CE v⊕v X ⊕CX
tal que ku ⊕ ukkv ⊕ vku.c(E ⊕CE) ≤ 4kukkvku.c(E) ≤ 4C. Isto completa a prova.
Corolário 3.21. Seja X um espaço de Banach real com G.L- l.u.st. Então toda estrutura complexa em X tem G.L-l.u.st.
A prova segue rapidamente do Lema3.5e do fato que subespaços complementados de espaços de Banach com G.L-l.u.st também tem G.L-l.u.st.
Um espaço de Banach X é chamado injetivo se para qualquer par de espaços de Banach W, Z com W ⊆ Z, cada operador T : W → X pode ser estendido a Z, i.e., existe um operador
˜
T : Z → X tal que o seguinte diagrama é comutativo Z ˜ T W i OO T //X
Usando o Teorema de Hahn-Banach é fácil mostrar que `∞ é injetivo. Por outro lado, c0 é um
subespaço de `∞ que não é injetivo, pois em caso contrário, c0 deveria ser complementado em
Proposição 3.22. Seja X um espaço de Banach real injetivo. Então X ⊕CX é injetivo. Demonstração. Sejam W ⊆ Z dois espaços de Banach complexos e um operador T : W → X ⊕C X. Escrevemos T = (T1, T2), onde T1, T2 : W → X são operadores R-linear tais que
T (w) = (T1w, T2w) para cada w ∈ W . É claro que, kTik ≤ kT k (i = 1, 2). Usando a C-
linearidade de T obtemos a relação T2(w) = −T1(iw) para todo w ∈ W . Segue do fato que X é
injetivo, que existe um operador R-linear ˜T1 : ZR → X que estende a T1:
ZR ˜ T1 WR i OO T1 //X
Definamos ˜T : Z → X ⊕CX, por ˜T (z) = ( ˜T1(z), − ˜T1(iz)) para todo z ∈ Z. Claramente, ˜T é
C-linear:
˜
T (iz) = ( ˜T1(iz), ˜T1z) = i( ˜T1(z), − ˜T1(iz)) = i ˜T (z).
˜
T é limitado k ˜T k ≤ 2kT k. Vejamos que ˜T estende a T , seja w ∈ W ˜
T (w) = ( ˜T1(w), − ˜T1(iw)) = (T1(w), −T1(iw)) = (T1(w), T2(w)) = T (w).
Portanto, X ⊕CX é injetivo
Corolário 3.23. Seja X um espaço de Banach real injetivo. Então toda estrutura complexa em X é injetivo.
A prova decorre do fato que subespaços complementados de espaços de Banach injetivos também são injetivos.
Proposição 3.24. Seja X um espaço de Banach real complementado num espaço dual. Então toda estrutura complexa XJ em X é complementada num espaço dual.
Demonstração. Suponhamos que X é um espaço de Banach real complementado no espaço dual Y∗. Então X ⊕CX é complementado em Y∗⊕CY∗ ' (Y ⊕CY )∗. Segue do Lema3.5que qualquer estrutura complexa XJ em X é também complementada no espaço dual (Y ⊕
CY ) ∗.
Concluímos este capítulo listando algumas perguntas abertas nessa linha de pesquisa. 1. Se X é um espaço de Banach real com base de Schauder (incondicional), então toda
estrutura complexa em X tem base de Schauder (incondicional)?
2. Se X é um espaço de Banach isomorfo a seu quadrado, então toda estrutura complexa em X é isomorfa a seu quadrado?
3.4 PROPRIEDADES PRESERVADAS POR ESTRUTURAS COMPLEXAS 41
3. Existe contra-exemplo para o problema de Schroeder-Bernstein para espaços de Banach com base incondicional?
4. Todo subespaço complementado de um espaço com base incondicional tem base incondi- cional?
Capítulo 4
Espaço de Banach com ômega estruturas
complexas
No Capítulo 3mencionamos exemplos de espaços de Banach separáveis sem estrutura com- plexa, com estrutura única, e com pelo menos duas estruturas complexas distintas. Por outro lado, V. Ferenczi [20] construiu um espaço de Banach separável X(C) tal que a estrutura com-
plexa X(C)J, associada a um operador R-linear J, e seu conjugado X(C)−J são as únicas
estruturas complexas em X(C) a menos de isomorfismo. Além disso, cada operador R-linear T em X(C) é da forma T = λId + µJ + S, onde λ, µ são números reais e S é um operador estritamente singular. Ferenczi também provou que o espaço X(C)n tem exatamente n + 1 es- truturas complexas para cada inteiro positivo n. Indo ao extremo, R. Anisca [2] deu exemplos de subespaços de Lp (1 ≤ p < 2) que admitem o continuo de estruturas complexas não isomorfas.
