QUESTIONÁRIOS ON-LINE

As primeiras perguntas do questionário foram novamente para que os professores se identificassem.

A segunda seção abordou aspectos do ensino de Combinatória e os cinco professo- res que retornaram designaram o livro didático como principal instrumento utilizado nas aulas. Novamente, todos disseram que utilizam a metodologia RP para o ensino desse tópico, circunstância que já comentamos por nos parecer haver uma confusão entre a efetiva utilização da metodologia e a ação de colocar os alunos para resolver exercícios de fixação.

Na terceira seção pedimos que os professores analisassem algumas respostas de alunos para problemas de Combinatória.

Seguem os problemas e os respectivos comentários dos professores:

Problema 1: Lançamos uma moeda 3 vezes, quantas sequências de cara e coroa podemos obter?

COMENTE ESTA RESPOSTA DE UM ALUNO: "Há três lances com duas alternativas cada, portanto o resultado é 3x3.”.

E4: Tentativa de elaborar estratégia aritmética sem verificação algébrica (ou geométrica).

F4: Resolução errada, devemos considerar as possibilidades de resultados a serem encontrados em cada lançamento.

C1: O aluno equivocou-se no final da resposta, considerou duas chances com 3 alternativas. Como estava inicialmente pensando, com três lances com duas alternativas, seria 2x2x2=8. O professor deve mostrar com recur- sos visual, como exemplo a arvore de possibilidade, ou ate mesmo, simular o lançamento das moedas.

B3: Na hora de resolver a questão o aluno trocou a informação lançamentos e quantidade de opções a cada lançamento. Assim, em vez de responder que seriam 2 opções em cada laçamento, perfazendo um total de 2x2x2 = 8. O aluno compreendeu que seriam 2 lançamentos com 3 opções cada, sen- do assim 3x3=9.

Ana: Como são três lances e em cada lançamento há 2 possibilidades então são 2x2x2.

Os professores perceberam adequadamente o erro deste aluno. Sobretudo os pro- fessores C1 e B3 disseram exatamente como explicariam o erro cometido, valori- zando o entendimento do aluno, implícito na resolução expressa, e apontando a con- fusão do mesmo ao efetuar a conta.

Problema 2: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode for- mar um casal?

RESPOSTA DE UM ALUNO: "A primeira pessoa do casal pode ser escolhi- da de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ter sexo diferente da primeira pessoa. Portanto, há 10x5 = 50 modos de formar um casal."

E4: Raciocínio que um estudante no início da matéria possivelmente não chegaria

F4: Considerando o casal formado por um homem e uma mulher, podemos considerar as possibilidades para cada sexo.

C1: O aluno não compreendeu que 10x5=50 dá pares com pessoas do mesmo sexo. Como exemplo, mulher-mulher. Temos 25 pares de casais com mesmo sexo. O certo seria 5 possibilidades para homens e 5 para mu- lheres, 5x5=25. O professor pode usar a ideia do princípio multiplicativo ou a arvore de possibilidades.

B3: Pela resposta apresentada, é possível perceber que o aluno compreen- deu a questão e conseguiu formular um método de resolução que o propici- asse encontrar um resultado plausível. Mas, esqueceu de considerar a hipó- tese de que quando é formado um casal escolhido ao acaso, é possível ter em uma outra escolha o mesmo casal novamente só que com a ordem de escolha alterada. Assim como forma de auxiliar o aluno, enquanto docente, faria-o perceber que falta dividir por 2.

Ana: Se é um casal, não importa a ordem logo teremos 5 modos para cada um 5x5

O professor B3 apontou exatamente o que levou o aluno ao erro. Já a professora C1, apesar de ter percebido o erro do aluno, equivocou-se quando disse que a con- tagem excessiva era devido à contagem de casais do mesmo sexo. Bem como ex- plicado pelo professor B3, na verdade o aluno contou duplamente os casais, só que numa ordem diferente. Sobre o comentário da professora Ana, podemos ver que, assim como veremos em alguns momentos da observação, ela se preocupou em enfatizar no seu comentário para o aluno que não importava a ordem dos elementos.

Problema 3: Laura esqueceu sua senha de acesso ao computador. Na ten- tativa de descobri-la, lembrou-se das seguintes informações: é um número de algarismos distintos, compreendido entre 3.000 e 7.000 e NÃO é com- posto pelos algarismos 2, 5 e 9. Identifique o número máximo de tentativas que Laura deverá fazer para encontrar a senha.

RESPOSTA DE UM ALUNO: Figura 2.

Figura 2 - Resposta de um aluno para problema 3 do questionário on-line

Fonte: Almeida (2010).

E4: Boa tentativa.

F4: Descrever melhor o processo desenvolvido para resolver a questão. B3: Explicaria a ideia de estar entre, mostrando que a unidade não poderia ser zero.

Ana: Nenhuma... Considero satisfatória a estratégia de resolução.

A observação do professor B3 foi equivocada para este problema, porque a restrição apontada por ele já havia sido contemplada na resolução, posto que essa não con- siderou o número 7 na primeira casa, o que indica o entendimento de que as possi- bilidades de senha terminam no número “6999”, mostrando que a aluna já havia en- tendido a ideia de estar entre.

Problema 4: Uma escola tem 9 professores (Cristiano, Isabel, Laura, Ma- teus, Nívea, Pedro, Roberto, Sandra e Vitor), dos quais 5 devem represen- tar a escola em um congresso. Quantos grupos diferentes de 5 professores pode-se formar?

RESPOSTA DE UM ALUNO: Figura 3.

Figura 3 - Respostas de alunos para problema 4 do questionário on-line

Fonte: Rocha (2011).

Junto com o problema 4 trouxemos essas quatro resoluções, sendo a resposta do aluno A a resolução correta e as outras três erradas, para que os professores pu-

ALUNO A

ALUNO C ALUNO D

dessem avaliar e atribuir notas aos alunos. Todos deram nota máxima à resolução correta e notas menores às outras resoluções sem fazer comentários relevantes.

Comparando as resoluções, os professores poderiam, por exemplo, ter apontado que: o aluno A aplicou corretamente a fórmula de combinação simples e acertou a resposta; o aluno C, também recorreu à fórmula e chegou bem próximo da resolução correta, mas errou na sua utilização, dividindo 9! (9 − 5)!⁄ quando deveria ter efetua- do a divisão 9! (9 − 5)! 5!⁄ ; enquanto os alunos B e D tentaram por duas maneiras, mas não conseguiram se aproximar da resposta correta – pela contagem direta das possibilidades através do desenho, e pela multiplicação das quantidades indicadas no enunciado do problema.

Finalizando o questionário, fizemos uma pergunta sobre as dificuldades encontradas para responder o questionário e os professores o acharam extenso, alegando que para responder precisavam resolver os problemas e isso demandava um tempo maior.