Questões sobre Conjuntos

A seguir, são enunciados os exercícios que relacionam Conjuntos com a Lógica. Após cada exercício, segue uma sugestão de resolução.

Figura: 5.3.Exercício 1, letras a) e b)

(a) 1a: Intersecção dos conjuntos A e B denotado porA∩^B (b) 1b: A é subconjunto de B, denota-seA⊂^B Fonte: Próprio autor.

Figura: 5.4.Exercício 1, letras c) e d)

(a) 1c: A e B são conjuntosdisjuntos (b) 1d: Essa é a diferença entre A e B, denota-seA−^B Fonte: Próprio autor.

(d) ∃x∈U|x∈ A e x∈/B;

Nesse exercício, estudam-se os quantificadores universal e existencial e os conectivos lógicos juntamente com as ideias de pertencimento, representação através de Diagrama de Venn, diferença de conjuntos, intersecção de conjuntos e conjuntos disjuntos. No exercício2, o estudante relacionará os conceitos estudados sobre conjuntos em cada sentença.

Solução 1. Utilizando os diagramas é possível representar as situações solicitadas, hachurando quando necessário, veja as Figuras5.4(a),5.4(b),5.5(a)e5.5(b).

Vale ressaltar que é possível e correto utilizar conjuntos com finitos elementos para representar as situações presentes no exercício.

Exercício 2. Para cada item do exercício1, diga qual conceito de conjunto a sentença representa.

Solução 2. A resolução encontra-se na legenda das Figuras5.4(a),5.4(b),5.5(a)e5.5(b)

Exercício 3. Sabendo que são verdadeiras as afirmações apresentadas, relacione corretamente as duas colunas abaixo:

Esse exercício tem o objetivo de fixar a definição dos conjuntos numéricos, bem como explorar a conjunção e a disjunção exclusiva.

Solução 3. Analisando o item(III), pode-se afirmar queBnão contém os Números Racionais, já que ¹₂ não pertence aB. Da mesma forma, pode-se afirmar queBnão contém os Números Reais, pois√

2 não pertence aB. Sendo assim, dentre as alternativas sugeridas, a única possível é a que relacionaBcom os Números Naturais.

Pelo item(I),Anão pode ser o Conjunto dos Números Reais pois, caso fosse, as duas afirmações√

2 pertence a A e ¹₂ pertence a A seriam verdadeiras, o que tornaria a disjunção exclusiva falsa. Da mesma forma,Anão pode ser o Conjunto dos Números Naturais, pois, se fosse, as duas afirmações√

2 pertence a A e ¹₂ pertence a A seriam falsas, o que tornaria a disjunção exclusiva falsa. Portanto, dentre as opções sugeridas, a única possível é a que relacionaAcom os Números Racionais.

Exercício 4. Sabendo queA∩B={^2,5}^,B={^2,5,9}^eA∪B={^2,3,5,8,9}, classifique cada uma das afirmações em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique sua resposta:

(a) 2∈ Ae 2∈B.

(b) 8∈ Aou 8∈B.

(c) 3∈ Ae 3∈B.

(d) 9∈ Aou 3∈B.

Os conceitos de união e intersecção de conjuntos são explorados nesse exercício e também os casos em que afirmações com os conectivoseeousão verdadeiras.

Solução 4.

(a) V, pois 2∈ A∩Be a afirmação está de acordo com a definição de intersecção, ou seja, a conjunção é verdadeira.

(b) V, pois 8∈A∪Be a afirmação está de acordo com a definição de união, ou seja, a disjunção é verdadeira.

(c) F, como 3 /∈ A∩B, uma das duas proposições que formam a conjunção em questão é falsa, logo, ela é falsa.

(d) F, 9 /∈ A, pois sabe-se que 9 /∈ A∩Be 9∈B. Sabe-se que 3 /∈B, pois os elementos de B estão listados na questão.

Assim, 9 Aé falsa e 3 Bé falsa, e, portanto, a disjunção é falsa.

Figura: 5.5.Mapa da Divisão Geográfica da América

Fonte: http://image.slidesharecdn.com/cap-5-ocontinenteamericano-120508114249-phpapp02/95/cap-5-o-continente-americano-8-728.jpg?cb=1336477415

(a) Se José nasceu em Cuba, então ele pertence a A.

(b) Se Pablo nasceu na Argentina, então ele não pertence aB.

(c) Se Maria nasceu em El Salvador, então ela pertence aB.

(d) Se Antonio pertence aC, então ele nasceu no Canadá.

(e) Se Castro pertence aB∪C, então ele nasceu nos Estados Unidos.

(f) Se Joana nasceu no Chile, então ela pertence aA∪B.

Nesse exercício, além de conhecimentos de Lógica, são necessários alguns conceitos de geografia.

