Pour faciliter le recalage des fragments avec le modèle anatomique du tibia, une série de
paramètres ont été calculés pour chaque fragment : le profil de l’aire des sections,
l’orientation du fragment, le nombre de sections de la zone fracturée et le nombre de
sections de l’épiphyse.
Profil de Paire des sections
Il s’agit de la courbe représentant l’aire de la section du modèle 3D approché du fragment
en fonction de l’indice du plan contenant cette section (Fig. 4.30.). Cette courbe permet de
déterminer les paramètres suivants.
Fig. 4.30. - Profil de l’aire des sections d’un fragment
Orientation du fragment
Les sections des modèles 3D des fragments sont repérées à l’aide d’un indice (l’indice du
plan auquel elles appartiennent). Lorsque ce dernier est incrémenté, le sens dans lequel les
sections sont parcourues est quelconque. Orienter le fragment consiste à attribuer de
nouvelles valeurs à cet indice de manière à ce qu’il permette de parcourir chaque fragment
depuis la première section de l’épiphyse jusqu’à la dernière section de la fracture (Fig.
4.31.). Cet indice variera dans l’intervalle des nombres entiers [0, N-1] où N est le nombre
de sections du fragment.
Nombre de sections de la zone fracturée
L’idée principale de la méthode permettant de calculer le nombre de sections de la zone
fracturée réside dans le fait que le profil de l’aire des sections d’un os non-fracturé est
continu dans toute la zone diaphysaire (Fig. 4.32.).
Fig. 4.32. - Profil de l’aire des sections d’un tibia non-fracturé
Nous pouvons dès lors utiliser les profils de l’aire des sections des deux fragments orientés
en sens contraires et essayer de les fusionner, de manière à obtenir un profil somme de
variation minimale dans la zone fracturée (Fig. 4.33.). Cette technique permet d’obtenir
d’une part la longueur de la zone fracturée, ce qui permet de calculer le nombre de sections
correspondantes, l’écart entre les plans des sections étant connu, et d’autre part la longueur
totale de l’os fracturé du patient.
Fig. 4.33. - Fusion des profils de l’aire des sections des deux fragments
Pour déterminer la position du profil distal conduisant à une variation minimale du profil
somme, les deux profils sont positionnés en sens contraire, les deux extrémités fracturées
coïncidant l’une avec l’autre ; la zone fracturée est alors nulle. Le profil distal est
4. PREMIERE APPUCATION : CONTROLE DE LA REDUCTION DE FRACTURES
DIAPHYSAIRES DEPLACEES DES OS LONGS TRAITEES PAR FIXATEUR EXTERNE
successivement déplacé vers le profil proximal d’un pas égal à l’écart entre les plans des
sections, ce qui fait également croître la zone fracturée.
A chaque itération, la valeur absolue de la dérivée première du profil somme est calculée et
les valeurs obtenues sont sommées pour les sections situées dans une zone centrée sur la
zone de la fracture et de largeur constante plus grande que celle de la zone fracturée.
Lorsque cette somme est minimale, les deux profils se complètent. La zone fracturée est
égale au nombre de pas dont s’est déplacé le profil distal à partir de sa position initiale lors
de l’itération correspondant à la valeur minimale de cette somme. La largeur de la zone
dans laquelle est calculée la somme des dérivées vaut (Np+Nd)/3 où Np et Nd représentent
le nombre de sections des fragments proximal et distal. Ceci suppose que la fracture ne
s’étend pas sur plus du tiers de la longueur de l’os. Cette hypothèse n’est cependant pas
excessivement restrictive car de toutes façons, les fragments doivent posséder une partie
diaphysaire suffisamment longue pour pouvoir calculer leur axe central.
Une approximation de la longueur L de l’os peut être calculée par ;
L = (Np + Nd-Nf).e
avec Nf étant le nombre de sections de la zone fracturée et e l’écart entre les plans des
sections.