Cabe perguntarmos se existem exemplos de espaços de Banach com exatamente ômega es- truturas complexas diferentes. A primeira abordagem natural para resolver este problema é a construção de uma soma infinita de cópias de X(C). Com o propósito de controlar o número de estruturas complexas, deveria se tomar uma soma uniforme, por exemplo, `1(X(C)). Segue das
propriedades de X(C), que cada operador R-linear T em `1(X(C)) é da forma T = λ(T ) + S,
onde λ(T ) é a parte escalar de T , i.e., uma matriz infinita de operadores em X(C) da forma λi,jId + µi,jJ , e S é uma matriz infinita de operadores estritamente singulares em X(C). é fácil
provar que se T é uma estrutura complexa, então λ(T ) é também uma estrutura complexa. Lembremos que, pela Proposição 3.3, duas estruturas complexas cuja diferença é estritamente singular são equivalentes. Infelizmente, o operador S na representação de T não é necessari- amente estritamente singular, e isso torna muito difícil entender as estruturas complexas em `1(X(C)).
Portanto, se faz necessário considerar uma soma mais ‘rígida’ de cópias de espaços do tipo 43
X(C). Encontramos esta interessante propriedade no espaço não separável Xω1 construído por S.
Argyros, J. Lopez-Abad e S. Todorcevic [7] em 2005. Com base em essa construção apresentamos um espaço de Banach separável e reflexivo Xω2(C) com exatamente uma quantidade enumerável
infinita de estruturas complexas diferentes. Esse espaço admite uma decomposição de Schauder infinito dimensional Xω2(C) = LkXk tal que cada operador R-linear T em Xω2(C) pode ser
escrito da forma T = DT + S, onde S é um operador estritamente singular, DT|Xk = λkIdXk
(λk ∈ C) e (λk)k é uma sequência convergente.
Esta construção também implica a existência de uma família não enumerável de exemplos de espaços de Banach não separável com a propriedade de ter exatamente ω estruturas complexas, e a existência de um espaço de Banach com exatamente ω1 estruturas complexas.
4.1
Construção do espaço X
ω1(C)
Neste capítulo, vamos construir um espaço de Banach complexo Xω1(C) com uma base de
Schauder transfinita bimonotona (eα)α<ω1, tal que cada estrutura complexa I em Xω1(C) seja
da forma I = D + S, onde D é um operador diagonal adequado e S é estritamente singular singular.
Basicamente, o espaço Xω1(C) corresponde à versão complexa do espaço Xω1 construído em
[7] modificando a construção de tal forma que os operadores R-lineares tenham propriedades es-
truturais similares às dos operadores no espaço original Xω1 (i.e. os operadores são perturbações
estritamente singulares de um operador diagonal complexo).
Agora vamos definir a norma de Xω1(C). Para tal fim, definiremos um conjunto de funcionais,
que denotaremos por Kω1(C), do espaço c00(ω1, C). Em seguida, construímos uma norma em
c00(ω1, C) induzida por Kω1(C), e Xω1(C) será o completamento desse espaço métrico.
Começamos fixando duas sequências crescentes (mj)j e (nj)j, as quais serão usadas durante
todo o capítulo. As sequências estão definidas recursivamente da seguinte forma: 1. m1 = 2 e mj+1= m4j;
2. n1 = 4 e nj+1 = (4nj)sj, onde sj = log2m3j+1.
Como podemos ver, os termos das sequências rapidamente tornam-se muito grandes.
4.1 CONSTRUÇÃO DO ESPAÇO Xω1(C) 45
1. O conjunto contém cada e∗α, α < ω1. Para cada φ ∈ Kω1(C) e cada número complexo
θ = λ + iµ com λ e µ números racionais e |θ| ≤ 1, também θφ ∈ Kω1(C). O conjunto é
fechado sobre restrições a intervalos de ω1, i.e., para cada φ ∈ Kω1(C) e cada intervalo I
de ω1, a função φχI ∈ Kω1(C).
