Exercício 1:
a)H equivale a G = ⇔ ∀I, I[H] = I[G]
⇔ ∀I, {I[H] = T ⇔ I[G] = T}
I[H] = T = ⇔ I[(∀x)(∀y)p(x,y,z)] = T
⇔ ∀ d ∈ U, <x ← d> I[(∀y)p(x,y,z)] = T
⇔ ∀ d ∈ U, ∀ e ∈ U, <y ← e><x ← d> I[p(x,y,z)] = T ⇔ ∀ e ∈ U, ∀ d ∈ U, <x ← d><y ← e> I[p(x,y,z)] = T ⇔ ∀ e ∈ U, <y ← e> I[(∀x)p(x,y,z)] = T
⇔ I[(∀y)(∀x)p(x,y,z)] = T ⇔ I[G] = T
b)
H equivale a G = ⇔ ∀I, I[H] = I[G]
⇔ ∀I, {I[H] = T ⇔ I[G] = T}
I[H] = T = ⇔ I[(∃x)(∃y)p(x,y,z)] = T
⇔ ∃ d ∈ U, <x ← d> I[(∃y)p(x,y,z)] = T
⇔ ∃ d ∈ U, ∃ e ∈ U, <y ← e><x ← d> I[p(x,y,z)] = T ⇔ ∃ e ∈ U, ∃ d ∈ U, <x ← d><y ← e> I[p(x,y,z)] = T ⇔ ∃ e ∈ U, <y ← e> I[(∃x)p(x,y,z)] = T
⇔ I[(∃y)(∃x)p(x,y,z)] = T ⇔ I[G] = T
c)
H equivale a G = ⇔ ∀I, I[H] = I[G]
⇔ ∀I, {I[H] = T ⇔ I[G] = T}
I[H] = T = ⇔ I[¬(∃x)p(y)] = T
⇔ ∀ d ∈ U, <y ← d> I[p(y)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, <y ← d> I[¬p(y)] = T ⇔ I[(∀y)¬p(y)] = T ⇔ I[G] = T d) H = (∃ x)p(x) G = (∃ y)p(y) I[H] = T ⇔ I[(∃x)p(x)] = T ⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T ⇔ ∃d ∈ U ; pi(d) = T ⇔ ∃d ∈ U ; < y ← d > I[p(y)] = T ⇔ I[(∃y)p(y)] = T ⇔ I[G] = T Logo H equivale a G e) H = (∀ x)p(x) G = (∀ y)p(y) I[H] = T ⇔ I[(∀x)p(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; pi(d) = T ⇔ ∀d ∈ U ; < y ← d > I[p(y)] = T ⇔ I[(∀y)p(y)] = T ⇔ I[G] = T Logo H equivale a G f ) H = (∀ x)(∀ x)p(x) G = (∀ x)p(x) I[H] = T ⇔ I[(∀x)(∀x)p(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[(∀x)p(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; ∀c ∈ U ; < x ← c >< x ← d > I[p(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; ∀c ∈ U ; pi(c) = T ⇔ ∀c ∈ U ; pi(c) = T ⇔ ∀c ∈ U ; < x ← c > I[p(x)] = T ⇔ I[(∀x)p(x)] = T ⇔ I[G] = T Logo H equivale a G
Exercício 2:
a)Suponha por contradição, que H não é válida. Logo, por definição, existe uma interpretação I sobre um dominio U, tal que I[H] = F.
I[H] = F ⇔ I[(∀x)p(x) → p(a)] = F
⇔ I[(∀x)p(x)] = T e I[p(a)] = F
⇔ ∀ d ε U; <x ← d> I[p(x)] = T e I[p(a)] = F ⇔ ∀ d ε U; pI(d) = T e pI(a) = F
b)
Suponha por contradição, que H não é válida. Logo, por definição, existe uma interpretação I sobre um dominio U, tal que I[H] = F.
