A Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG) realiza dois vestibulares anuais para os cursos presenciais, e um vestibular para os cursos na modalidade EaD. A instituição realiza ainda, desde o ano 2001, o Processo Seletivo Seriado (PSS), que consiste num exame de seleção aplicado ao final de cada uma das séries do Ensino Médio.
Para as provas dos vestibulares, as respostas das questões são dadas pelo somatório dos números das alternativas corretas. Já para o PSS, na prova referente ao primeiro ano do Ensino Médio as respostas possuem alternativas de a) a e), sendo a método do somatório utilizado somente nas provas das séries posteriores.
A seguir, apresentamos as questões sobre matemática financeira presentes nos exames de seleção dos últimos cinco anos. No caso da UEPG, no vestibular as questões sobre a temática figuram na prova de conhecimentos gerais. No PSS, figuram nas provas do terceiro ano do Ensino Médio. Os arquivos e gabaritos das provas estão disponíveis no endereço eletrônico http://www.cps.uepg.br.
(VESTIBULAR DE INVERNO 2009) Três sócios A, B e C aplicaram a quantia de R$
12.000,00, a juros simples, e após 6 meses retiraram o montante de R$ 15.600,00. Sabendo que esses sócios aplicaram quantias diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente, e que o total de juros foi dividido entre eles na mesma proporção, assinale o que for correto.
01) O sócio A recebeu mais de R$ 800,00 de juros. 02) O sócio C aplicou R$ 2.400,00 a mais que o sócio B. 04) A taxa mensal de juros da aplicação foi de 5%. 08) A aplicação rendeu R$ 3.000,00 de juros. SOLUÇÃO:
Os juros gerados pela aplicação são de R$ 3600,00, dados pela expressão i
J =12000.6 , onde ܬ é o valor dos juros gerados e ݅ é a taxa mensal da aplicação.
Desta forma, temos que 12000.6i=3600, ou seja, ݅ = 0,05 ao mês.
Os sócios aplicaram quantias proporcionais a 2, 3 e 5. Desta forma, podemos dizer que o sócio A investiu a quantia 2x, o sócio B investiu a quantia 3x e o sócio C investiu a quantia 5x. Desta forma, obteremos a equação 2ݔ + 3ݔ + 5ݔ =
12000, cuja solução é x=1200. Assim, o sócio A investiu R$ 2400,00, o sócio B investiu R$ 3600,00 e o sócio C investiu R$ 6000,00.
Sendo os juros divididos na mesma proporção, podemos dizer que os sócios A, B e C receberam as quantias2y, 3y e 5y respectivamente. Desta forma obteremos a equação 2ݕ + 3ݕ + 5ݕ = 3600, cuja solução é y=360. Assim, o sócio A recebeu R$ 720,00 de juros, o sócio B recebeu R$ 1080,00 e o sócio C recebeu R$ 1800,00.
Com base nos resultados acima, teremos as seguintes respostas para os itens do somatório:
01) Falso, pois o sócio A recebeu R$ 720,00.
02) Verdadeiro, pois R$ 6000,00 -R$ 3600,00 =R$ 2400,00. 04) Verdadeiro, pois ݅ = 0,05 = 5% mensais.
08) Falso, pois os juros foram de R$ 3600,00.
Portanto, o somatório das alternativas corretas é igual a 06.
(VESTIBULAR DE INVERNO 2010) Marcelo tinha um capital de R$ 5.000,00. Parte desse capital ele aplicou no banco A, por um ano, à taxa de juros simples de 2% ao mês, obtendo R$ 360,00 de juros. O restante aplicou no banco B, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 20% ao ano. Com base nesses dados, assinale o que for correto.
01) No banco B ele aplicou menos de R$ 3.000,00.
02) Marcelo obteve um montante de R$ 6.060,00 referente às duas aplicações. 04) A aplicação no banco B rendeu R$ 700,00 de juros.
08) Ele aplicou no banco A 20% de seu capital. SOLUÇÃO:
Sendo ݔ a quantidade aplicada no banco A, o montante gerado por esse valor ao longo de um ano, à taxa de rendimento simples de 2% ao mês, é dado pelo
produto 0,02.12. ݔ = 360. Isolando ݔ, obtemos que a quantia aplicada no banco A é
igual a R$ 1500,00.