Solução 5.

(a) Como José nasceu em Cuba e esta fica na América Central, tem-se que ele pertence aB. Logo, a afirmação éfalsa.

(b) Como Pablo nasceu na Argentina,a qual fica na América do Sul, é fato que ele pertence aA. Também sabe-se que A,BeCsão conjuntos disjuntos. Logo, Pablo não pertence aBe a afirmação éverdadeira.

(c) El Salvador fica na América Central. Como Maria nasceu em El Salvador, ela pertence aB. Logo, a afirmação é verdadeira.

(d) O fato de Antonio pertencer aC, diz que ele nasceu em um país da América Central, mas não garante que esse país seja o Canadá. Portanto, a afirmação éfalsa.

(e) A proposição “Castro pertence aB∪C” diz que Castro nasceu na América CentralouCastro nasceu na América do Norte e isso não é garantia suficiente para afirmar que ele nasceu nos Estados Unidos. Assim, a afirmação éfalsa.

(f) Joana nasceu no Chile, garante que ela pertence aAe, portanto, pertence a A∪B. Logo, a afirmação éverdadeira.

Exercício 6. A Escola Antonio Miranda Nobrega fica em um prédio de três andares e atende turmas do 7^oao 9^oano do ensino fundamental e do 1^oao 3^o ano do Ensino Médio. Neste ano, a diretora da escola distribuiu as turmas da seguinte forma:

• No primeiro andar apenas as turmas do 7^o ano do Ensino Fundamental e do 1^oano do Ensino Médio.

• No segundo andar apenas as turmas do 8^o ano do Ensino Fundamental e do 2^oano do Ensino Médio.

• No terceiro andar apenas as turmas do 9^o ano do Ensino Fundamental e do 3^oano do Ensino Médio.

A partir dessas informações, leia as afirmações e classifique-as em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.

(a) Se Cátia estuda no 2^oandar, então ela não está no 7^oano do Ensino Fundamental.

(b) Se Gustavo cursa o 1^o ano do Ensino Médio, então ele estuda no 1^oandar.

(c) Se Rafael estuda no 1^oandar, então ele cursa o 7^oano do Ensino Fundamental.

(d) Se Veronica estuda no 2^oandar, então ela cursa o 9^o ano do Ensino Fundamental.

(e) Se Gabriela estuda no 3^oandar, então ou ela estuda no 3^oano do Ensino Médio ou Gabriela estuda no 9^o do Ensino Fundamental.

(f) Se Breno estuda no 3^o andar, então ele não cursa o 8^o ano do Ensino Fundamental, nem o 1^oano do Ensino Médio.

(g) Se Julia estuda no 1^o andar, então ou ela não cursa o 7^oano do Ensino Fundamental ou não cursa o 1^o ano do Ensino Médio.

Nesse exercício, é possível explorar o uso do condicional juntamente com os conectivose,ou...oueou.

Solução 6.

(a) Estudam no 2^oandar apenas os estudantes das turmas de 8^o ano do ensino fundamental e do 2^o ano do ensino médio. Assim, Cátia só poderá ser de uma dessas turmas. Portanto, ela não está no 7^o ano. Logo, a afirmação é verdadeira.

(b) A afirmação éverdadeira, pois as turmas do 1^oano do ensino médio estudam no 1^oandar.

(c) O fato de Rafael estudar no 1^o andar não é garantia de que ele curse o 7^o ano do Ensino Fundamental, já que nesse andar também estudam alunos do 1^o ano do Ensino Médio. Assim, a afirmação éfalsa.

(d) Estudam no 2^o andar, estudantes do 8^o ano do Ensino Fundamental e do 2^o ano do Ensino Médio. Assim, a afirmativa éfalsa.

(e) Estudam no 3^o andar, estudantes do 3^o ano do Ensino Médio e do 9^o ano do Ensino Fundamental. Assim, a proposição “Gabriela estuda no 3^o andar” garante que ela estuda em um desses níveis. Como não pode haver estudantes que são ao mesmo tempo do 3^oano do Ensino Médio e do 9^oano do Ensino Fundamental, éverdadeira a afirmação.

(f) Como no 3^oandar só estudam os alunos do 9^oano do Ensino Fundamental e do 3^oano do Ensino Médio, o fato de Breno estudar no 3^o andar garante que ele não pode ser de nenhum outro nível. Portanto, a afirmativa éverdadeira.

(g) Não pode haver estudantes que são ao mesmo tempo do 1^o ano do Ensino Médio e do 7^o ano do Ensino Fundamental, mas o fato de Julia estudar no 1^o andar garante que ela cursará um desses anos. Dessa forma, a disjunção será sempre verdadeira, pois as duas proposições não podem ser ambas falsas. Assim, a afirmativa é verdadeira.