I[H] = F ⇔ I[p(a) → (∃x)p(x)] = F
⇔ I[p(a)] = T e I[(∃x)p(x)] = F
⇔ ∀ d ε U; <x ← d> I[p(x)] = F e I[p(a)] = T ⇔ ∀ d ε U; pI(d) = F e pI(a) = T
Exercício 3:
H = (∀x)(¬(∀y)q(x, y)) → (¬(∀y)q(y, y))
I[H]=F ⇔ I[(∀x)(¬(∀y)q(x, y)) → (¬(∀y)q(y, y))] = F
⇔ I[(∀x)(¬(∀y)q(x, y))]=T e I[¬(∀y)q(y, y)] = F
⇔ ∀ d ∈ U; <x←d> I[¬ (∀ y) q(x,y)]=T e I[(∀ y) q(y,y)] = T
⇔ ∀ d ∈ U; <x←d> I[(∀ y) q(x,y)]=F e ∀ c ∈ U; <y←c> I[q(y,y)] = T
⇔ ∀ d ∈ U; ∃ e ∈ U; <y←e> <x←d> I[q(x,y)]=F e ∀ c ∈ U; <y←c> I[q(y,y)] = T ⇔ ∀ d ∈ U; ∃ e ∈ U; qi(d,e) = F e ∀ c ∈ U; qi(c,c)=T
Seja por exemplo, uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais, onde: I[q(x,y)] = T ⇔ xi = yi
∀ d ∈ U; ∃ e ∈ U; d 6= e e ∀ c ∈ U; c = c
Exercício 4:
a) b) c) d) Falsa.Seja U = conjunto dos números naturais e I [p(x,y)] = T ⇔ y é sucessor de x e)
Falsa. Análoga à resposta da letra d). f ) Seja H = (∃x) (p(x) → r(x)) e G = (∀x) (p(x) → (∃x) (r(x) I[H] = F ⇔ I[(∃x) (p(x) → r(x))] = F ⇔ ∀ d ∈ U, <x ← d> I[(p(x) → r(x)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, <x ← d> I[(p(x)] = T e I[(r(x)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, <x ← d> I[(p(x)] = T e ∀ d ∈ U, <x ← d> I[(r(x)] = F ⇔ I[(∀x) (p(x)] = T e I[(∃x) (r(x)] = F ⇔ I[G] = F.
Logo I[H] = F ⇔ I[G] = F, e assim pelo lema 10.2 (pag. 185), I[H] = I[G]. Dessa forma concluímos que H equivale a G.
g)
(∀x)(p(x) ∨ r(x)) → ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x))
Por definição, (∀x)(p(x) ∨ r(x)) → ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) é válida se, e somente se, ∀ int. I,
I[(∀x)(p(x) ∨ r(x)) → ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x))] = T
Mas, (∀x)(p(x) ∨ r(x)) implica ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) se, e somente se, ∀ int. I, se I[(∀x)(p(x) ∨
r(x))] = T , então I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x))] = T
Então, seja uma int. I, sobre um domínio U ; I[(∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T .
I[(∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[(p(x) ∨ r(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T e/ou
< x ← d > I[r(x)] = T
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T e/ou ∀d ∈ U ; < x ← d > I[r(x)] = T ⇒ I[(∀x)p(x)] = T ou I[(∀x)r(x)] = T ⇔ I[(∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)] = T
Portanto, se (∀x)(p(x)∨r(x)) implica ((∀x)p(x)∨(∀x)r(x)), então I[(∀x)(p(x)∨r(x)) → ((∀x)p(x)∨ (∀x)r(x))] = T , ou seja, (∀x)(p(x) ∨ r(x)) → ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) é válida.