2. Para cada {φi, : i = 1, ..., n2j} ⊆ Kω1(C) tal que φ1 < · · · < φn2j, o funcional
φ = 1 m2j n2j X i=1 φi ∈ Kω1(C).
Nesse caso, dizemos que φ é resultado de uma (m−12j , n2j)-operação.
3. Para cada sequência especial (φ1, . . . , φn2j+1) (ver Definição4.14), o funcional
φ = 1 m2j+1 n2j+1 X i=1 φi ∈ Kω1(C).
Nesse caso, dizemos que φ é um funcional especial e que φ é o resultado de uma (m−12j+1, n2j+1)-
operação.
4. é racionalmente convexo, i.e., é fechado sobre combinações convexas racionais. Definimos uma norma em c00(ω1, C) por:
kxk = sup ( X α<ω1 φ(α)x(α) : φ ∈ Kω1(C) ) .
O espaço Xω1(C) é definido como o completamento do espaço normado (c00(ω1, C), k.k).
A definição aqui apresentada do conjunto normante Kω1(C) é similar à apresentada em
[7]. Nós adicionamos a propriedade de ser fechado sobre produtos de números complexos de norma menor o igual que 1 que tem parte real e imaginaria racionais. Isto, juntamente com a propriedade 2 acima, garante a existência de certo tipo de sequências (como `n1-médias e R.I.S) da mesma forma que são construídas para Xω1. Também pela Propriedade 1, segue que a norma
em Xω1(C) está dada por
kxk = sup ( φ(x) = X α<ω1 φ(α)x(α) : φ ∈ Kω1(C), φ(x) ∈ R ) .
Equivalentemente, temos a seguinte formulação implícita para a norma: kxk = max ( kxk∞, sup sup j 1 m2j n2j X i=1 kEixk, E1 < E2 < · · · < En2j ) ∨ sup ( 1 m2j+1 n2j+1 X i=1 φi(Ex) : (φi) n2j+1
i=1 is n2j+1- especial, E intervalo
) .
Cada uma das condições da definição do conjunto normante implica em propriedades do espaço X∗ω1(C). 1. faz que a sequência (eα)α<ω1 seja uma base bimonotona transfinita, 2. garante
a existência de sequências RIS dentro de cada sequência de blocos (satura o espaço com estrutura local incondicional: permite obter cópias de `n
1 em toda parte), 3. satura de estrutura condicional:
o espaço não contém sequências básicas incondicionais, 4. identifica a bola unitária de X∗ω1(C) com o fecho fraco estrela do conjunto normante.
Usando a minimalidade de Kω1(C), cada φ ∈ Kω1(C), possui uma das seguintes formas:
(i) φ é do tipo 0, se φ = ±e∗α,
(ii) φ é do tipo I, se φ = θEf , para f resultado de uma (m−1j , nj)-operação, e E um intervalo.
Nesse caso, dizemos que o peso ω(φ) de φ é mj.
(iii) φ é do tipo II, se φ é uma combinação convexa racional de funcionais do tipo 0 e I. Definição 4.1. Para φ ∈ Kω1(C), dizemos que mj ∈ N é um peso de φ, ou ω(φ) = mj, se φ
pode ser escrito como resultado de uma (m−1j , nj)-operação.
Notemos que φ ∈ Kω1(C), pode ter vários pesos.
Segue da definição do conjunto normante, que a base canônica de Hamel (eα)α<ω1 é uma
base de Schauder transfinita bimonotona de Xω1(C). De fato, pela propriedade 1 para cada
intervalo I de ω1 a projeção PI tem norma 1:
kPIxk = sup f ∈Kω1(C)
|f PIx| = sup f ∈Kω1(C)
|PIf x| ≤ kxk
Além disso, temos que a base (eα)α<ω1 é contrátil e limitadamente completa, a prova segue
das modificações naturais à prova para o caso Xω1 (ver [7, Proposição 4.13]). Em consequência
Xω1(C) é reflexivo.
Proposição 4.2. Kω1(C) ω∗
= BX∗ ω1(C).