A “prova dos noves fora”, em tempos passados, era usada para verificar se o resultado de uma soma estava correta. Por exemplo, para verificar-se que 5782 + 4291 = 9973, pelo m´etodo da “prova”, deve-se ir somando os algarismos do primeiro membro da igualdade e subtraindo 9 sempre que a soma for maior ou igual a 9; faz-se o mesmo para os algarismos do segundo membro e, no final, comparar os resultados obtidos. Para os algarismos do primeiro membro, temos:
3 + 8 + 2 + 4 + 2 + 9 + 1 = 11 + 2 + 4 + 2 + 9 + 1 → 2 + 2 + 4 + 2 + 9 + 1 = 4 + 4 + 2 + 9 + 1 = 8 + 2 + 9 + 1 = 10 + 9 + 1→ 1 + 9 + 1 = 10 + 1 → 1 + 1 = 2
Para os algarismos do segundo membro, temos: 9 + 9 + 7 + 3→ 9 + 7 + 3 → 7 + 3 = 10 → 1
Comparando os resultados encontrados, como 1 ̸= 2, ent˜ao a conta est´a errada.
Utilizemos as congruˆencias para avaliar a validade do m´etodo.
Se m ´e um inteiro positivo, ent˜ao:
m = an10n+ an−110n−1+ ... + a110 + a0,
em que cada ai ∈ Z e 0 ≤ ai< 10. Assim,
m = an(9 + 1)n+ an−1(9 + 1)n−1+ ... + a1(9 + 1) + a0 =
an(9cn+ 1) + an−1(9cn−1+ 1) + ... + a1(9c1+ 1) + a0=
9(ancn+ an−1cn−1+ . . . + a1c1) + (an+ an−1+ . . . + a1+ a0).
Logo, m ≡ (an + an−1 + . . . + a1 + a0)(mod 9), isto ´e, m e
an+ an−1+ . . . + a1+ a0 apresentam o mesmo resto na divis˜ao
por 9.
Assim, em Z9 temos 1599 = 1 + 5 + 9 + 9 = 24 = 2 + 4 =
6, isto ´e, o resto da divis˜ao de 1599 por 9 ´e 6. Como a+b = a + b e a.b = ab, ent˜ao podemos aplicar a “prova dos noves fora” para saber se o resultado de opera¸c˜oes cont´em algum erro.
Exemplo 9.16 Verificar se 453 + 751 = 1104 e 453 · 751 =
340.303
453 + 751 = 4 + 5 + 3 + 7 + 5 + 1 = 3 + 4 = 7; 453· 751 = 4 + 5 + 3 · 7 + 5 + 1 = 3 · 4 = 12 = 3.
s˜ao, respectivamente, 7 e 3. Agora, como o resto das divis˜oes de
1104 e 340.303 por 9 s˜ao, respectivamente, 6 e 4, ent˜ao, ambas as opera¸c˜oes est˜ao incorretas.
Esse processo ´e ´util para se verificar se a conta est´a errada, por´em ele n˜ao garante que a conta esteja correta. Por exemplo, a conta 1836 + 4527 = 6453 est´a errada, mas passa pela “prova dos noves fora”.
Equa¸c˜oes da forma ax+by = c, em que a, b e c s˜ao n´umeros inteiros, com a ̸= 0 ou b ̸= 0, s˜ao conhecidas como equa¸c˜oes diofantinas lineares, em virtude de Diofante de Alexandria ter sido o primeiro a se ocupar deste tipo de equa¸c˜ao.
Estaremos interessados em solu¸c˜oes inteiras para essas equa¸c˜oes, isto ´e, em pares de inteiros x e y que satisfa¸cam a equa¸c˜ao ax + by = c.
Nem toda equa¸c˜ao diofantina possui solu¸c˜oes inteiras. Por exemplo dada a equa¸c˜ao 6x + 10y = 327, para valores intei- ros para x e y, obtemos, no primeiro membro, um n´umero par, enquanto o segundo membro ´e um n´umero ´ımpar.
10.1 Solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diofantinas lineares
O teorema seguinte apresenta condi¸c˜oes para a existˆencia de solu¸c˜oes.
Teorema 10.1 Sejam a, b, c ∈ Z, com a ̸= 0 ou b ̸= 0 e d =
mdc(a, b). A equa¸c˜ao ax + by = c tem solu¸c˜ao se, e somente se, d|c.
Demonstra¸c˜ao: (⇒) Sejam x e y solu¸c˜oes de inteiros para a
equa¸c˜ao ax+by = c. Como d = mdc(a, b), ent˜ao d|a e d|b. Logo, pelo Teorema 4.1, d|(ax + by) = c.
(⇐) Se d|c, ent˜ao existe e ∈ Z tal que c = ed. Como d =
mdc(a, b), pelo Teorema 7.1, existem r e s inteiros tais que ra + sb = d. Assim, era + esb = ed = c. Logo, x = er e y = es ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ax + by = c.
Corol´ario 10.2 Sejam a, b, c ∈ Z, com a ̸= 0 ou b ̸= 0. Se
Corol´ario 10.3 Sejam a, b∈ Z, com a ̸= 0 ou b ̸= 0. A equa¸c˜ao
ax + by = 1 tem solu¸c˜ao se, e somente se, mdc(a, b) = 1.