h)
((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) → (∀x)(p(x) ∨ r(x))
Por definição, ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) → (∀x)(p(x) ∨ r(x)) é válida se, e somente se, ∀ int. I,
I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) → (∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T
Mas, ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) implica (∀x)(p(x) ∨ r(x)) se, e somente se, ∀ int. I, se I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x))] = T , então I[(∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T
Então, seja uma int. I, sobre um domínio U ; I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x))] = T
I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)] = T ⇔ I[(∀x)p(x)] = T e/ou I[(∀x)r(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T e/ou ∀d ∈ U ; < x ← d > I[r(x)] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] e/ou < x ← d > I[r(x)] = T ⇒ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] ou < x ← d > I[r(x)] = T ⇔ I[(∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T
Portanto, se ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) implica (∀x)(p(x) ∨ r(x)), então I[((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) → (∀x)(p(x) ∨ r(x))] = T , ou seja, ((∀x)p(x) ∨ (∀x)r(x)) → (∀x)(p(x) ∨ r(x)) é válida.
i)
(∃x)(p(x) ↔ r(x)) → ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x))
Por definição, (∃x)(p(x) ↔ r(x)) → ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x)) é válida se, e somente se, ∀ int. I,
I[(∃x)(p(x) ↔ r(x)) → ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x))] = T
Mas, (∃x)(p(x) ↔ r(x)) implica ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x)) se, e somente se, ∀ int. I, se I[(∃x)(p(x) ↔
r(x))] = T , então I[((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x))] = T
Então, seja uma int. I, sobre um domínio U ; I[(∃x)(p(x) ↔ r(x))] = T
I[(∃x)(p(x) ↔ r(x))] = T ⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[p(x) ↔ r(x)] = T
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] é igual a < x ← d > I[r(x)]
⇒ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[p(x)] = T é igual a ∃d ∈ U ; < x ← d > I[r(x)] = T
⇔ I[(∃x)p(x)] = T é igual I[(∃x)r(x)] = T ⇔ I[(∃x)p(x)] = I[(∃x)r(x)] = T
⇔ I[(∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x)] = T
Portanto, se (∃x)(p(x) ↔ r(x)) implica ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x)), então I[(∃x)(p(x) ↔ r(x)) → ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x))] = T , ou seja, (∃x)(p(x) ↔ r(x)) → ((∃x)p(x) ↔ (∃x)r(x)) é válida. j) k) l) m) n) o) p)
Seja uma interpretação I sobre o domínio U , tal que I[H] = F
I[H] = F ⇔ I[(∀y)p(y) → (∀x)p(x)] = F ⇔ I[(∀y)p(y)] = T e I[(∀x)p(x)] = F
⇔ ∀d ∈ U, < y ← d > I[p(y)] = T e ∃s ∈ U, < x ← s > I[p(x)] = F
Logo, se I[H] = F , então H é tautologia e é válida. q)
Seja uma interpretação I, sobre um domínio U, tal que I[H] = F
I[H] = F ⇔ I[(∃x)p(x) → p(x)] = F ⇔ I[(∃x)p(x)] = T e I[p(x)] = F
Logo, se I[H] = F , então H é tautologia e é válida. r)
Seja uma interpretação I, sobre um domínio U, tal que I[H] = F
I[H] = F ⇔ I[(∀x)p(x) → p(x)] = F ⇔ I[(∀x)p(x)] = T e I[p(x)] = F
s)
I[H]=F ⇔ I[p(x)]→(∃ x)p(x)]=F
⇔ I[p(x)]=T e I[(∃ x)p(x)]=F
⇔ I[p(x)] = T e ∀ d ∈ D, <x ← d> I[p(x)]=F ⇔ ∀ d ∈ D pI(xI) = T e pI(d) = F
A afirmação acima é falsa. Logo a suposição inicial é falsa, o que significa que I[H] = T.