Nombre de sections de l’épiphyse
Le nombre de sections concernant l’épiphyse peut être déterminé en partant du mode du
profil de l’aire des sections du fragment considéré et en parcourant le profil vers la
fracture. Lorsque la valeur du profil devient inférieure à la moitié de celle obtenue pour le
mode, le processus s’arrête ; on se trouve à l’interface entre l’épiphyse et la zone
diaphysaire (Fig. 4.34.).
Aire des
sections
Indice des
sections
Fig. 4.34. - Détermination du nombre de sections Ne concernant l’épiphyse à partir du
mode m du profil d’intensité d’un fragment
4.5.3. Recalage
Le recalage du modèle anatomique avec chacun des fragments vise à positionner le
premier dans le système de référence lié au second de la même façon que le modèle
approché et à l’adapter au cas particulier du patient (taille, épaisseur). Le modèle
anatomique et le modèle approché auront des positions correspondantes si leurs projections
se correspondent sur les radiographies. Remarquons cependant qu’une correspondance
parfaite est difficile à obtenir avec des transformations rigides et des mises à l’échelle à
cause des variations inter-individuelles.
L’adaptation du modèle au patient se subdivise naturellement en deux parties : une
première mise à l’échelle selon la longueur de l’os considéré et une seconde selon les
dimensions transversales de celui-ci.
La solution immédiate consiste à considérer un ensemble de facteurs d’échelle possibles
pour chacune de ces parties, à effectuer un recalage pour chaque couple de facteur et à
retenir celui qui fournit le meilleur résultat. Malheureusement, l’examen exhaustif des
différents couples de facteur d’échelle et le calcul des recalages correspondants requiert un
laps de temps inacceptable pendant l’opération.
C’est pourquoi nous avons divisé le problème de recalage en trois étapes : la première
calcule une position et un facteur d’échelle isotropique initiaux du modèle anatomique,
proche de ceux du modèle du fragment ; la deuxième optimise ces paramètres par une
méthode itérative ; la troisième adapte les dimensions du modèle anatomique de manière
non-isotropique. Ainsi, le problème de positionnement du modèle et la recherche des
facteurs d’échelle sont découplés. Chaque étape utilise les résultats de l’étape précédente.
Le processus est identique pour les deux fragments.
Première étape : position et facteur d’échelle isotropique initiaux
Le modèle anatomique subit d’abord une mise à l’échelle isotropique basée sur
l’estimation L de la longueur totale de l’os fracturé, calculée au paragraphe précédent. La
longueur La du modèle anatomique a également été calculée lors de sa construction. Les
coordonnées de tous les points du modèle anatomique sont donc multipliés par un facteur
f = ±L/La. Ce dernier est positif si le côté (gauche/droit) du membre fracturé du patient
correspond à celui du modèle anatomique et négatif dans le cas contraire.
Fig. 4.35. - Première étape du recalage : mise à l’échelle isotropique et déplacements du
modèle
DIAPHYSAIRES DEPLACEES DES OS LONGS TRAITEES PAR FIXATEUR EXTERNE
Le centre de gravité et la direction principale de la partie du modèle anatomique
correspondant au fragment sont calculés. Cette dernière est déterminée à partir de la
longueur du fragment. Le sens de la direction principale est celui allant de l’épiphyse
considérée vers le centre du modèle. Une translation Ti et une rotation Rj permettent de
superposer le centre de gravité et la direction principale ainsi calculés avec ceux du modèle
approché. Une translation T2 amène le point extrême de l’épiphyse concernée du modèle
anatomique dans le plan de la première section du modèle approché (Fig. 4.35.). Aucun
déplacement n’est effectué pour aligner les modèles autour de leur axe principal.
Deuxième étape : optimisation itérative
Pour cette étape, la position et la taille du modèle anatomique est ajustée pour correspondre
au mieux au modèle approché du fragment. A cet effet, nous pouvons plutôt utiliser les
cônes de projection, puisque le modèle approché est construit à partir de ceux-ci. Nous
devons dès lors effectuer un recalage entre le modèle anatomique et les deux cônes de
projection du fragment.