O resultado a seguir apresenta o formato de todas as solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao diofantina, caso elas existam.
Teorema 10.4 Seja ax+by = c uma equa¸c˜ao diofantina tal que d = mdc(a, b) divida c. Se r e s s˜ao inteiros tais que d = ra + sb, ent˜ao:
(i) o par x0 = r·
c
d, y0 = s· c
d´e uma solu¸c˜ao para ax+by = c; (ii) as solu¸c˜oes (x, y) s˜ao dadas por x = x0+ t·
b
d e y = y0− t ·
a
d, t∈ Z.
Demonstra¸c˜ao: Vamos considerar a ̸= 0 e b ̸= 0, pois o caso
em que um deles ´e zero ´e elementar. (i) Substituindo x por x0= r·
c d e y por y0 = s· c d em ax + by, obtemos a· rc d+ b· s c d = (ar + bs)· c d = d· c d = c. Assim, o par
(x0, y0) ´e uma solu¸c˜ao para ax + by = c.
(ii) Sejam x, y inteiros tais que ax + by = c. Desde que ax0 +
by0 = c, ent˜ao ax+by = a·x0+b·y0. Logo, a·(x−x0) = b·(y0−y)
(1). Como d = mdc(a, b), ent˜ao d|a e d|b, ou seja, existem os inteiros a1 e b1 de maneira a = a1 · d e b = b1 · d (2). Pelo
Corol´ario 7.3, mdc(a1, b1) = 1 (3). De (1) e (2) temos que
a1 · (x − x0) = b1 · (y0 − y). Assim, a1|b1 · (y0 − y) (4). Por
(3) e (4) e pelo Teorema 7.4, a1|(y0− y), ou seja, existe t ∈ Z
tal que y0 − y = t · a1, isto ´e, y = y0 − t · a1 = y0 − t ·
a d. Substituindo y0−y por t·a1 na igualdade a1·(x−x0) = b1·(y0−y),
obtemos a1· (x − x0) = b1 · t · a1. Como a1 ̸= 0 (pois estamos
considerando a e b diferentes de 0), ent˜ao x−x0 = b1·t, ou seja,
x = x0+ t· b1= x0+ t·
b d.
Por outro lado, para x = x0+ t· b d, y = y0− t · a d e t∈ Z temos ax + by = a(x0+ t. b d) + b(y0− t · a d) = ax0+ by0= c, ou seja, (x, y) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
Exemplo 10.1 Encontrar todas as solu¸c˜oes inteiras da equa¸c˜ao
15x− 51y = 42.
Nota-se, neste caso, que a = 15, b = −51 e d = mdc(a, b) = 3.
Precisamos encontrar r e s tais que 15r + (−51)s = 3:
51 = 3· 15 + 6 ⇒ 6 = 51 − 3 · 15; 15 = 2· 6 + 3 ⇒ 3 = 15 − 2 · 6; Assim, 3 = 15−2·6 = 15−2·(51−3·15) = 7·15−2·51 = 15· 7 + (−51) · 2, ou seja, r = 7 e s = 2. Ent˜ao, x0 = r· c d = 7· 42 3 = 98, e y0 = s· c d= 2· 42 3 = 28. Portanto, x = x0+ t· b d = 98 + t· −51 3 = 98− 17t e y = y0− t · a d = 28− t · 15 3 = 28− 5t.
Assim, as solu¸c˜oes s˜ao dadas por x = 98−17t e y = 28−5t.
Exemplo 10.2 Um clube precisa comprar bolinhas de tˆenis para um torneio. As bolinhas s˜ao vendidas em embalagens com 8 e com 14 unidades. Qual a quantidade de cada tipo de embalagem deve ser comprada para se obter um total de 100 bolinhas?
Solu¸c˜ao: Considerando x e y as quantidades de embalagens com 8 e 14 bolinhas, respectivamente, precisamos que x e y satisfa¸cam a equa¸c˜ao 8x + 14y = 100.
Vamos nos utilizar do teorema anterior para encontrar solu¸c˜oes para o nosso problema. Na nota¸c˜ao do teorema temos a = 8, b = 14, c = 100 e d = mdc(a, b) = 2. J´a aprendemos a encontrar r e s: r = 2 e s =−1.
Assim, encontramos x0 = 2· 100 2 = 100 e y0=−1 · 100 2 = −50.
Como s´o interessam as solu¸c˜oes n˜ao negativas, precisamos encontrar t para que:
x = x0+ t
14
2 = 100 + 7t e y = y0− t 8
2 =−50 − 4t
n˜ao sejam negativos, ou seja, precisamos que 100 + 7t ≥ 0 e −50 − 4t ≥ 0.
Resolvendo as duas desigualdades chegamos que t >−14, 3 e t <−12, 5, ou seja, t ´e inteiro e −14, 3 < t < −12, 5. Temos ent˜ao duas possibilidades: t =−13 e t = −14.
Para t =−13, temos x = 9 e y = 2. Para t = −14, x = 2 e y = 6.