Exercício 5:
a)Sim. Fazendo H = p(y) e G = p(y) Fazendo A = (∀x)(H → G) Fazendo B = (∃x)(H → G)
A ↔ B ⇔ ∀ int I, I[A]=I[B] ⇔ ∀ int. I, I[A]=F ⇔ I[B]=F
Mas I[A]=F ⇔ I[(∀x)(H → G)] = F
⇔ I[(∀x)(p(y) → p(y))] = F
⇔ ∃d ∈ D; < x ← d > I[p(y)] = T e < x ← d > I[p(y)] = F ⇔ ∃ d ∈ D; pI(yI)=T e pI(yI)=F
Afirmação Falsa logo I[A]=T
I[B] = F ⇔ I[(∃)(H → G)] = F
⇔ ∀d ∈ D; < x ← d > I[H]=T e < x ← d > I[G]=F ⇔ ∀d ∈ D; < x ← d > I[p(y)]=T e < x ← d > I[p(y)]=F ⇔ ∀d ∈ D; pI(yI)=T e pI(yI)=F
A afirmação acima é falsa, logo, I[B]=T Como I[A] = I[B], então I[H] = T b)
Exercício 6:
Exercício 7:
a)(∀˘x)G e G
(∀˘x) equivale a G ⇔ para toda interpretaçao I, I[(∀x)G] = I[G].
Mas, I[(∀x)G] = I[G] ⇔ {I[(∀x)G] = T ⇔ I[G] = T }
I[(∀x)G] = T ⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[G] = T
⇔ ∀d ∈ U ; I[G] = T (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[G] = T
b)
(∃ˇx)G e G
((∃x)G) equivale a G ⇔ para toda interpretaçao I, I[(∃x)G] = I[G]. Mas, I[(∃x)G] = I[G] ⇔ {I[(∃x)G] = T ⇔ I[G] = T }
I[(∃x)G] = T ⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[G] = T
⇔ ∃d ∈ U ; I[G] = T (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[G] = T
c)
(∀ˇx)(H ∧ G) e ((∀ˇx)H ∧ G) E1= (∀x)(H ∧ G)
E2= ((∀x)H ∧ G)
E1equivale E2⇔ para toda interpretação I, I[E1] = I[E2]. Mas, I[E1] = I[E2] ⇔ {I[E1] = T ⇔ I[E2] = T }
I[E1] = T ⇔ I[(∀x)(H ∧ G)] = T
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H ∧ G] = T
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H] = T e < x ← d > I[G] = T
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H] = T e I[G] = T (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[(∀x)H] = T e I[G] = T
d)
(∃ˇx)(H ∧ G) e ((∃ˇx)H ∧ G) E1 = ((∃x)H ∧ G)
E2 = (∃x)(H ∧ G)
E2 equivale E1 ⇔ para toda interpretação I, I[E0] = I[E1]. Mas, I[E2] = I[E1] ⇔ {I[E2] = T ⇔ I[E7] = T }
I[E1] = T ⇔ I[(∃x)(H ∧ G)] = T
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H ∧ G] = T
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H] = T e < x ← d > I[G] = T
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H] = T e I[G] = T (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[(∃x)H] = T e I[G] = T ⇔ I[E1] = T e) (∀ˇx)(H ∨ G) e ((∀ˇx)H ∨ G) E1 = ((∀x)H ∨ G) E2 = (∀x)(H ∨ G)
E2 equivale E1 ⇔ para toda inperpretação I, I[E2] = I[E1]. Mas, I[E2] = I[E1] ⇔ {I[E2] = F ⇔ I[E1] = F }
I[E2] = F ⇔ I[(∀x)(H ∨ G)] = F
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H ∨ G] = F
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H] = F e < x ← d > I[G] = F
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[H] = F e I[G] = F (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[(∀x)H] = F e I[G] = F ⇔ I[E1] = F f ) (∃ˇx)(H ∨ G) e ((∃ˇx)H ∨ G) E1 = ((∃ˇx)H ∨ G) E2 = (∃ˇx)(H ∨ G)
E2 equivale E1 ⇔ para toda interpretação I, I[E2] = I[E1]. Mas, I[E2] = I[E1] ⇔ {I[E2] = F ⇔ I[E1] = F }
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H ∨ G] = F