Aucune méthode analytique ne permet de résoudre ce problème, aussi nous nous devons
procéder de façon itérative. Nous avons choisi d’utiliser l’algorithme ICP (Itérative Closest
Point) [BESL 1992, HAMADEH 1995, GUERIEC 1998, TAYLOR 1999] fournissant les 7
paramètres (3 pour la translation, 3 pour la rotation, 1 pour la mise à l’échelle) permettant
d’effectuer un recalage avec mise à l’échelle isotropique.
Il nécessite une série de points correspondants sur les rayons des cônes et sur le modèle
anatomique. L’objectif de la technique consiste à rendre les rayons tangents au modèle en
minimisant la distance entre les points correspondants. Sur base de ceux-ci, une nouvelle
position du modèle anatomique, plus proche des rayons des cônes de projection, est
déterminée à chaque itération. Les paires de points correspondants doivent être recalculées
pour chacune d’entre elles. Lorsque le modèle anatomique est suffisamment proche des
rayons, le processus est arrêté et la position du modèle sauvegardée.
Les rayons des deux vues sont considérés mais ceux concernant la partie fracturée de l’os
sont éliminé. Nous sommes donc amenés à construire des cônes de projection restreints.
Ceci est aisé puisque le nombre de sections concernant la zone fracturée est connu ; la
section limite entre la diaphyse et la zone fracturée peut donc être facilement déterminée. Il
suffit donc de projeter le centre de cette section sur la radiographie, de calculer la droite
passant par ce point, incluse dans le plan de l’image et perpendiculaire à la projection de
l’axe principal du fragment et de considérer uniquement, sur la radiographie, la partie du
contour du fragment située d’un seul côté de cette droite : celui de l’épiphyse. Un nouveau
cône de projection restreint est construit sur base de cette partie du contour, délaissant la
partie fracturée du fragment (Fig. 4.36.).
Pour déterminer les paires de points correspondants nécessaires pour l’algorithme ICP,
chaque rayon des cônes restreints est considéré séparément.
Une première technique consiste à déterminer le plus petit segment possédant une
extrémité sur le rayon et l’autre sur la surface du modèle anatomique. Les extrémités de ce
segment constituent une paire de points correspondants. Malheureusement, cette méthode
intuitive nécessite de parcourir pour chaque rayon envisagé l’ensemble des triangles du
modèle, ce qui requiert un temps considérable.
Une seconde technique utilise le contour apparent [SANDER 2000] du modèle anatomique
calculé pour chaque vue lors de chaque itération (Fig. 4.37.). Rappelons que la
détermination du contour apparent d’un modèle s’effectue en calculant, pour chacun de ses
triangles, une direction de vue (vecteur ayant comme origine la source de rayons-X et
comme extrémité le centre de gravité du triangle). Les triangles peuvent alors être classés
en deux catégories : visibles ou invisibles, selon que l’angle formé par cette direction et
celle de la normale extérieure est obtus ou aigu. Les arêtes du maillage situées entre un
triangle visible et un triangle invisibles sont enregistrées et reliées entre elles en un
polygone fermé : le contour apparent du modèle anatomique.
Fig. 4.36. - Construction du cône restreint d’un fragment - n: plan de la radiographie, a :
axe principal du fragment, C : centre de la section limite, a’ : projection de l’axe principal
du fragment sur n,C’: projection du centre de la section limite sur 7i,d’: droite passant
par C’, incluse dans net perpendiculaire à a’
Source ^
Contour apparent
Rayon \
\ Prtijection du tWemo3t
iPlan de projection
Fig. 4.37. - Détermination d’une paire de points correspondants pour un rayon à l’aide du
contour apparent du modèle anatomique
Les points correspondants sont alors déterminés par les extrémités du plus petit segment
reliant un point du contour apparent et un point du rayon considéré [GUERIEC 1998].
114
DIAPHYSAIRES DEPLACEES DES OS LONGS TRAITEES PAR FIXATEUR EXTERNE
Pour chaque rayon envisagé, cette technique nécessite uniquement le parcours du contour
apparent. De plus, ce dernier ne doit être calculé qu’une seule fois par itération.