Assim, deve-se comprar nove embalagens com 8 unidades e duas embalagens com 14 unidades, ou ainda, duas embalagens com 8 unidades e seis embalagens com 14 unidades.
Exerc´ıcio 10.1 Encontrar as solu¸c˜oes inteiras para as equa¸c˜oes diofantinas: (a) 36x + 10y = 96; (b) 2x + 3y = 9; (c) 9x + 15y = 141; (d) 18x + 7y = 302; (e) 21x + 42y = 127.
Exerc´ıcio 10.2 Encontrar as solu¸c˜oes inteiras e positivas das equa¸c˜oes diofantinas do exerc´ıcio anterior.
Exerc´ıcio 10.3 Um pote com capacidade para 900 balas n˜ao est´a totalmente cheio. Se forem retiradas 13 balas de cada vez, sobram 5 balas. Se forem retiradas 31 balas de cada vez, sobram
19 balas. Utilizar equa¸c˜oes diofantinas para determinar todas as possibilidades para a quantidade de balas que est´a no pote.
Exerc´ıcio 10.4 Expressar o n´umero 100 como uma soma de dois inteiros positivos, de modo que um seja m´ultiplo de 7 e o outro seja m´ultiplo de 13.
Exerc´ıcio 10.5 Mostrar que se x e y s˜ao inteiros tais que 2x +
Neste cap´ıtulo avaliamos ternas de n´umeros que satisfazem o Teorema de Pit´agoras e fazemos algumas generaliza¸c˜oes.
11.1 Ternas pitag´oricas
Uma terna pitag´orica de n´umeros inteiros positivos ´e uma tripla ordenada (a, b, c) tal que a2+ b2= c2.
A terna (a, b, c) ´e primitiva quando mdc(a, b, c) = 1.
Exemplo 11.1 (3, 4, 5), (6, 8, 10) e (9, 12, 15) s˜ao ternas pi- tag´oricas e a primeira delas ´e uma terna primitiva.
Exerc´ıcio 11.1 Dada uma terna pitag´orica primitiva (a, b, c), mostrar que para todo n ∈ N∗ tem-se que (an, bn, cn) ´e uma terna pitag´orica.
Lema 11.1 Dada uma terna pitag´orica (a, b, c), seja mdc(a, b, c) = d. Se tomarmos a1 = a/d, b1 = b/d e
c1 = c/d, ent˜ao (a1, b1, c1) ´e uma terna pitag´orica primitiva.
Demonstra¸c˜ao: Desde que d = mdc(a, b, c), ent˜ao mdc(a1, b1, c1) = 1. Agora, a12 + b21 = (a/d)2 + (b/d)2 =
(a2+ b2)/d2 = c2/d2 = c21.
A partir do ´ultimo exerc´ıcio acima e do lema anterior, se- gue que podemos investigar sobre ternas pitag´oricas com enfoque especificamente sobre as ternas primitivas.
Lema 11.2 Se (a, b, c) ´e uma terna pitag´orica primitiva, ent˜ao exatamente um dentre os dois primeiros termos a e b ´e par e os outros dois s˜ao ´ımpares.
Demonstra¸c˜ao: Se a e b s˜ao pares, ent˜ao c tamb´em ´e par, o que contradiz o fato de mdc(a, b, c) = 1. Logo, n˜ao podem ser ambos pares.
Se a e b s˜ao ´ımpares, ent˜ao a ´e do tipo 2m + 1 e b ´e do tipo
2n + 1. Da´ı, a2 + b2 = (4m2 + 4m + 1) + (4n2 + 4n + 1) = 4(m2+ m + n2+ n) + 2 = c2. Logo, 2|c2 e 22 - c2. Mas 2|c e isso implica 22|c2. Portanto, temos uma contradi¸c˜ao. Desse modo,
n˜ao pode ocorrer que a e b sejam ambos n´umeros pares.
Lema 11.3 Se (a, b, c) ´e uma terna pitag´orica primitiva, ent˜ao os termos a, b e c s˜ao dois a dois primos entre si.
Demonstra¸c˜ao: Se d = mdc(a, b) > 1, ent˜ao existe um n´umero primo p tal que p|d e, da´ı, p|a e p|b. Logo, p|a2 + b2 = c2 e, portanto, p|c. Mas isto contradiz o fato de (a, b, c) ser primitiva. Os outros dois casos s˜ao verificados do mesmo modo.
Lema 11.4 Sejam m, n, c∈ N. Se m · n = c2 e mdc(m, n) = 1, ent˜ao m e n s˜ao quadrados.
Demonstra¸c˜ao: Sejam m = p1r1· ... ·pkrk e n = q1s1· ... ·qjsj
as fatora¸c˜oes em primos de m e n. Como mdc(m, n) = 1, ent˜ao os termos pk s˜ao distintos dos termos qj. Assim, m· n = p1r1 ·
... · pkrk · q1s1 · ... · qjsj ´e a fatora¸c˜ao de m· n. Como, por
hip´otese, m· n = c2, ent˜ao todos os coeficientes rke sj s˜ao pares
e portanto m = a2 e n = b2, com a = (p1r1/2· ... · pkrk/2)2 e
b = (q1s1/2· ... · qjsj/2)2.