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H] = F e < x ← d > I[G] = F
⇔ ∀d ∈ U ; < x ← d > I[H] = F e I[G] = F (Como x não ocorre livre em G) ⇔ I[(∃x)H] = F e I[G] = F
⇔ I[E1] = F g)
E1 = (∀ˇx)(H → G) e E2 = ((∃ˇx)H → G) considerando que < x ← d > I[G] = T ⇔ I[G] = T
E1 eq. E2 ⇔ ∀ int. I, I[E1] = F ⇔ I[E2] = F
I[E1] = F ⇔ I[(∀ˇx)(H → G)] = F ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[H → G] = F ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[H] = T e < x ← d > I[G] = F ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[H] = T e I[G] = F ⇔ I[(∃ˇx)H] = T e I[G] = T ⇔ I[E2] = F h) E1 = (∀ˇx)(G → H) e E2 = (G → (∀ˇx)H) E1 eq. E2 ⇔ ∀ int. I, I[E1] = F e I[E2] = F I[E1] = F ⇔ I[(∀ˇx)(G → H)] = F ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[(G → H)] = F ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[G] = T e < x ← d > I[H] = F ⇔ ∃ d ∈ U, I[G] = T e < x ← d > I[H] = F ⇔ I[G] = T e I[(∀ˇx)H] = F ⇔ I[(G → (∀ˇx)H)] = F ⇔ I[E2] = F i) E2 = (∃x)(H → G) e E1 = ((∀x)H → G) E2 eq. E1 ⇔ ∀ int.I, I[E2] = F ⇔ I[E1] = F I[E2] = F ⇔ I[(∃x)(H → G)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[H → G] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[H] = T e < x ← d > I[G] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[H] = T e I[G] = F ⇔ I[(∀x)H] = T e I[G] = F ⇔ I[E1] = F
j)
E1 = (∃ˇx)(G → H) e E2 = (G → (∃ˇx)H) E2 eq. E1 ⇔ ∀ int.I, I[E1] = F e I[E2] = F I[E1] = F ⇔ I[(∃ˇx)(G → H)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[G → H] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[G] = T e < x ← d > I[H] = F ⇔ I[G] = T e I[(∃ˇx)H] = F ⇔ I[G− > (∃ˇx)H] = F ⇔ I[E2] = F
Exercício 8:
a) E1 = (∀ x)(H ∧ G) e E2=(∀ x)H ∧ (∀ x)E1 equivale a E2 ⇔ ∀ interpretação I, I[E1]=T ⇔ I[E2]=T I[E1]=T ⇔ I[(∀ x)(H ∧ G)]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[(H ∧ G)]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H]=T e <x ←- d> I[G]=T ⇔ I[(∀ x) H]=T e I[(∀ x) G]=T ⇔ I[(∀ x) H ∧ (∀ x) G]=T ⇔ I[E2]=T b) E1 = (∀ x)(H ∨ G) e E2=(∀ x)H ∨ (∀ x)G
E2 implica E1 ⇔ ∀ interpretação I, Se I[E2]=T então I[E1]=T I[E2]=T ⇔ I[(∀ x)H ∨ (∀ x)G]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H ∨ (∀ x)G]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H]=T ou I[(∀ x)G]=T ⇔ ∀ d ∈ U, ∀ c ∈ U, <x ←- d> I[H]=T ou <x ←- c> I[G]=T ⇒ ∀ b ∈ U, <x ←- b> I[H ∨ G]=T ⇔ I[(∀ x)(H ∨ G)]=T ⇔ I[E1]=T
E1 não implica E2 ⇔ ∀ interpretação I, Se I[E1]=T então I[E2]=F I[E1]=T ⇔ I[(∀)(H ∨ G)]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H ∨ G]=T ⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H]=T ou <x ←- d> I[G]=T ⇔ I[(∀ x) H]=T ou I[(∀ x) G]=T ⇔ I[(∀ x) H ∨ (∀ x) G]=T ⇔ I[E2]=T
c)
E1= (∃ x)(H ∨ G) e E2=(∃ x) H ∨ (∃ x) G, então E1 equivale E2. E1 equivale E2 ⇔ ∀ interpretação I, I[E1]=I[E2]
⇔ ∀ interpretação I, I[E1]=F ⇔ I[E2]=F
I[E1]=F ⇔ I[(∃ x)(H ∨ G)]=F
⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H ∨ G]=F