Desta forma, o valor aplicado no banco B foi de R$ 3500,00, à taxa de rendimento simples de 20% ao ano. Assim, os juros gerados por essa quantia são
dados pelo produto 3500.0,2.1, ou seja, R$ 700,00. Com esses dados, analisemos as
alternativas:
02) Verdadeiro, pois o montante total corresponde à soma dos R$ 5000,00 investidos e os valores dos juros obtidos, ou seja, R$ 5000,00+R$ 360,00+R$ 700,00.
04) Verdadeiro.
08) Falso, pois 20% de R$ 5000,00 correspondem a R$ 1000,00. Portanto, o somatório das alternativas corretas é igual a 06.
(VESTIBULAR DE INVERNO 2011) Considere a seguinte situação: Inácio contrai um empréstimo de R$ 5.000,00 a juros simples de 2% ao mês. Em determinada data liquida esse empréstimo pelo montante de R$ 6.200,00 e contrai uma nova dívida no valor de R$ 2.500,00, também a juros simples. Este último empréstimo é liquidado 8 meses depois pelo montante de R$ 3.300,00. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01) O prazo do primeiro empréstimo foi de um ano.
02) No segundo empréstimo a taxa de juros foi de 48% ao ano.
04) A taxa de juros mensal do segundo empréstimo foi menor que a do primeiro empréstimo.
08) O valor dos juros pagos no primeiro empréstimo foi de R$ 1.500,00. SOLUÇÃO:
O montante ܯ da primeira dívida é dado por ܯ = 5000ሺ1 + 0,02݊ሻ, onde ݊ é o
número de meses. Desta forma, obteremos a igualdade 5000ሺ1 + 0,02݊ሻ = 6200, cuja
solução é ݊ = 12.
O montante ܯ da segunda dívida é dado por ܯ = 2500ሺ1 + 8݅ሻ, onde ݅ é a
taxa mensal da aplicação. Desta forma, obteremos a igualdade 2500ሺ1 + 8݅ሻ = 3300,
cuja solução é ݅ = 0,04.
Com isso, analisamos as alternativas:
01) Verdadeiro, pois o valor de ݊ encontrado foi 12.
02) Verdadeiro, pois a taxa anual é igual ao produto da taxa ݅ = 0,04 = 4% pelo
números de meses do ano, ou seja, igual a 48%.
04) Falso, pois no primeiro empréstimo a taxa mensal foi a metade da taxa no segundo empréstimo.
08) Falso, pois no primeiro empréstimo temos ܯ = 5000ሺ1 + 0,02.12ሻ = ܴ$ 1200,00.
(PSS 2008) Pedro e Paulo aplicaram R$ 500,00 cada um em uma instituição financeira, a juros simples. Pedro aplicou seu dinheiro a uma taxa de 21% ao ano, durante 18 meses, e Paulo aplicou seu dinheiro a uma taxa de 1,5% ao mês, durante dois anos. Com base nestes dados, assinale o que for correto.
01) Paulo recebeu, em juros, 30% do capital investido. 02) Paulo recebeu mais de R$ 175,00 em juros.
04) Pedro recebeu o montante de R$ 657,50.
08) Pedro recebeu, em juros, 31,5% do capital investido. SOLUÇÃO:
O montante obtido por Pedro é igual a 500ሺ1 + 0,21.1,5ሻ, ou seja, R$ 657,50.
Já Paulo obteve o montante igual a 500ሺ1 + 0,015.24ሻ, ou seja, R$ 680,00.
Analisando as alternativas, teremos:
01) Falso, pois 30% de R$ 500,00 são iguais a R$ 150,00. 02) Verdadeiro, pois Paulo recebeu R$ 180,00 de juros. 04) Verdadeiro.
08) Verdadeiro, pois a taxa de rendimento simples foi de 21% ao ano, durante um ano e meio, totalizando 31,5%.
Portanto, o somatório das alternativas corretas é igual a 14. (PSS 2011) Assinale o que for correto.
01) A quantia de R$ 1.500,00 aplicada a juros simples ao final de 2 anos produz um montante de R$ 2.580,00. A taxa correspondente a essa aplicação é de 1% ao dia. 02) Um certo capital é aplicado a juros simples a uma taxa mensal de 5%. Após 1 ano e 8 meses esse capital estará duplicado.
04) Um capital aplicado a 12% ao ano rendeu em 1 ano, 4 meses e 15 dias, juros simples de R$ 660,00. O capital aplicado foi de R$ 4.000,00.
08) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos a uma taxa de 2% ao mês. Após 2 meses esse capital produz mais de R$ 80,00 em juros.
SOLUÇÃO:
Para essa questão analisaremos cada alternativa separadamente, pois não há um contexto comum às mesmas:
01) Falso. Os juros ܬ gerados pela quantia R$ 1500,00 aplicadas à taxa mensal
equação 36000݅ = 1080, cuja solução é ݅ = 0,03. Considerando o mês comercial, ou
seja, com 30 dias, a taxa diária da aplicação é igual a 0,001 0,1%
30 03 , 0 = = .
02) Verdadeiro. Aplicando a quantia ܥ a juros simples de 5% ao mês durante 20
meses, os juros ܬ obtidos são dados por ܬ = ܥ. 0,05.20 = ܥ. Logo, o montante ܯ
acumulado será dado por ܯ = ܥ + ܥ = 2ܥ, ou seja, o capital duplicará.
04) Falso. Considerando o mês comercial, os juros ܬ obtidos pela aplicação da
quantia C à taxa de 12% ao ano são dados por
+ + = 30 15 12 4 1 . 12 , 0 . C J , ou seja,
ܬ = 0,22ܥ. Desta forma, obteremos a equação 0,22ܥ = 660, cuja solução é ܥ = 3000.
08) Verdadeiro. O montante ܯ após 2 meses é dado por ܯ = 2000. ሺ1,02ሻଶ, ou seja,
ܯ = 2080,80, sendo os juros obtidos iguais a R$ 80,80. Outra forma de se verificar isso seria considerando que os juros simples obtidos nesse período gerariam R$ 80,00. Como os juros composto são superiores aos simples após o primeiro mês decorrido, obviamente a quantia seria maior que R$ 80,00.
Portanto, o somatório das alternativas corretas é igual a 10.
(PSS 2012) Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e saldou sua dívida em três pagamentos, da maneira abaixo descrita.
• 3 meses após ter contraído a dívida, pagou R$ 5.310,00; • 2 meses após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3.680,00; • 1 mês após o segundo pagamento, quitou a dívida.
Nessas condições, assinale o que for correto.
01) Logo após o segundo pagamento, a dívida corresponde a 60% do valor do empréstimo.
02) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida corresponde a R$ 6.600,00.
04) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 7.690,00. 08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 17.715,10.
SOLUÇÃO: Considerando os dados do enunciado e usando a Eq. 4.42, os pagamentos foram efetuados conforme a seguir:
• Após decorridos 3 meses do empréstimo, a dívida é igual a 10000ሺ1,1ሻଷ, ou seja,
R$ 13310,00. Como são pagos R$ 5310,00, restam ainda R$ 8000,00 a serem pagos.
• 2 meses após o primeiro pagamento, o valor da dívida será 8000ሺ1,1ሻଶ, ou seja,
R$ 9680,00. Como são pagos R$ 3680,00, restam R$ 6000,00 a serem pagos. • Um mês após o segundo pagamento, a dívida é liquidada. O valor a ser pago
corresponde a 6000.1,1, ou seja, R$ 6600,00.
Pelos resultados encontrados, analisamos as alternativas:
01) Verdadeiro, pois 60% de R$ 10000,00 é igual a R$ 6000,00, valor da dívida após o segundo pagamento.
02) Verdadeiro.
04) Falso, pois após o primeiro pagamento o valor da dívida é de R$ 8000,00.
08) Falso, pois o montante da dívida é igual à soma dos pagamentos efetuados, ou seja, igual a R$ 15590,00.
Portanto, o somatório das alternativas corretas é igual a 03.
Nota-se que nos últimos 5 exames vestibulares aplicados, em três edições as questões contemplaram a temática financeira, ainda assim, constando apenas o cálculo de juros simples em empréstimos. É importante destacar que na prática, no caso de empréstimos em instituições financeiras a capitalização utilizada é a composta, e não a simples.
No caso do PSS, a temática esteve menos frequente do que no vestibular, considerando que em 10 das 12 edições do exame havia a prova para o 3º ano do Ensino Médio. Da mesma forma que nas questões do vestibular, foram abordados apenas o cálculo de juros e montantes nos regimes de capitalização simples e composta.
5.3 QUESTÕES DO VESTIBULAR DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-