Dois n´umeros inteiros a e b tˆem a mesma paridade quando ambos s˜ao pares ou ambos s˜ao ´ımpares. Isto ´e equivalente a dizer que a + b (ou a− b) ´e par.
Teorema 11.5 Sejam m, n ∈ N, tais que 1 ≤ m < n,
b = n2− m2 e c = m2+ n2 determinam uma terna pitag´orica primitiva. Toda terna pitag´orica primitiva ´e deste tipo (a, b, c).
Demonstra¸c˜ao: Como a2 + b2 = (2mn)2 + (n2 − m2)2 = 4m2n2+ n4−2m2n2+ m4 = m4+ 2m2n2+ n4 = (m2+ n2)2 = c2, ent˜ao (a, b, c) ´e uma terna pitag´orica.
Agora, se mdc(a, b, c) > 1, existe um n´umero primo p tal que p|mdc(a, b, c). Assim, se p ´e ´ımpar, como p|a = 2mn, segue que p|m ou p|n. Como p|c e c = m2 + n2, ent˜ao p|m e p|n. Portanto, 1 < p≤ mdc(m, n) = 1, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Se p = 2 ent˜ao 2|n2− m2. Logo, n2 e m2 tem a mesma paridade, portanto n e m tem a mesma paridade, contradizendo a hip´otese.
Dessa forma, (a, b, c) ´e uma terna primitiva.
Seja (a, b, c) uma terna pitag´orica primitiva e considere- mos que a ´e par e b ´e ´ımpar. O caso onde a ´e ´ımpar e b ´e par ´
e an´alogo. Da´ı, a2 = c2 − b2 = (c− b) · (c + b) e, portanto,
(c− b)/2 · (c + b)/2 = a2/4. Neste caso, pelo Lema 11.2 temos que c ´e ´ımpar. Ent˜ao c− b e c + b s˜ao pares e, da´ı, a2/4 ∈ N. Assim, a2/4 = r· s, em que r = (c − b)/2 e s = (c + b)/2.
Se d = mdc(r, s), ent˜ao, d|r ± s. Agora, como r + s =
(c− b)/2 + (c + b)/2 = c e r − s = (c − b)/2 − (c + b)/2 = b, ent˜ao
d|mdc(b, c). Pelo Lema 11.3, mdc(b, c) = 1 e, desse modo, d = 1, portanto mdc(r, s) = 1. Pelo lema anterior, r e s s˜ao quadrados, digamos r = m2 e s = n2. Segue da´ı que mdc(m, n) = 1. Como b = r− s = m2− n2 = (m− n)(m + n) e b ´e ´ımpar ent˜ao n − m
´
e ´ımpar.
Al´em disso, n2− m2 = s− r = b, m2+ n2 = r + s = c e
de a2/4 = r· s = m2· n2, segue que a = 2mn.
Segue ent˜ao que as ternas pitag´oricas primitivas s˜ao do tipo (2mn, n2− m2, m2+ n2) e, de um modo geral, cada terna pitag´orica tem a forma (k· 2mn, k · (n2− m2), k· (m2+ n2)), com
m, n, k ∈ N∗, 1≤ m < n, mdc(m, n) = 1 e n − m ´ımpar. Vejamos alguns casos de ternas primitivas:
m n a = 2mn b = n2− m2 c = n2+ m2 1 2 4 3 5 2 3 12 5 13 1 4 8 15 17 3 4 24 7 25 2 5 20 21 29 4 5 40 9 41
Desde que em cada terna pitag´orica primitiva ocorre um termo par e dois termos ´ımpares, para os pr´oximos passos, fare- mos a conven¸c˜ao de que o primeiro termo a ´e par e, desse modo,
b e c s˜ao ´ımpares.
Exerc´ıcio 11.2 Seja b ∈ N, tal que 1 < b e b ´e ´ımpar. Mos-
trar que b ocorre em pelo menos uma terna pitag´orica primitiva. Sugest˜ao: todo ´ımpar ´e da forma 2t− 1 = t2− (t − 1)2, t∈ N∗. Observar o Teorema 11.5.
Exerc´ıcio 11.3 Seja a = 4t, t ∈ N∗. Mostrar que a ocorre em pelo menos uma terna pitag´orica primitiva. Sugest˜ao: Observar Teorema 11.5.
Exerc´ıcio 11.4 Seja p um inteiro primo tal que 2 < p. Mostrar
que a terna (p22−1, p,p22+1) ´e pitag´orica primitiva.
Exerc´ıcio 11.5 Seja p um inteiro primo tal que 2 < p. Mostrar
que a terna (p(p22−1), p2,p(p22+1)) ´e pitag´orica n˜ao primitiva.
Exerc´ıcio 11.6 Seja p um inteiro primo tal que 2 < p. Mostrar
que a terna (p42−1, p2,p4+1
11.2 Sobre o ´Ultimo Teorema de Fermat
Pierre de Fermat (1601 - 1665), embora n˜ao tenha sido um matem´atico profissional, foi considerado pelo fil´osofo, f´ısico e matem´atico francˆes Blaise Pascal (1623 - 1662) um grande matem´atico.