⇔ ∀ d ∈ U, <x ←- d> I[H]=F e <x ←- d> I[G]=F ⇔ I[(∃ x)H]=F e I[(∃ x)G]=F
d)
E1eq.E2 ⇔ ∀ int. I, I[E1] = F e I[E2] = F I[E1] = F ⇔ I[(∃ˇx)(H → G)] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[H → G] = F ⇔ ∀ d ∈ U, < x ← d > I[H] = T e < x ← d > I[G] = F ⇔ I[(∀ˇxH) → (∃ˇx)G] = F ⇔ I[E2] = F e)
Se E1 = (∃ˇx)(H → G) e E2 = (∀ˇx)H → (∀ˇx)G, então E2 implica E1, mas E1 não implica E2. E2 implica E1 ⇔ ∀ int. I, se I[E2] = T, ento I[E1] = T
I[E2] = T ⇔ I[(∃ˇx)(H → G)] = T ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[H → G] = T ⇔ ∃ d ∈ U, < x ← d > I[H] = F e < x ← d > I[G] = F ⇔ I[(∀x)H] = F e I[(∀x)G] = F ⇔ I[(∀x)H → (∀x)G] = T ⇔ I[E2] = T f )
E1 não implica em E2, portanto I[E1] = T e I[E2] = F .
Suponha o contra exemplo no universo dos números natuarais.
I[p(x)] = T ⇔ xI divisvel por 3. I[q(x)] = T ⇔ xI mpar.
Nesse caso, I[(∀x)(p(x) → q(x))] = T
⇔ ∀ d ∈ N, < x ← d > I[p(x)] = T e < x ← d > I[q(x)] = T ou
⇔ ∀ d ∈ N, < x ← d > I[p(x)] = F e < x ← d > I[q(x)] = F ou
Exercício 9:
a)∀d ∈ D, < x ← d > I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = I[(∃y)(∀x)p(x, y)]
pelo lema 10.1
< x ← d > I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = I[(∃y)(∀x)p(x, y)]
se e somente se,
< x ← d > I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = T ⇔ I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = T
mas
< x ← d > I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = T ⇔ ∃ c ∈ U, < y ← c >< x ← d > I[(∀x)p(x, y)] = T
⇔ ∃ c ∈ U, ∀ c ∈ U, < x ← c >< y ← c >< x ← d > I[p(x, y)] = T ⇔ I[(∃y)(∀x)p(x, y)] = T cqd.
b)
∀d ∈ D, < x ← d > I(∀x)p(x, y)] = I(∀x)p(x, y)]
pelo lema 10.1
< x ← d > I(∀x)p(x, y)] = I(∀x)p(x, y)]
se e somente se,
< x ← d > I(∀x)p(x, y)] = T ⇔ I(∀x)p(x, y)] = T
mas
< x ← d > I(∀x)p(x, y)] = T ⇔ I∀ c ∈ U, < x ← c >< x ← d > I[p(x, y)] = T ⇔ I(∀x)p(x, y)] = T cqd.
c)
∀d ∈ D, < x ← d > I[q(y) = I[q(y)] pelo lema 10.1
< x ← d > I[q(y) = I[q(y)]
se e somente se,
< x ← d > I[q(y) = T ⇔ I[q(y)] = T
mas,
Exercício 10:
a) b)Exercício 11:
a) H = (∀ x)(∃ z)(∃ y) p(x,z,y) Hs = (∀ x)p(x,g(x),f(x))I[H] = F ⇔ I[(∀x)(∃z)(∃y)p(x, z, y)] = F
⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[(∃z)(∃y)p(x, z, y)] = F
⇔ ∃d ∈ U ; ∀b ∈ U ; < z ← b >< x ← d > I[(∃y)p(x, z, y)] = F
⇔ ∃d ∈ U ; ∀b ∈ U ; ∀c ∈ U ; < y ← c >< z ← b >< x ← d > I[p(x, z, y)] = F ⇔ ∃d ∈ U ; ∀b ∈ U ; ∀c ∈ U ; pi(d, b, c) = F
Portanto, existe um d ∈ U tal que para qualquer escolha de b e c, temos que pi(d,b,c) = F. Dados f e g funções tais que: fi(d)=c e gi(d)=b, logo pi(d,gi(d),fi(d))=F
⇔ ∃d ∈ U ; ∀b ∈ U ; ∀c ∈ U ; pi(d, b, c) = F
⇒ ∃d ∈ U ; pi(d, gi(d), f i(d)) = F , onde f e g sao funções tais que: fi(d)=c e gi(d)=b ⇔ ∃d ∈ U ; < x ← d > I[p(x, g(x), f (x))] = F
⇔ I[(∀x)p(x, g(x), f (x))] = F ⇔ I[Hs] = F
Como I e uma intepretação qualquer, concluímos que para toda interpretação I, I[Hs]=F. Portanto, se H e insatisfatível, então Hs e insatisfatível.