Une série de N paires de points correspondants (Xi, Yi) est donc déterminée et la
transformation t(Yi) = sRYi+T minimisant la fonction
peut être déterminée par l’algorithme de recalage entre paires de points correspondants
(voir chapitre 2 - paragraphe 2.1.5.2.). Nous avons considéré 3 pondérations différentes
(valeurs des Wi) ;
1. uniforme,
2. simple pour les rayons de la zone diaphysaire et double pour ceux de l’épiphyse,
3. simple pour les rayons de l’épiphyse et double pour ceux de la zone diaphysaire.
La transformation x est appliquée au modèle anatomique. Pour la n‘^"“ itération, l’erreur de
recalage est donnée par [SONKA 2000] :
Lorsque la différence des erreurs d’une itération à l’autre |en-i-8nl devient suffisamment
petite (inférieure à 0,1 mm) ou que n devient trop grand (supérieur à 20), le processus
itératif est arrêté.
Le recalage du modèle anatomique est effectuée depuis plusieurs positions initiales,
chacune correspondant à une rotation du modèle anatomique autour de son axe principal.
Ceci découle du fait qu’aucun déplacement du modèle anatomique n’est effectué pour
l’aligner correctement autour de son axe principal lors de la première étape. De plus, ce
procédé permet d’éviter les problèmes de convergence vers des minima locaux. Dans notre
cas, nous avons procédé au recalage du modèle anatomique avec les cônes de projection du
fragment considéré à partir de 12 positions initiales, chacune d’entre elles tournée de 30°
par rapport à la précédente. Le modèle anatomique transformé conduisant à l’erreur de
recalage la plus faible est enregistré.
Troisième étape : adaptation non-isotropique
Jusqu’à présent, le modèle anatomique n’a subi que des mises à l’échelle isotropiques.
Cette étape a pour but de faire varier le rapport entre les dimensions axiales et transversales
du modèle. A cet effet, le modèle anatomique du tibia est « grossi » ou « aminci » selon un
facteur d’échelle transversal f, tout en laissant inchangée la longueur de l’os. Le domaine
de variation de ce facteur est relativement restreint (par exemple [0,9 ; 1,1])- Pour chaque
valeur de f, tous les points du modèle sont recalculés de manière à multiplier par le facteur
d’échelle leur distance par rapport à l’axe principal (Fig. 4.38.). Le nouveau modèle obtenu
sert alors de modèle initial à un recalage avec mise à l’échelle isotropique (voir étape
précédente). Le meilleur résultat est enregistré comme modèle anatomique final
correspondant au fragment considéré.
Calculer les paramètre des deux fragments
Estimer la longueur de l’os fracturé
Déterminer les cônes restreints des deux fragments
Pour chaque fragment :
Déterminer le facteur d’échelle f et les déplacements initiaux Ti, Ri et R
2M] = modèle anatomique transformé
Pour a = 0, 1,11 :
M = Rotation de Mi d’un angle de a x 30° autour de son axe principal
n
=0Effectuer :
Calculer les contours apparents de M pour les deux vues
Calculer les paires de points correspondants entre M et les rayons des cônes restreints
Déterminer x
M = x(M)
Calculer
Tant que |e„-en-i| > 0.1 et n < 20
M(a) = M
e(a) = e„
Déterminer a^in tel que e(a„ùn) est le plus petit
M
2= M(ainin)
Pour t = -10, -9,0,.... 9, 10 :
M = Mise à l’échelle transversale de M
2avec f, = 1 + t x 0,01
n
=0Effectuer :
Calculer les contours apparents de M pour les deux vues
Calculer les paires de points correspondants entre M et les rayons des cônes restreints
Déterminer x
M = x(M)
Calculer e„
Tant que |e„-E„.|| >0,1 et n < 20
M(t) = M
e(t) = e„
Déterminer t^in tel que e(tmin) est le plus petit
M
3= M(tmin) = modèle anatomique final correspondant au fragment considéré
DIAPHYSAIRES DEPLACEES DES OS LONGS TRAITEES PAR FIXATEUR EXTERNE
No documento
Encargos com o acidente vascular cerebral no Alto Minho
(páginas 72-83)