Seu interesse na Matem´atica estava principalmente em quest˜oes vinculadas a desafios e problemas. Suas inquiri¸c˜oes matem´aticas atravessaram v´arias gera¸c˜oes. Ele fez contribui¸c˜oes importantes para o c´alculo geom´etrico, infinitesimal e, principal- mente, para a teoria dos n´umeros. O ´Ultimo Teorema de Fermat, como passou a ser indicado, ´e o mais famoso dos trabalhos de Fermat. O seu enunciado simples diz que a equa¸c˜ao: xn+yn= zn n˜ao tem solu¸c˜ao de n´umeros inteiros e positivos para n > 2. Fermat escreveu nas margens do livro ‘Aritm´etica’, de Diofanto, com o qual estava trabalhando, que conseguira uma demons- tra¸c˜ao para o problema acima, mas que n˜ao havia espa¸co sufi- ciente para ela na margem do livro. Hoje, n˜ao se acredita que ele tenha conseguido uma demonstra¸c˜ao correta do problema, visto que este Teorema de Fermat, mesmo tendo atra´ıdo a aten¸c˜ao de muitos matem´aticos, por mais de 300 anos ficou em aberto. O
´
Ultimo Teorema de Fermat desafiou matem´aticos por 358 anos e apenas em 1993, o matem´atico britˆanico Andrew Wiles con- seguiu uma demonstra¸c˜ao que ainda precisou de reparos e s´o tornou-se definitiva em 1995. Para tanto Wiles utilizou recursos sofisticados dos quais Fermat n˜ao dispunha.
A seguir, daremos uma resposta parcial ao Ultimo´ Teorema de Fermat, com uma contribui¸c˜ao dada pelo pr´oprio Fermat.
Lema 11.6 Sejam n, r, s, t∈ N tais que r|n, s|n e t|n. Se existe
solu¸c˜ao de inteiros positivos para a equa¸c˜ao [1] xn+ yn = zn,
ent˜ao tamb´em h´a solu¸c˜ao de inteiros positivos para [2] xr+ ys =
zt.
Demonstra¸c˜ao: De r|n, s|n e t|n, segue que existem a, b, c ∈ N
de modo que n = ar = bs = ct. Agora, seja (x1, y1, z1) uma
solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao [1] xn+ yn= zn, isto ´e, x
1n+ y1n= z1n.
Da´ı, x1ar+ y1bs= z1ct. Tomando x2= x1a, y2 = y1b e z2 = z1c,
segue que x2r+ y2s= z2t e, portanto, (x2, y2, z2) ´e uma solu¸c˜ao
para a equa¸c˜ao [2].
Exerc´ıcio 11.7 Seja n ∈ N tal que 4|n. Mostrar que se x4 +
y4 = z2 n˜ao tem solu¸c˜ao de inteiros positivos, ent˜ao xn+yn= zn
tamb´em n˜ao tem solu¸c˜ao de inteiros positivos.
Exerc´ıcio 11.8 Sejam n, a, b, c∈ N∗ e d = mdc(a, b, c) tais que
(a, b, c) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao xn+ yn = zn. Ent˜ao (a d,
b d,
c d) ´e uma terna primitiva que tamb´em ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao xn+yn=
zn.
Em vista do exerc´ıcio anterior, vamos nos ater somente a solu¸c˜oes que s˜ao ternas primitivas e vamos denominar tais solu¸c˜oes de solu¸c˜oes primitivas.
Exerc´ıcio 11.9 Mostrar que se (a, b, c) ´e uma solu¸c˜ao primitiva da equa¸c˜ao x4+ y4 = z2, ent˜ao a e b s˜ao primos entre si.
Teorema 11.7 (Fermat) A equa¸c˜ao x4 + y4 = z2 n˜ao tem
solu¸c˜ao primitiva de inteiros positivos.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que a equa¸c˜ao x4 + y4 = z2 te- nha solu¸c˜ao de inteiros positivos. Seja S = {z ∈ N : x4+ y4 =
e S ⊆ N. Logo, existe z0, o menor elemento de S. Da´ı, exis-
tem x0, y0 ∈ N de maneira que x04 + y04 = z02 e x0 ´e o me-
nor elemento de qualquer terna primitiva que seja solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao.
Do exerc´ıcio anterior, temos que mdc(x0, y0) = 1 e da´ı
mdc(x02, y02) = 1. Como (x02)2+ (y02)2 = z02, mdc(x02, y02) =
1, ent˜ao (x02, y02, z0) ´e uma terna pitag´orica primitiva. De
acordo com o Teorema 11.5, existem m, n ∈ N, com n > m, mdc(m, n) = 1 e n−m ´ımpar, tais que x02= 2mn, y02 = n2−m2
e z0 = m2+ n2.
Desde que m e n tˆem paridades distintas, um tem que ser par e o outro ´ımpar. Nesse caso n ´e ´ımpar e m par, pois do contr´ario ter´ıamos n = 2r e m = 2s + 1, para r, s∈ N e ent˜ao y02 = (2r)2−(2s+1)2 = 4r2−4s2−4s−1 = 4(r2−s2−s)−1 =
4(r2− s2− s − 1) + 3, mas desde que y02 ´e um quadrado perfeito
´ımpar, ent˜ao deveria ter a forma 4k + 1.