b)
Usa indução no comprimento das fórmulas.
Exercício 12:
a)b) c)
Exercício 13:
a)¬(∀ *)H equivale a (∃ *)¬ H ⇔ ∀intI, I[¬(∀∗)H] = I[(∃∗)¬H]
⇔ ∀intI, I[¬(∀∗)H] = T ⇔ I[(∃∗)¬H] = T
I[¬(∀∗)H] = T ⇔ I[(∀∗)H] = F ⇔ I[(∀x1)...(∀xn)H] = F ⇔ ∃d1 ∈ U ; ...; ∃dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[H] = F ⇔ ∃d1 ∈ U ; ...; ∃dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[¬H] = T ⇔ I[(∃x1)...(∃xn)¬H] = T ⇔ I[(∃∗)¬H] = T b) ¬(∃ *)H equivale a (∀ *)¬ H ⇔ ∃intI, I[¬(∃∗)H] = I[(∀∗)¬H]
⇔ ∃intI, I[¬(∃∗)H] = T ⇔ I[(∀∗)¬H] = T
I[¬(∃∗)H] = T ⇔ I[(∃∗)H] = F ⇔ I[(∃x1)...(∃xn)H] = F ⇔ ∀d1 ∈ U ; ...; ∀dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[H] = F ⇔ ∀d1 ∈ U ; ...; ∀dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[¬H] = T ⇔ I[(∀x1)...(∀xn)¬H] = T
⇔ I[(∀∗)¬H] = T
c)
(∀ *)H é válida se, e somente se H é válida
∀intI, I[(∀∗)H] = T ⇔ I[H] = T I[(∀∗)H] = T ⇔ I[∀x1)...(∀xn)H] = T
⇔ ∀d1 ∈ U ; ...; ∀dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[H] = T ⇔ I[H] = T
Como H é válida, logo não e necessário interpretar o quantificador universal para decidir sobre sua validade, assim,(∀ *) H também e válida.
d)
(∃ *)H é satisfatível se, e somente se H é satisfatível
∃intI, I[(∃∗)H] = T ⇔ I[H] = T I[(∃∗)H] = T ⇔ I[∃x1)...(∃xn)H] = T
⇔ ∃d1 ∈ U ; ...; ∃dn ∈ U ; < xn ← dn > ... < xn ← dn > I[H] = T ⇔ I[H] = T
e)
H ` G ⇔ ∀ int I; I[H]=T então I[G]=T
⇔ ∀intI; I[H → G] = T ⇔ ∀intI; I[(∀∗)H → G] = T f ) H = G ⇔ ∀ int I; I[H]=I[G] ⇔ ∀intI; I[H ↔ G] = T ⇔ ∀intI; I[(∀∗)H ↔ G] = T
Exercício 14:
a) b) c) d)Exercício 15:
a) H = (p(x) ∨ ¬p(x)). b) H = (p(a) ∨ ¬p(a)). c) H = (p(x) ∨ ¬(∀x)p(x)). d)Não. Se uma dada fórmula é válida, então a insercão o quantificador universal não altera sua validade.