Seja ent˜ao m = 2r e n = 2s + 1 com r, s ∈ Z. Da´ı x02 = 2mn = 4nr e (x0/2)2 = nr. Como mdc(m, n) = 1,
ent˜ao mdc(r, n) = 1 tamb´em e, desse modo, r e n s˜ao quadrados. Sejam r = w2 e n = z12, com w, z1 ∈ N. De y02 = n2− m2,
segue que m2+ y02= n2 e como mdc(m, n) = 1, ent˜ao (m, y0, n)
´
e uma terna pitag´orica primitiva. Assim, existem u, v ∈ N tais que u > v, u−v ´e ´ımpar, mdc(u, v) = 1, e m = 2uv, y0 = u2−v2
e n = u2+ v2. Da´ı, uv = m/2 = r = w2 e, mais uma vez, u e v s˜ao quadrados. Consideremos u = x12 e v = y12, em que
x1,1∈ N.
Assim, x14+ y14 = u2+ v2 = n = z12. Logo, z1 ∈ S, pois
n∈ N e mdc(x1, y1, z1) = 1, pois mdc(x12, y12) = mdc(u, v) = 1.
Contudo, como 0 < z1 ≤ z12 = n ≤ n2 < n2 + m2 = z0,
Portanto, o conjunto S ´e vazio e a equa¸c˜ao x4+ y4 = z2
n˜ao tem solu¸c˜ao de inteiros positivos.
Corol´ario 11.8 A equa¸c˜ao xn+ yn = zn n˜ao tem solu¸c˜ao de inteiros positivos, quando 4|n.
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao segue do teorema anterior e do exerc´ıcio 11.7.
Corol´ario 11.9 Se o ´Ultimo Teorema de Fermat vale para todo n´umero primo maior que 2, ent˜ao o teorema ´e v´alido.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que o teorema n˜ao vale. Assim, para algum 2 < n a equa¸c˜ao [1] xn+n = zn tem
solu¸c˜ao de inteiros positivos.
Se n ´e um primo, isto contradiz a hip´otese.
Se n ´e um composto, ent˜ao n = k· p de maneira que p ´e primo. Se p > 2, ent˜ao [1]⇔ xk·p+ yk·p= zk·p⇔ (xk)p+ (k)p = (zk)p e isto contradiz a hip´otese. Agora, se n ´e apenas uma potˆencia de 2, como 2 < n, ent˜ao 4|n e, pelo corol´ario anterior,
[1] n˜ao tem solu¸c˜ao.
Portanto, se o ´Ultimo Teorema de Fermat vale para todo n´umero primo maior que 2, o teorema vale para todo n∈ N tal que n > 2.
Com o resultado desse corol´ario, a investiga¸c˜ao sobre a validade do ´Ultimo Teorema de Fermat pode se restringir aos n´umeros n primos. Mesmo assim a hist´oria nos mostrou o qu˜ao dif´ıcil foi a resolu¸c˜ao deste problema de enunciado extremamente simples.
perfeitos
Os n´umeros tratados neste cap´ıtulo tˆem um car´ater l´udico e tamb´em geom´etrico, como veremos a seguir.
12.1 Quadrados
Um n´umero m ∈ N∗ ´e um quadrado perfeito se existe
y∈ N∗ tal que m = y2.
A seq¨uˆencia dos quadrados ´e dada por: (n2)
n∈N∗= (1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., n2, ...).
Podemos dar uma representa¸c˜ao visual e geom´etrica para os quadrados: • • • • • • • • • • • • • • . . . 12.2 N´umeros triangulares
Dado n∈ N∗, o n-´esimo n´umero triangular ´e definido por:
tn= 1 + 2 +· · · + n =
n(n + 1)
2 .
A seq¨uˆencia dos n´umeros triangulares ´e dada por: (tn)n∈N∗ = (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).
A disposi¸c˜ao geom´etrica a seguir d´a a motiva¸c˜ao para o nome de n´umero triangular:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Cada triˆangulo de lado n ´e determinado por tn= 1 + 2 +
· · · + n = n(n + 1)
2 pontos.
Teorema 12.1 Seja k ∈ N∗. O n´umero k ´e triangular se, e somente se, 8k + 1 ´e um quadrado perfeito.
Demonstra¸c˜ao: (⇒) Seja k um n´umero triangular, isto ´e, k =
tn, para algum n∈ N∗. Ent˜ao: 8k+1 = 8·tn+1 = 8·n(n+1)2 +1 =
4n2+ 4n + 1 = (2n + 1)2. Logo 8k + 1 ´e um quadrado perfeito. (⇐) Seja 8k + 1 um quadrado perfeito, isto ´e, 8k + 1 = n2, para
algum n ∈ N∗. Da´ı, k = n28−1. Desde que n2 ´e ´ımpar, ent˜ao n ´
e ´ımpar tamb´em. Como k ∈ N∗, ent˜ao n ≥ 3. Da´ı, n−12 ∈ N∗. Para m = n−12 , segue que tm = tn−1
2 = n−1 2 ·( n−1 2 +1) 2 = n2−1 8 = k.
Logo, k ´e um n´umero triangular.
Exerc´ıcio 12.1 Mostrar que a soma de dois n´umeros triangu- lares consecutivos ´e um quadrado perfeito.
Exerc´ıcio 12.2 Seja n ∈ N∗ um quadrado perfeito. Mostrar que:
(a) se n ´e par, ent˜ao n ´e m´ultiplo de 4;
(b) se n ´e ´ımpar, ent˜ao n ´e da forma 8k + 1, com k∈ N∗.
Exerc´ıcio 12.3 Dar exemplo de inteiro par m´ultiplo de 4 que n˜ao ´e quadrado perfeito.
Exerc´ıcio 12.4 Dar exemplo de inteiro ´ımpar do tipo 8k + 1
que n˜ao ´e quadrado perfeito.
Exemplo 12.1 Na seq¨uˆencia de n´umeros inteiros positivos
(11, 111, 1111, ..., 111...111, ...) n˜ao ocorre qualquer quadrado per- feito.
O primeiro termo 11 = 8 + 3 n˜ao ´e quadrado perfeito. Se n = 111...111 > 11, ent˜ao n = 111...1000 + 111 =
111...1· 1000 + 8 · 13 + 7 = 8 · 111...1 · 125 + 8 · 13 + 7 = 8k + 7.
Assim, n n˜ao ´e um quadrado perfeito.
Sejam n, a, b ∈ N, com 1 ≤ a. A diferen¸ca de dois
quadrados ´e qualquer n´umero do tipo n = a2− b2.
Desde que pode ocorrer b = 0, ent˜ao cada quadrado per- feito ´e uma diferen¸ca de dois quadrados. Tamb´em, cada ante- cessor de um quadrado perfeito ´e do tipo a2− 12 e, assim, uma diferen¸ca de quadrados. Contudo, 2 e 6 n˜ao o s˜ao.
Lema 12.2 Seja n∈ N. Se n ´e ´ımpar ou m´ultiplo de 4, ent˜ao
n ´e uma diferen¸ca de dois quadrados.
Demonstra¸c˜ao: Se n ´e ´ımpar, como n≥ 1, ent˜ao n − 1 e n + 1 s˜ao pares e, portanto, n−12 e n+12 n˜ao n´umeros naturais. Agora,
(n+12 )2 − (n−1 2 )2 = n2+2n+1−n2+2n−1 4 = 4n 4 = n, uma diferen¸ca de dois quadrados. Se n ´e do tipo n = 4k, ent˜ao n = (k + 1)2− (k − 1)2 e, assim, n ´e uma diferen¸ca de dois quadrados.
Exerc´ıcio 12.5 Demonstrar a rec´ıproca do lema anterior. Exerc´ıcio 12.6 Mostrar que a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´ımpares ´e o n-´esimo quadrado perfeito, isto ´e, 1 + 3 +
13.1 N´umeros especiais
Alguns n´umeros naturais recebem uma denomina¸c˜ao especial devido a satisfazerem determinadas propriedades. Como exemplo temos os n´umeros pares, ´ımpares, primos, quadrados, triangulares, dentre outros. Vamos apresentar mais alguns deles, sem nos preocuparmos em conhecer melhor suas propriedades.
N´umero de Mersenne: Um n´umero de Mersenne ´e da forma Mn= 2n− 1, em que n ´e um n´umero natural.
Temos ent˜ao que M0 = 0, M1 = 1, M2 = 3, M3 = 7,
M4 = 15, ... s˜ao n´umeros de Mersenne. Quando Mn ´e primo,
dizemos que Mn ´e um primo de Mersenne.
Se n ´e composto, ent˜ao Mn n˜ao ´e primo, pois
xab− 1 = (xa− 1) · (xa(b−1)+ xa(b−2)+ ... + x2a+ xa+ 1), para quaisquer a e b inteiros positivos. Assim, para que Mn seja
primo ´e necess´ario que n seja primo. Mas, nem sempre n primo garante que Mnseja primo. Por exemplo, 211−1 = 2047 = 23·89. N´umero de Fermat: J´a vimos que um n´umero de Fermat ´e da forma Mn = 22
n
+ 1, em que n ´e um n´umero natural e que Mn ´e primo para n = 0, 1, 2, 3, 4, mas n˜ao ´e primo
para n = 5.
N´umeros perfeitos: Um n´umero natural ´e um n´umero perfeito se ´e igual `a soma dos seus divisores positivos pr´oprios.
Por exemplo, o n´umero 6 ´e o menor n´umero perfeito, pois os divisores positivos pr´oprios de 6 s˜ao 1, 2 e 3 e 6 = 1 + 2 + 3. Os perfeitos seguintes s˜ao 28 e 496. Um n´umero da forma P = 2p−1· (2p− 1), em que 2p− 1 ´e um primo de Mersenne, ´e sempre perfeito. A demonstra¸c˜ao n˜ao ´e dif´ıcil e deixamos ao leitor como um bom exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 13.1 Fazer a demonstra¸c˜ao indicada acima.