Exercício 16:
a) b) c)Exercício 17:
a) b) c) d)Exercício 18:
a) b) c) d) e) f ) g)Toda mulher bonita, inteligente e sensível é observada. Nenhuma filha de Sr. Arnaldo é observada. Mulher que não é observada não se casa, portanto as filhas do Sr. Arnaldo não se casarão.
Seja I uma interpretação sobre um conjunto de pessoas. I[p(x)] = T ⇔ xI é mulher bonita, inteligente e sensível. I[q(x)] = T ⇔ xI é observada
I[r(x,y)] = T⇔ xI é filha de yI
I[a] = Arnaldo
I[s(x)] = T ⇔ xI se casa.
h)
Se há fé há amor. Se há amor há paz. Se há paz há Deus.Se há Deus nada faltará. Seja I uma interpretação sobre os sentimentos de uma pessoa.
I[p(x)] = T ⇔ xI tem fé. I[q(x)]=T ⇔ xI tem amor. I[r(x)]=T ⇔ xI tem paz. I[s(x)]=T ⇔ xI tem Deus. I[p1(x)]=T ⇔ nada faltará a xI.
((∃ x)(p(x)→ q(x)))∧ ((∃ x) (q(x)→ r(x)) )∧ (∃ x)(r(x)→ s(x))∧(∃ x s(x)→ p1(x) ) i)
Quem não se ama não ama ninguém
Seja I uma interpretação sobre um conjunto de Pessoas: I[p(x,y)] = T ⇔ xI não ama yI
(∃x)(∀x)(¬(p(x, x) → ¬p(x, y)) j)
Uma condição necessária e suficiente para que um individuo seja produtivo é que ele seja esforçado, trabalhe muito e tenha inspirações.
Seja I uma interpretação sobre o conjunto de pessoas tal que I[p(x)]=T ⇔ xI é produtivo, I[q(x)]=T⇔ xI é esforçado, trabalhe muito e tenha inspirações. A tradução da sentença na lógica de predicados é H=(∀x)(p(x)↔ q(x)).
Supondo I[H]=F
⇔ I[(∀ x)(p(x)↔ q(x))] = F
Mas I[(∀x)(p(x)↔ q(x))] = F ⇔ ∃ d ∈ D, <x← d> I[p(x)↔ q(x)] =F
⇔ ∃ d ∈ D, <x← d> I[p(x)]=T e <x← d> q(x)] =F ou ainda ⇔ ∃d ∈ D, <x← d> I[p(x)]=F e <x← d> q(x)] =T ⇔ ∃d ∈ D, pI(d)=T e qI(d)=F ou ainda ⇔ ∃d ∈ D, pI(d)=F e qI(d)=T
Acima não aconteceu nenhum absurdo, logo é possível ter interpretação falsas. Supondo a sentença verdadeira, também não é possível encontrar nenhum absurdo. Conclusão: A tradução da senteça pode nos dar interpretações verdadeiras e interpretações falsas. O que nos permite dizer que é satisfatível, mas não é tautologia.
Exercício 19:
H1 = Toda mulher dócil tem um amado.
H2 = Se existe mulher dócil, toda mulher tem um amado. Seja I uma interpretação sobre o conjunto das pessoas tal que I[p(x)] = T ⇔ xI é mulher I[s(x)] = T ⇔ xI é dócil I[q(x)] = T ⇔ xI é homem I[r(x,y)] = T ⇔ xI ama yI H1 = (∀x)((p(x) ∧ s(x)) → (∃y)(q(y) ∧ r(y, x))) H2 = (∃x)(p(x) ∧ s(x)) → (∀x)(∃y)(q(y) ∧ r(y, x)) a)
H1 não implica H2, logo a afirmação é falsa. b)
H2 implica H1.
Exercício 20:
A sentença é representada por: H = ((∃x)(p1(x) ∧ r(x) ∧ ¬s(x)) ∧ (∀x)(p1(x) → (p(x) ∧ r(x))) ∧ (∀x)(q(x) → r1(x))) → (∃x)(p(x) ∧ r(x) ∧ ¬q(x))