N´umeros amigos: Dois n´umeros naturais s˜ao amigos quando cada um deles ´e igual `a soma dos divisores positivos pr´oprios do outro.
Por exemplo, os divisores positivos pr´oprios de 220 = 22· 5· 11 s˜ao 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110; os divisores positivos pr´oprios de 284 = 22· 71 s˜ao 1, 2, 4, 71 e 142. Como 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 e 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220, ent˜ao os n´umeros 220 e 284 s˜ao n´umeros amigos.
Estes s˜ao os menores n´umeros amigos. Os pares de n´umeros amigos seguintes s˜ao 1.184 e 1.210; 2.620 e 2.924; 5.020 e 5.564; 6.232 e 6.368; 10.774 e 10.856; 12.285 e 14.595; 17.296 e 18.416; 63.020 e 76.084; 66.928 e 66.992; 67.095 e 71.145; 69.615 e 87.633; 79.750 e 88.730.
Exerc´ıcio 13.2 Verificar que os trˆes primeiros pares indicados acima s˜ao de n´umeros amigos.
Primos gˆemeos: Primos gˆemeos s˜ao n´umeros primos p e q tais que |p − q| = 2.
Por exemplo, s˜ao pares de primos gˆemeos: 3 e 5; 5 e 7; 11 e 13.
Exerc´ıcio 13.3 Encontrar mais dois pares de n´umeros gˆemeos.
Muitos outros tipos de n´umeros aparecem na litera- tura. Por exemplo, n´umeros levemente imperfeitos, soci´aveis, cap´ıcuas, pentagonais, hexagonais, dentre outros.
Muitas quest˜oes sobre os n´umeros podem ser colocadas, especialmente a respeito dos primos, como por exemplo:
− Existem infinitos primos de Fermat? − Existem infinitos primos de Mersenne? − Existem infinitos pares de primos gˆemeos?
− Existem infinitos n´umeros de Fermat que n˜ao s˜ao pri-
mos?
− Existe uma f´ormula que gera os n´umeros primos? − Cada n´umero par maior que 5 ´e a soma de dois n´umeros
primos ´ımpares? (Conjectura de Goldbach)
− Cada ´ımpar maior que 5 ´e soma de trˆes primos ´ımpares?
(Conjectura de Goldbach para ´ımpares)
− Existem n´umeros perfeitos ´ımpares?
Aos interessados sugerimos pesquisas para conhecer pro- blemas em aberto na matem´atica, que podem ser encontrados na internet, nas bibliotecas ou com os pr´oprios professores das diversas disciplinas.
13.2 Curiosidades
Muitas curiosidades podem ser encontradas a partir de opera¸c˜oes com n´umeros. Colocamos, a seguir, alguns casos curiosos.
153 = 13+ 53+ 33; 153 = 1 + 2 + 3 +· · · + 17; 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!; √ 153− (1 + 5 + 3) = 15 − 3; 1634 = 14+ 64+ 34+ 44; 145 = 1! + 4! + 5! 111.111.111· 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321.
Multiplica¸c˜ao de 37 por m´ultiplos de 3 e de 3367 por m´ultiplos de 33: 3· 37 = 111 33· 3367 = 11111 6· 37 = 222 66· 3367 = 22222 9· 37 = 333 99· 3367 = 33333 12· 37 = 444 132· 3367 = 44444 15· 37 = 555 165· 3367 = 55555 18· 37 = 666 198· 3367 = 66666 21· 37 = 777 231· 3367 = 77777 24· 37 = 888 264· 3367 = 88888 27· 37 = 999 297· 3367 = 99999
Construindo pirˆamides: 0· 9 + 1 = 1 1· 9 + 2 = 11 12· 9 + 3 = 111 123· 9 + 4 = 1111 1234· 9 + 5 = 11111 12345· 9 + 6 = 111111 123456· 9 + 7 = 1111111 1234567· 9 + 8 = 11111111 12345678· 9 + 9 = 111111111 1· 8 + 1 = 9 12· 8 + 2 = 98 123· 8 + 3 = 987 1234· 8 + 4 = 9876 12345· 8 + 5 = 98765 123456· 8 + 6 = 987654 1234567· 8 + 7 = 9876543 12345678· 8 + 8 = 98765432 123456789· 8 + 9 = 987654321 0· 9 + 8 = 8 9· 9 + 7 = 88 98· 9 + 6 = 888 987· 9 + 5 = 8888 9876· 9 + 4 = 88888 98765· 9 + 3 = 888888 987654· 9 + 2 = 8888888 9876543· 9 + 1 = 88888888 98765432· 9 + 0 = 888888888 987654321· 9 − 1 = 8888888888 9876543210· 9 − 2 = 88888888888
1× 1 = 1 11× 11 = 121 111× 111 = 12321 1111× 1111 = 1234321 11111× 11111 = 123454321 111111× 111111 = 12345654321 1111111× 1111111 = 1234567654321 11111111× 11111111 = 123456787654321 111111111× 111111111 = 12345678987654321
Uma boa recrea¸c˜ao para leigos e alunos pr´e universit´arios ´
CHARTRAND, G.; POLIMENI, A.D.; ZHANG, P. Mathema-
tical proofs: a transition to advanced mathematics. Bos-